Zobacz listę drugich momentów obszaru dla innych kształtów.,\mathrm {d} a=\int _{-{\frac {B}{2}}}^{\frac {B}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}} y^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-{\frac {B} {2}}}^{\frac {B} {2}}} {\frac {1} {3}} {\frac {h^{3}}{4}}\,\mathrm {d} x={\frac {bh^{3}}{12}}\\I_{y}&=\iint \limits _{R}x^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {h}{2}}^{\frac {2}} x^{2}\,\mathrm{d} y\,\mathrm {d} x=\int _{- {\frac{B} {2}}}^{\frac {B} {2}} HX^{2}\,\mathrm{d} x={\frac {B^{3} h} {12}}\end {aligned}}}
korzystając z twierdzenia o osi prostopadłej otrzymujemy wartość j z{\displaystyle j_ {z}}.,
J z = i x + i y = b h 3 12 + h b 3 12 = b h 12 (b 2 + h 2 ) {\displaystyle J_{z}=I_ {x}+I_ {y}={\frac {BH^{3}}{12}}+{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {bh}{12}}\left(b^{2}+h^{2}\right)}
Pierścień wyśrodkowany na originEdit
pierścień z wewnętrznym promieniem R1 i zewnętrznym promieniem r2
rozważmy pierścień, którego środek znajduje się na początku , poza Promień to R 2 {\displaystyle r_{2}}, a promień wewnętrzny to R 1 {\displaystyle r_{1}} . Ze względu na symetrię pierścienia, centroid również leży na początku., Możemy wyznaczyć moment BIEGUNOWY bezwładności, J z {\displaystyle J_{z}}, wokół osi z {\displaystyle z} metodą kształtów zespolonych. Ten BIEGUNOWY moment bezwładności jest równoważny biegunowemu momentowi bezwładności koła o promieniu r 2 {\displaystyle r_ {2}} minus BIEGUNOWY moment bezwładności koła o promieniu R 1 {\displaystyle r_{1}}, oba wyśrodkowane na początku. Po pierwsze, wyprowadźmy moment BIEGUNOWY bezwładności okręgu o promieniu r {\displaystyle r} w odniesieniu do pochodzenia., W tym przypadku łatwiej jest bezpośrednio obliczyć J z {\displaystyle J_{z}}, Ponieważ mamy już R 2 {\displaystyle r^{2}}, która ma zarówno składową x {\displaystyle x}, jak i y {\displaystyle y}. Zamiast otrzymać drugi moment powierzchni ze współrzędnych kartezjańskich, jak to uczyniono w poprzednim rozdziale, obliczymy I x {\displaystyle I_{x}} I J z {\displaystyle J_ {z}} bezpośrednio używając współrzędnych biegunowych.,b3be53f037″>
=\iint \limits _{r}r^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}R^{2}\left(r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}R^{3}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}}{4}}\,\mathrm {d} \ theta ={\frac {\pi} {2}} r^{4}\end{aligned}}}
teraz moment BIEGUNOWY bezwładności wokół osi Z {\displaystyle z} dla pierścienia jest po prostu, jak wspomniano powyżej, różnicą drugich momentów powierzchni okręgu o promieniu r 2 {\displaystyle r_{2}} i okręgu o promieniu R 1 {\displaystyle r_{1}}.,
J z = J z , R 2 − J z , R 1 = π 2 R 2 4 − π 2 R 1 4 = π 2 ( R 2 4-R 1 4 ) {\displaystyle J_{z}=J_{z,r_{2}} – J_{z,r_{1}}={\frac {\pi }{2}} r_{2}^{4}-{\frac {\pi} {2}} r_{1}^{4}={\frac {\pi} {2}} \ left (r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)}
alternatywnie, możemy zmienić granice całki d r {\displaystyle \mathrm {d} r} za pierwszym razem, aby odzwierciedlić fakt, że istnieje dziura. To byłoby zrobione w ten sposób.,r 2 R 2 ( R D R D θ ) = ∫ 0 2 π π r 1 R 2 R 3 D R D θ = ∫ 0 2 π D θ = π 2 ( r 2 4 − R 1 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}&=\iint \limits _{r}r^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}R^{2}\Left(r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{R_{1}}^{R_{2}}R^{3}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Theta \\&=\int _{0}^{2\pi }\Left\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}\Left(R_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}
dowolny wielokąt
prosty wielokąt., Tutaj, n = 6 {\displaystyle N=6} , punkt „7” jest identyczny z punktem 1.
drugi moment powierzchni o początku dla dowolnego prostego wielokąta na płaszczyźnie XY można obliczyć ogólnie sumując wkłady z każdego segmentu wielokąta po podzieleniu obszaru na zbiór trójkątów. Wzór ten jest związany ze wzorem sznurowadła i można go uznać za Szczególny przypadek twierdzenia Greena.przyjmuje się, że wielokąt ma n {\displaystyle n} wierzchołków, numerowanych w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara., Jeśli wierzchołki wielokątów są numerowane zgodnie z ruchem wskazówek zegara, zwracane wartości będą ujemne, ale wartości bezwzględne będą poprawne.,y i + 1 − x i + 1 y i ) ( x i y i + 1 + 2 x I y i + 2 x I + 1 y i + 1 + x I + 1 y i ) {\displaystyle {\begin{aligned}i_{y}&={\frac {1}{12}} \ sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2}\right)\\I_{x}&={\frac {1}{12}} \ sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(y_{i}^{2}+y_{i}y_{i+1}+y_{i+1}^{2}\right)\\I_{xy}&={\frac {1} {24}} \ sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}y_{i+1}+2x_{i}y_{i}+2x_{i+1}y_{i+1}+x_{i+1}y_{i}\right)\end{aligned}}}