Momentum

Momentum is een vectorgrootheid: het heeft zowel magnitude als richting. Aangezien momentum een richting heeft, kan het worden gebruikt om de resulterende richting en snelheid van beweging van objecten te voorspellen nadat ze botsen. Hieronder worden de basiseigenschappen van momentum beschreven in één dimensie. De vectorvergelijkingen zijn vrijwel identiek aan de scalaire vergelijkingen (zie meerdere dimensies).

één deeltje

het momentum van een deeltje wordt conventioneel weergegeven door de letter p., Het is het product van twee grootheden, de massa van het deeltje (vertegenwoordigd door de letter m) en de snelheid (v):

p = m v . {\displaystyle p=mv.}

De momentumeenheid is het product van de eenheden massa en snelheid. In SI-eenheden, als de massa in kilogram is en de snelheid in meters per seconde dan is de momentum in kilogram meter per seconde (kg⋅m/s). In CGS eenheden, als de massa in gram en de snelheid in centimeters per seconde, dan is het momentum in gram centimeters per seconde (g⋅cm/s).

omdat het een vector is, heeft momentum magnitude en richting., Bijvoorbeeld, een modelvliegtuig van 1 kg, die recht naar het noorden reist met een snelheid van 1 m/s in rechte en vlakke vlucht, heeft een momentum van 1 kg⋅m/s recht naar het noorden gemeten ten opzichte van de grond.

veel deeltjes

het momentum van een systeem van deeltjes is de vector som van hun momenta. Als twee deeltjes respectieve massa ‘ s m1 en m2 en snelheden v1 en v2 hebben, is het totale momentum

p = p 1 + p 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}p& = p_{1}+p_{2}\\&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\,.,\end{aligned}}}

het moment van meer dan twee deeltjes kan meer in het algemeen worden toegevoegd met het volgende:

p = ∑ i m i v i . {\displaystyle p= \ sum _{i}m_{i}v_{i}.}

een systeem van deeltjes heeft een middelpunt van massa, een punt bepaald door de gewogen som van hun posities:

R cm = M 1 r 1 + m 2 r 2 + ⋯ m 1 + m 2 + ⋯ = ∑ i m i r i ∑ i m i . {\displaystyle r_ {\text{cm}}={\frac {m_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}+ \ cdots }{m_{1}+m_{2}+\cdots }}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}r_{i}}{\sum \limits _{I}m_{i}} {\Sum \ limits _ {I} m_ {i}}}.,}

als een of meer deeltjes bewegen, zal het middelpunt van de massa van het systeem over het algemeen ook bewegen (tenzij het systeem in zuivere rotatie eromheen draait). Als de totale massa van de deeltjes m is {\displaystyle m}, en het middelpunt van de massa beweegt met snelheid vcm, is de momentum van het systeem:

p = m v cm . {\displaystyle p = mv_ {\text{cm}}.}

Dit staat bekend als de eerste wet van Euler.

relatie tot kracht

indien de nettokracht F die op een deeltje wordt uitgeoefend constant is en gedurende een tijdsinterval Δt wordt uitgeoefend, verandert de momentum van het deeltje met een hoeveelheid

Δ P = F δt ., {\displaystyle \ Delta p=F\Delta t\,.}

in differentiële vorm is dit de tweede wet van Newton; De snelheid van verandering van het momentum van een deeltje is gelijk aan de momentane kracht F die erop werkt,

F = d p d t . {\displaystyle F={\frac {dp}{dt}}.}

als de nettokracht van een deeltje verandert als functie van de tijd, F (t), is de verandering in momentum (of Impuls J ) tussen tijden T1 en t2

Δ p = j = ∫ t 1 T 2 F ( t) d t . {\displaystyle \ Delta p = J = \ int _{T_{1}}^{t_{2}}F(t)\,dt\,.,}

impuls wordt gemeten in de afgeleide eenheden van de newton-seconde (1 N⋅s = 1 kg⋅m/s) of dyne-seconde (1 dyne⋅s = 1 g⋅cm/s)

onder de aanname van constante massa m is het equivalent van schrijven

F = d ( m v ) d t = m d v d t = m a, {\displaystyle F={\frac {d(mv)}{dt}}=m{\frac {dv}{dt}}=ma,}

De nettokracht is dus gelijk aan de massa van het deeltje maal zijn versnelling.

voorbeeld: een modelvliegtuig met een massa van 1 kg versnelt van de rust naar een snelheid van 6 m/s Pal Noord in 2 s. de nettokracht die nodig is om deze versnelling te produceren is 3 Newton pal Noord., De verandering in momentum is 6 kg⋅m / s pal naar het noorden. De snelheid waarmee het momentum verandert is 3 (kg⋅m/s)/s Pal Noord, Wat numeriek gelijk is aan 3 Newton.

