Wykładnictwo jest operacją matematyczną obejmującą dwie liczby, bazę $x$ i wykładnik $a$. Gdy $a$ jest dodatnią liczbą całkowitą, wykładnik odpowiada wielokrotnemu mnożeniu bazy.
z definicji każda liczba, która ma 0 jako wykładnik, jest równa 1. Oznacza to, że bez względu na to, jak duża jest baza, jeśli ich wykładnik jest równy 0, liczba ta jest zawsze równa 1.,
każda liczba, która nie ma wykładnika dołączonego do niej, w rzeczywistości ma liczbę 1 jako swój wykładnik. Liczba 1 jest domyślnym wykładnikiem każdej liczby, więc nie jest konieczne jej zapisywanie, ale w niektórych zadaniach może być to pomocne.
jeden pomnożony przez jeden jest zawsze jeden, bez względu na to, ile razy powtórzysz mnożenie, więc 1 do dowolnej mocy jest zawsze równa 1.,
ujemne wykładniki
Jeśli wykładnik jest dodatnią liczbą całkowitą, wykładnictwo odpowiada powtarzającemu się mnożeniu bazy, więc co to oznacza, jeśli wykładnik jest ujemną liczbą całkowitą? Wartość odwrotna podstawy jest używana do przekształcenia wykładnika ujemnego w dodatni.
$a^{-n}=(a^{-1})^n=\left(\frac{1}{a}\right)^n=\frac{1}{a^n}$
to samo dzieje się odwrotnie. Jeśli w mianowniku znajduje się Nieznany, mianownik może stać się licznikiem, zmieniając znak wykładnika., W niektórych przypadkach okaże się to bardzo przydatną funkcją, szczególnie podczas pracy z liczbami odwrotnymi i funkcjami.
przykład 1: zapisz te wyrażenia używając tylko dodatnich wykładników:
a) $A^{-7}$
b) $\frac{-6x^{-1}}{y^5}$
c) $\frac{-12x^{-6}y^{-9}}{z^3}$
rozwiązanie:
a) $A^{-7}=\frac{1}{A^7}$
b) $\frac{-6x^{-1}}{y^5}=\frac{-6}{x^1 \cdot y^5}=\frac{-6}{XY^5}$
c) $\frac{-12x^{-6}y^{-9}}{z^3} = \frac{-12}{x^6 \cdot y^9 \cdot z^3}$
dodawanie
jak dodać lub odjąć wykładniki?,
najciekawsze zadania dotyczą unkowów, ale obowiązują do nich te same zasady.
spójrzmy na proste równanie:
OD $\ x = x^1$ i $\ 1 = x^0$ możemy napisać nasze równanie w następujący sposób:
Jak to normalnie rozwiązać? Zmienne Z $x$ są dodawane oddzielnie, a osobno zmienne bez $x$.,
The same will apply to larger exponents:
$\ x^{12} + 3 \cdot {x^{12}} + 2 \cdot {x^2} = 4 \cdot {x^{12}} + 2 \cdot {x^2}$
Example 2: Add exponents
odejmowanie
te same zasady, które mają zastosowanie do dodawania wykładników, dotyczą również odejmowania.
można odjąć tylko liczby, które mają niewiadome o tym samym wykładniku.
przykład 3: wykładniki odejmowania:
$ 4x^{12} – 0.25 x^4 + 2x^2 – 3x^2 – 3x^{12} = ?$
rozwiązanie:
$ (4x^{12} – 3x^{12}) – 0.25\cdot {x^4} + (2x^2 – 3x^2) = x^{12} – 0.25\cdot {x^4} – x^2$
mnożenie
istnieją dwie podstawowe zasady mnożenia wykładników.,
pierwsza reguła-jeśli Bazy są takie same, to ich wykładniki są sumowane.
na przykład: $\ 2^{-2} \ cdot {2^{-3}} = 2^{- 2 – 3} = 2^{-5} = \left (\frac{1}{2} \ right)^5$.
druga reguła – jeśli zasady są różne, ale wykładniki są takie same, to zasady są mnożone, a wykładniki pozostają takie same.
na przykład: $ \ 2^2 \cdot {3^2} = (2 \ cdot {3})^2 = 6^2$.
przykład 4:
$ 2^2 \cdot {4^2} = ?,$
rozwiązanie:
aby pomnożyć dwa wykładniki, ich baza lub ich wykładniki muszą być takie same. W tym przykładzie tak samo nie jest. Tak więc pierwszym krokiem jest, o ile to możliwe, obrócenie każdej liczby do najniższej bazy. W tym przykładzie liczbę $4$ można zapisać jako $2^2$.
