zie lijst van tweede momenten van gebied voor andere vormen.,\mathrm {d} A=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}y^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}{\frac {1}{3}}{\frac {h^{3}}{4}}\,\mathrm {d} x={\frac {bh^{3}}{12}}\\I_{y}&=\iint \grenzen _{R}x^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}x^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}hx^{2}\,\mathrm {d} x={\frac {b^{3}h}{12}}\end{aligned}}}
met Behulp van de as loodrecht stelling krijgen we de waarde van J z {\displaystyle J_ / {z}} .,
J z = I x + I y = b h 3 12 + h b 3 12 = b h 12 b 2 + h 2 ) {\displaystyle J_ / {z}=I_{x}+I_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}+{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {bh}{12}}\left(b^{2}+h^{2}\right)}
Annulus gecentreerd op originEdit
Annulus met binnenste straal r1 en buitenste straal r2
Overweeg een annulus waarvan het middelpunt in de oorsprong, buiten de straal is r 2 {\displaystyle r_{2}} , en binnen een straal van r 1 {\displaystyle r_{1}} . Door de symmetrie van de annulus ligt ook het centroïde aan de oorsprong., We kunnen het polaire Traagheidsmoment, J z {\displaystyle J_{z}} , over de as z {\displaystyle z} bepalen door de methode van samengestelde vormen. Dit polair traagheidsmoment is gelijk aan het polair traagheidsmoment van een cirkel met straal r 2 {\displaystyle r_{2}} minus het polair traagheidsmoment van een cirkel met straal r 1 {\displaystyle r_{1}} , beide gecentreerd op de oorsprong. Laten we eerst het polaire traagheidsmoment van een cirkel met straal r {\displaystyle r} afleiden ten opzichte van de oorsprong., In dit geval is het gemakkelijker om direct j z {\displaystyle J_{z}} te berekenen, aangezien we al r 2 {\displaystyle R^{2}} hebben , die zowel een x {\displaystyle x} als y {\displaystyle y} component heeft. In plaats van het tweede gebiedsmoment te verkrijgen uit Cartesiaanse coördinaten zoals gedaan in de vorige sectie, zullen we I x {\displaystyle I_{x}} en J z {\displaystyle J_{z}} direct berekenen met behulp van poolcoördinaten.,b3be53f037″>
=\iint \grenzen _{R}r^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{2}\left(r\,\mathrm {d} o\,\mathrm {d} \theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\,\mathrm {d} o\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}}{4}}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}r^{4}\end{aligned}}}
Nu, het polair traagheidsmoment over de z {\displaystyle z} as voor een annulus is gewoon, zoals hierboven vermeld, het verschil van de tweede momenten van de oppervlakte van een cirkel met straal r 2 {\displaystyle r_{2}} en een cirkel met straal r 1 {\displaystyle r_{1}} .,
J z = J z , r 2 − J, z , r 1 = π 2 r 2 4 − π 2 r 1 4 = π 2 ( v 2 4 − r 1 4 ) {\displaystyle J_ / {z}=J_ / {z,r_{2}}-J_ / {z,r_{1}}={\frac {\pi }{2}}r_{2}^{4}-{\frac {\pi }{2}}r_{1}^{4}={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)}
als Alternatief, we zouden het wijzigen van de grenzen op de d r {\displaystyle \mathrm {d} r} integraal van de eerste keer, vanwege het feit dat er een gat. Dit zou zo gedaan worden.,r 2 r 2 r d r d θ ) = ∫ 0 2 π ∫ r 1 r 2 r 3 d o o r d θ = ∫ 0 2 π d θ = π 2 ( v 2 4 − r 1 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}J_ / {z}&=\iint \grenzen _{R}r^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{2}\left(r\,\mathrm {d} o\,\mathrm {d} \theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{3}\,\mathrm {d} o\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }\left\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}
Een polygonEdit
Een eenvoudige veelhoek., Hier , n = 6 {\displaystyle n=6}, merkt punt ” 7 ” is identiek aan punt 1.
het tweede moment van de oppervlakte over de oorsprong voor een eenvoudige veelhoek op het XY-vlak kan in het algemeen worden berekend door bijdragen van elk segment van de veelhoek op te tellen na het delen van het gebied in een reeks driehoeken. Deze formule is gerelateerd aan de schoenveterformule en kan worden beschouwd als een speciaal geval van de stelling van Green.
een veelhoek wordt verondersteld n {\displaystyle n} hoekpunten te hebben, genummerd tegen de klok in., Als veelhoekige hoekpunten met de klok mee worden genummerd, zullen de geretourneerde waarden negatief zijn, maar absolute waarden correct zijn.,y i + 1 − x i + 1 y i ) ( x i y i + 1 + 2 x i y i + 2 x i + 1 y i + 1 + x i + 1 y i ) {\displaystyle {\begin{aligned}I_{y}&={\frac {1}{12}}\som _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2}\right)\\I_{x}&={\frac {1}{12}}\som _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(y_{i}^{2}+y_{i}y_{i+1}+y_{i+1}^{2}\right)\\I_{xy}&={\frac {1}{24}}\som _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}y_{i+1}+2x_{i}y_{i}+2x_{i+1}y_{i+1}+x_{i+1}y_{i}\right)\end{aligned}}}