Kwadratowe odchylenia od średniej

w sytuacji, gdy dostępne są dane dla k różnych grup leczenia o rozmiarze ni, gdzie i waha się od 1 do k, zakłada się, że oczekiwana średnia dla każdej grupy wynosi

e ⁡ ( μ i ) = μ + T i {\displaystyle \operatorname {E} (\mu _{i})=\mu +T_{i}}

i wariancja każdego leczenia grupa jest niezmienna od wariancji populacji σ 2 {\displaystyle \Sigma ^{2}} .,

zgodnie z hipotezą zerową, że zabiegi nie mają wpływu, wtedy każdy z T i {\displaystyle T_{i}} będzie równy zeru.,i ) {\właściwości wyświetlania stylu wartość T=\kwocie _{i=1}^{k}\w lewo(\w lewo(\kwota x\z prawej)^{2}/n{ja}\prawej)} f ⁡ ( t ) = k ∑ 2 + ∑ i = 1 do N ( μ + T I ) 2 {\właściwości wyświetlania stylu wartość \operatorname {f} (t)=do\sigma ^{2}+\kwota _{i=1}^{k}p{ja}(\mu +t_ w{ja})^{2}} f ⁡ ( t ) = k σ 2 + n µ 2 + μ 2 ∑ i = 1 ( n i t i ) + ∑ i = 1 do n ( t i ) 2 {\właściwości wyświetlania stylu wartość \operatorname {f} (t)=do\sigma ^{2}+p\MU ^{2}+2\mu \kwocie _{i=1}^{k}(n{ja}t_ w{Ja})+\kwota _{i=1}^{k}p{ja}(t_ w{ja})^{2}}

pod hipotezę zerową o tym, że zabiegi nie powodują żadnych sporów i wszystko, i t {\właściwości wyświetlania stylu wartość t_ w{ja}} są równe zeru, to oczekiwanie jest uproszczony

f ⁡ ( t ) = k σ 2 + n μ 2 ., {\displaystyle \operatorname {E} (T)=k \ sigma ^{2}+N \ mu ^{2}.,C) = \sigma ^{2}+N\mu ^{2}}

Sumy kwadratowych odchyleń

E ⁡ ( I − C)=(n − 1) σ 2 {\displaystyle \operatorname {E} (I-C) = (N-1)\sigma ^{2}} suma kwadratowych odchyleń aka suma kwadratów E ⁡ ( T − C)=(k − 1) σ 2 {\displaystyle \operatorname {E} (T-C) = (k-1)\sigma ^{2}} leczenie odchylenia do kwadratu aka wyjaśniona suma kwadratów e ⁡ ( i − t)=(n − k) σ 2 {\displaystyle \operatorname {e} (i-t) = (n-k)\Sigma ^{2}} pozostałe odchylenia do kwadratu aka resztkowa suma kwadratów

stałe (N − 1), (K − 1) I (n − k) są zwykle określane jako liczba stopni swobody.,

Przykładedytuj

w bardzo prostym przykładzie 5 obserwacji wynika z dwóch zabiegów. Pierwsze leczenie daje trzy wartości 1, 2 i 3, a drugie leczenie daje dwie wartości 4 i 6.

I = 1 2 1 + 2 2 1 + 3 2 1 + 4 2 1 + 6 2 1 = 66 {\displaystyle I = {\frac {1^{2}}{1}}+{\frac {2^{2}}{1}}+{\frac {3^{2}}{1}}+{\frac {4^{2}}{1}}+{\frac {6^{2}}{1}}=66} T = ( 1 + 2 + 3 ) 2 3 + ( 4 + 6 ) 2 2 = 12 + 50 = 62 {\displaystyle T = {\frac {(1+2+3)^{2}}{3}}+{\frac {(4+6)^{2}}{2}}=12+50=62} C = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 6 ) 2 5 = 256 / 5 = 51.2 {\displaystyle C = {\frac {(1+2+3+4+6)^{2}}{5}}=256/5=51.,2}

dając

całkowite odchylenia kwadratowe = 66 − 51,2 = 14,8 z 4 stopniami swobody. Leczenie kwadratowe odchylenia = 62 − 51,2 = 10,8 z 1 stopniem swobody. Pozostałe odchylenia kwadratowe = 66 − 62 = 4 z 3 stopniami swobody.

dwukierunkowa analiza wariancjiedit

poniższy hipotetyczny przykład podaje plony 15 roślin podlegających dwóm różnym zmianom środowiskowym i trzem różnym nawozom.,

oblicza się pięć sum kwadratów:

wreszcie można obliczyć sumy kwadratów odchyleń wymaganych do analizy wariancji.,