hoewel wiskundigen meer dan 2000 jaar hebben besteed aan het ontleden van de structuur van de vijf Platonische lichamen — de tetraëder, kubus, octaëder, icosaëder en dodecaëder — is er nog veel dat we niet weten over hen.
nu heeft een drietal wiskundigen een van de meest fundamentele vragen over de dodecaëder opgelost.
stel dat je op een van de hoeken van een Platonische vaste stof staat., Is er een rechte weg die je zou kunnen nemen die je uiteindelijk zou terugkeren naar je startpunt zonder door een van de andere hoeken? Voor de vier platonische lichamen die zijn opgebouwd uit vierkanten of gelijkzijdige driehoeken — de kubus, tetraëder, octaëder en icosaëder — hebben wiskundigen onlangs ontdekt dat het antwoord nee is. Elk recht pad vanaf een hoek zal ofwel raken een andere hoek of wind rond voor altijd zonder terug te keren naar huis. Maar met de dodecaëder, die is gevormd uit 12 vijfhoeken, wisten wiskundigen niet wat ze konden verwachten.,
nu hebben Jayadev Athreya, David Aulicino en Patrick Hooper aangetoond dat een oneindig aantal van dergelijke paden in feite bestaan op de dodecaëder. Hun paper, gepubliceerd in Mei in Experimental Mathematics, laat zien dat deze paden kunnen worden onderverdeeld in 31 natuurlijke families.
de oplossing vereiste moderne technieken en computeralgoritmen., “Twintig jaar geleden, was absoluut buiten bereik; 10 jaar geleden zou het een enorme inspanning van het schrijven van alle benodigde software vereisen, dus pas nu alle factoren kwamen samen,” schreef Anton Zorich, van het Instituut voor Wiskunde van Jussieu in Parijs, in een e-mail.
het project begon in 2016 toen Athreya, van de Universiteit van Washington, en Aulicino, van Brooklyn College, begonnen te spelen met een verzameling kaarten die zich opvouwen tot Platonische lichamen., Toen ze de verschillende lichamen bouwden, bedacht Aulicino dat recent onderzoek naar vlakke geometrie precies zou kunnen zijn wat ze nodig zouden hebben om rechte paden op de dodecaëder te begrijpen. “We waren deze dingen letterlijk aan het samenvoegen,” zei Athreya. “Dus het was een soort van loze verkenning ontmoet een kans.”
samen met Hooper, van het City College Of New York, ontdekten de onderzoekers hoe ze alle rechte paden van de ene hoek naar zichzelf konden classificeren die andere hoeken vermijdden.hun analyse is “een elegante oplossing”, zei Howard Masur van de Universiteit van Chicago., “Het is een van deze dingen waar ik kan zeggen, zonder enige aarzeling, ‘goedheid, Oh, ik wou dat ik had gedaan dat!'”
Hidden Symmetries
hoewel wiskundigen al meer dan een eeuw speculeren over rechte paden op de dodecaëder, is er de laatste jaren een heropleving van interesse in het onderwerp geweest na een toename in het begrijpen van “translation surfaces.,”Dit zijn oppervlakken die worden gevormd door parallelle zijden van een veelhoek aan elkaar te lijmen en ze zijn nuttig gebleken voor het bestuderen van een breed scala aan onderwerpen met rechte paden op vormen met hoeken, van biljarttafeltrajecten tot de vraag wanneer een enkel licht een hele gespiegelde ruimte kan verlichten.
in al deze problemen is het basisidee om je vorm uit te rollen op een manier die de paden die je bestudeert eenvoudiger maakt. Om rechte paden op een Platonische vaste stof te begrijpen, kun je beginnen met genoeg randen open te snijden om de vaste stof plat te laten liggen, wat wiskundigen een net noemen., Een net voor de kubus, bijvoorbeeld, is een T-vorm gemaakt van zes vierkantjes.
stel je voor dat we de dodecaëder hebben afgevlakt, en nu lopen we langs deze vlakke vorm in een bepaalde richting. Uiteindelijk zullen we de rand van het net raken, op welk punt ons pad naar een ander Vijfhoek zal springen (welke aan onze huidige Vijfhoek vastgelijmd is voordat we de dodecaëder open snijden). Wanneer het pad springt, draait het ook met een veelvoud van 36 graden.,
om al dit hoppen en roteren te voorkomen, konden we bij het raken van een rand van het net in plaats daarvan een nieuwe, geroteerde kopie van het net lijmen en er recht in verder gaan. We hebben wat redundantie toegevoegd: nu hebben we twee verschillende vijfhoeken die elk Vijfhoek vertegenwoordigen op de oorspronkelijke dodecaëder. We hebben onze wereld ingewikkelder gemaakt, maar ons pad is eenvoudiger geworden. We kunnen een nieuw net blijven toevoegen elke keer dat we verder moeten groeien dan de rand van onze wereld.,
tegen de tijd dat ons pad door 10 netten is gereisd, hebben we ons oorspronkelijke net gedraaid door elk mogelijk veelvoud van 36 graden, en het volgende net dat we toevoegen zal dezelfde oriëntatie hebben als het net waarmee we begonnen. Dat betekent dat dit 11e net is gerelateerd aan het origineel door een eenvoudige verschuiving — wat wiskundigen een vertaling noemen. In plaats van op een 11e net te lijmen, kunnen we de rand van het 10e net gewoon aan de overeenkomstige parallelle Rand in het oorspronkelijke net lijmen., Onze vorm zal niet langer plat op tafel liggen, maar wiskundigen denken dat het nog steeds de vlakke meetkunde van zijn vorige incarnatie “herinnert” — dus bijvoorbeeld, paden worden als recht beschouwd als ze recht in de ongegelijmde vorm waren. Nadat we al deze mogelijke lijmen van overeenkomstige evenwijdige randen hebben gedaan, komen we uit bij wat een translatievlak wordt genoemd.
het resulterende oppervlak is een zeer redundante weergave van de dodecaëder, met 10 kopieën van elk Vijfhoek. Het is veel ingewikkelder: het lijmt zich op in een vorm als een donut met 81 gaten., Deze ingewikkelde vorm stelde de drie onderzoekers echter in staat om toegang te krijgen tot de rijke theorie van vertaaloppervlakken.
om dit gigantische oppervlak aan te pakken, rolden de wiskundigen hun mouwen op — figuurlijk en letterlijk. Na een paar maanden aan het probleem te hebben gewerkt, realiseerden ze zich dat het 81-gaats donutoppervlak niet alleen een overbodige representatie vormt van de dodecaëder, maar ook van een van de meest bestudeerde vertaaloppervlakken., Het wordt de dubbele Vijfhoek genoemd en wordt gemaakt door twee vijfhoeken langs een enkele rand te bevestigen en vervolgens parallelle zijden aan elkaar te lijmen om een donut met twee gaten te creëren met een rijke verzameling symmetrieën.
deze vorm was toevallig ook getatoeëerd op Athreya ‘ s arm. “Het dubbele pentagon was iets dat ik al kende en hield,” zei Athreya, die de tatoeage kreeg een jaar voordat hij en Aulicino begonnen na te denken over de dodecaëder.
omdat de dubbele vijfhoek en de dodecaëder geometrische neven zijn, kan de hoge mate van symmetrie van de eerste de structuur van de laatste verduidelijken., Het is een “verbazingwekkende verborgen symmetrie,” zei Alex Eskin van de Universiteit van Chicago (die was Athreya ‘ s Doctoraal adviseur ongeveer 15 jaar geleden). “Het feit dat de dodecaëder deze verborgen symmetriegroep heeft, is, denk ik, heel opmerkelijk.”