Volume

bovenstaande formules kunnen worden gebruikt om aan te tonen dat de volumes van een kegel, bol en cilinder met dezelfde straal en hoogte zijn in de verhouding 1 : 2 : 3, als volgt.,

Laten we de straal r en de hoogte h (dat is 2r voor de bol), dan is het volume van de kegel is

1 3 π r 2 h = 1 3 π r 2 ( 2 r ) = ( 2 3 π r 3 ) × 1 , {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}h={\frac {1}{3}}\pi r^{2}\left(2r\right)=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\times 1,}

het volume van de bol is

4 3 π r 3 = ( 2 3 π r 3 ) × 2 , {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\times 2,}

terwijl het volume van de cilinder is

π r 2 h = π r 2 ( 2 r ) = ( 2 3 π r 3 ) × 3., {\displaystyle \ pi r^{2}h= \ pi r^{2}(2r) = \left ({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right) \ times 3.}

De ontdekking van de verhouding 2 : 3 van de volumes van de bol en de cilinder wordt toegeschreven aan Archimedes.

volume formula derivationsEdit

SphereEdit

het volume van een bol is de integraal van een oneindig aantal infinitesimaal kleine cirkelschijven met dikte DX. De berekening voor het volume van een bol met Centrum 0 en straal r is als volgt.

het oppervlak van de ronde schijf is π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}} .,

De straal van de cirkelschijven, zodanig gedefinieerd dat de x-as er loodrecht doorheen snijdt, is

y = r 2 − x 2 {\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}

of

z = r 2 − x 2 {\displaystyle z={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}

waar y of z kan worden genomen om de straal voor te stellen van een schijf met een bepaalde X-waarde.

met y als schijfradius kan het volume van de bol worden berekend als

∫ − r R π y 2 d x = ∫ − r r π ( r 2 − x 2 ) d x . {\displaystyle \ int _{- r}^{r} \ pi y^{2}\, dx=\int _{- r}^{r}\Pi \left(r^{2} – x^{2}\right)\,dx.,}

nu

∫ – r R π r 2 d x – ∫ – r r π X 2 d x = π (r 3 + r 3) − π 3 ( r 3 + r 3) = 2 π R 3-2 π r 3 3 . {\displaystyle \ int _{- r}^{r} \ pi r^{2}\, dx – \ int _{- r}^{r} \ pi x^{2}\, dx=\pi \ left (R^{3}+r^{3}\right) – {\frac {\pi }{3}}\left(r^{3}+r^{3}\right) = 2 \ pi r^{3} – {\frac {2 \ pi r^{3}}{3}}.}

het combineren van opbrengsten V = 4 3 π r 3 . {\displaystyle V={\frac {4}{3}} \ pi r^{3}.}

deze formule kan sneller worden afgeleid met behulp van de formule voor het oppervlak van de bol, die 4 π r 2 {\displaystyle 4\pi r^{2}} is ., Het volume van de bol bestaat uit lagen van infinitesimaal dunne bolvormige schalen, en het volume van de bol is gelijk aan

0 0 r 4 π r 2 d r = 4 3 π r 3 . {\displaystyle \ int _{0}^{r}4 \ pi r^{2}\, dr={\frac {4}{3}} \ pi r^{3}.}

ConeEdit

de kegel is een type piramidale vorm. De fundamentele vergelijking voor piramides, een derde keer basis maal hoogte, geldt ook voor kegels.

het volume van een kegel is echter de integraal van een oneindig aantal infinitesimaal dunne cirkelschijven met dikte DX., De berekening voor het volume van een kegel van hoogte h, waarvan de basis gecentreerd is op (0, 0, 0) met straal r, is als volgt.

De straal van elke cirkelschijf is r als x = 0 en 0 als x = h, en varieert lineair tussen-dat wil zeggen,

r h-x h . {\displaystyle r {\frac {h-x}{h}}.}

het oppervlak van de ronde schijf is dan

π (r h-x h ) 2 = π r 2 ( h − x) 2 h 2 . {\displaystyle \ pi \ left (R {\frac {h-x}{H}}\right)^{2}=\pi r^{2} {\frac {(h-x)^{2}}{h^{2}}}.,}

Het volume van de kegel kan dan worden berekend als

∫ 0 h π r 2 ( h − x ) 2 h 2 d x {\displaystyle \int _{0}^{h}\pi r^{2}{\frac {(h-x)^{2}}{h^{2}}}dx}

en na de extractie van de constanten

π r 2 h 2 ∫ 0 h ( h − x ) 2 d x {\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{h^{2}}}\int _{0}^{h}(h-x)^{2}dx}

het Integreren geeft ons

π r 2 h 2 h 3 3 ) = 1 3 π r 2 h . {\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{h^{2}}} \ left ({\frac {h^{3}}{3}}\rechts) = {\frac {1}{3}} \ pi r^{2}h.}

veelvlak