$ 2^2 \ cdot {(2^2)^2} = ?$
kwadrat przedstawia liczbę pomnożoną przez siebie tak $\ (2^2)^2$ można zapisać jako $\ 2^2 \ cdot {2^2} = 2^{2 + 2} = 2^4$.,
From Example 4, this generalisation can be made:
Final solution: $\ 2^2 \cdot {4^2}= 2^2 \cdot {(2^2)^2} = 2^2 \cdot {2^4} = 2^{2+4} = 2^6$.
Example 5:
$ \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot {0.2^2} = ?,$
rozwiązanie:
$$=\left (\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left (\frac{2}{10}\right)^2$$
$$=\left (\frac{2}{3}\right)^2 \cdot\left (\frac{1}{5}\right)^2$$
$$= \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5}\right)^2 $$
$$= \left(\frac{2}{15}\right)^2$$
przykład 6:
$\ (x^2 y^3)(x^5 y^4 )$
rozwiązanie:
mnożenie jest asocjacyjne, więc kolejność nawiasów nie robi różnicy. Współczynniki o tych samych podstawach są mnożone jak wyjaśniono wcześniej, więc ich wykładniki są dodawane.,
$ (x^2 \cdot y^3) (x^5 \ cdot y^4) = x^2 \cdot x^5 \cdot y^3 \cdot y^4 = x^7 \cdot y^7 = (xy)^7$
dzielenie
jeśli chodzi o mnożenie, istnieją dwie podstawowe zasady dzielenia wykładników.
pierwsza zasada – gdy zasady są takie same, odejmuje się ich wykładniki.
na przykład: $\ 2^2 : 2 = \frac{2^2}{2} = 2^{2 – 1} = 2^1 = 2$, które można łatwo sprawdzić od $4 : 2 = 2$.
na przykład: $\ 2^{-2} : 2^{-1} =\frac{2^{-2}}{2^{-1} }= 2^{-2-(-1)} = 2^{-1} = \frac{1} {2}$.,
druga reguła – jeśli zasady są różne, ale wykładniki są takie same, zasady są dzielone, a wykładniki pozostają takie same.
na przykład: $\ 2^2 : 3^2 = \frac{2^2}{3^2 } = (2 : 3)^2 = \left (\frac{2}{3} \ right)^2$.
przykład 7:
$ \ frac{4^2}{4^3} + \frac{1} {2}= ?$
rozwiązanie:
$ \ frac{4^2}{4^3} + \frac{1}{2} = 4^{2 – 3} + \frac{1}{2} = 4^{-1} + \frac{1} {2} = \frac{1} {4} + \frac{1} {2} = \ frac{1 + 2}{4} = \frac{3}{4}$
przykład 8:
$ \ frac{4^5}{4^{-2}} – 0.2 \cdot {4} + \ frac{1} {2} \ cdot {2^8}=?,$
rozwiązanie:
$ \ frac{4^5}{4^{-2}} – 0.2 \cdot 4 + \ frac{1} {2} \ cdot 2^8 = 4^{5 – (-2)} – \frac{2} {10} \ cdot 4 + \ frac{2^8}{2^1} = 4^{5 + 2} – \frac{1} {5} \cdot 4 + 2^{8 – 1} = 4^7 – \frac{4}{5} + 2^7$
przykład 9:
$\frac{18x^5Y^6a^2}{6XY^2a^5} = ?$
rozwiązanie:
$\frac{18x^5y^6a^2}{6xy^2a^5} = 3x^{5 – 1}y^{6 – 2}a^{2 – 5} = 3x^4y^4a^{-3} = \frac{3x^4Y^4}{a^3}$
Jeśli, jak w tym przykładzie, zadanie obejmuje tylko dzielenie i mnożenie, ułamek można podzielić na dwie mniejsze frakcje.,
$\frac{x^2y^3 + x^5y}{xy} = \frac{x^2y^3}{xy} + \frac{x^5y}{xy} = xy^2 + x^4$
Exponents worksheets
Properties of exponents
Numeric expressions (312.6 KiB, 1,893 hits)
Algebraic expressions (450.1 KiB, 1,880 hits)
Basics of exponents
Scientific notation (166.4 KiB, 1,601 hits)
Scientific notation – Write in standard notation (187.,0 KiB, 1,294 hits)
operacje z wykładnikami
mnożenie (195.3 KiB, 1,883 hits)
dzielenie (197.0 KiB, 1,589 hits)
(174.1 KiB, 1819 Hits)