behoud

In een gesloten systeem (een systeem dat geen materie uitwisselt met zijn omgeving en niet wordt ingewerkt door externe krachten) is het totale momentum constant. Dit feit, bekend als de wet van behoud van momentum, wordt geïmpliceerd door de bewegingswetten van Newton. Stel dat twee deeltjes op elkaar inwerken. Door de derde wet zijn de krachten tussen hen gelijk en tegengesteld., Als de deeltjes zijn genummerd 1 en 2, de tweede wet stelt dat F1 = dp1/dt en F2 = dp2 / dt. Daarom

d p 1 d t − – d P 2 D t, {\displaystyle {\frac {dp_{1}}{dt}}= – {\frac {dp_{2}}{dt}},}

met het negatieve teken dat aangeeft dat de krachten tegengesteld zijn. Equivalent,

d D t (P 1 + p 2) = 0. {\displaystyle {\frac {d}{dt}} \ left (p_{1}+P_{2}\right) = 0.}

als de snelheden van de deeltjes vóór de interactie u1 en u2 zijn en daarna v1 en v2, dan

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.,}

deze wet geldt ongeacht hoe ingewikkeld de kracht tussen deeltjes is. Evenzo, als er meerdere deeltjes, het momentum uitgewisseld tussen elk paar deeltjes opgeteld tot nul, dus de totale verandering in momentum is nul. Deze instandhoudingswet is van toepassing op alle interacties, met inbegrip van botsingen en scheidingen veroorzaakt door explosieve krachten. Het kan ook worden veralgemeend naar situaties waar de wetten van Newton niet gelden, bijvoorbeeld in de relativiteitstheorie en in de elektrodynamica.,

afhankelijkheid van referentieframe

Momentum is een meetbare hoeveelheid, en de meting hangt af van de beweging van de waarnemer., Bijvoorbeeld: als een appel in een glazen lift zit die afdaalt, ziet een externe waarnemer, die in de lift kijkt, de appel bewegen, dus voor die waarnemer heeft de appel een niet-nul momentum. Voor iemand in de lift beweegt de appel niet, dus heeft hij geen momentum. De twee waarnemers hebben elk een referentiekader, waarin ze bewegingen observeren, en als de lift gestaag daalt, zullen ze gedrag zien dat in overeenstemming is met dezelfde natuurkundige wetten.

stel dat een deeltje positie x heeft in een stationaire referentiekader., Vanuit het oogpunt van een ander referentiekader, bewegend met een uniforme snelheid u, verandert de positie (vertegenwoordigd door een geprepareerd coördinaat) met de tijd als

x ‘ = x − u t . {\displaystyle x ‘ =x-ut\,.}

Dit wordt een Galileïsche transformatie genoemd. Als het deeltje beweegt met snelheid dx/dt = v in het eerste referentiekader, in het tweede, beweegt het met snelheid

v ‘= d x ‘ d t = v − u . {\displaystyle v’ = {\frac {dx’} {dt}} = v-u\,.}

aangezien u niet verandert, zijn de versnellingen hetzelfde:

a ‘= d v ‘ d t = a . {\displaystyle a’ = {\frac {dv’} {dt}} = a\,.,}

zo wordt het momentum behouden in beide referentieframes. Bovendien, zolang de kracht dezelfde vorm heeft, in beide frames, is Newton ‘ s tweede wet onveranderd. Krachten zoals de Newtoniaanse zwaartekracht, die alleen afhankelijk zijn van de scalaire afstand tussen objecten, voldoen aan dit criterium. Deze onafhankelijkheid van het referentiekader wordt Newtoniaanse relativiteit of Galileïsche invariantie genoemd.

een verandering van referentiekader kan, vaak, de berekeningen van beweging vereenvoudigen. Bijvoorbeeld, in een botsing van twee deeltjes, kan een referentiekader worden gekozen, waar, één deeltje in rust begint., Een ander, algemeen gebruikt referentieframe, is het centrum van massa frame-een die beweegt met het centrum van massa. In dit frame is het totale momentum nul.

toepassing op botsingen

op zichzelf is de wet van behoud van momentum niet voldoende om de beweging van deeltjes na een botsing te bepalen. Een andere eigenschap van de beweging, kinetische energie, moet bekend zijn. Dit is niet noodzakelijk in stand gehouden. Als het wordt bewaard, wordt de botsing een elastische botsing genoemd; zo niet, is het een inelastische botsing.,

Elastische botsingen

Een elastische botsing is er één waarin geen kinetische energie wordt geabsorbeerd in de botsing. Perfect elastische “botsingen” kunnen optreden wanneer de objecten elkaar niet raken, zoals bijvoorbeeld bij atomaire of nucleaire verstrooiing waar elektrische afstoting ze uit elkaar houdt., Een katapultmanoeuvre van een satelliet rond een planeet kan ook worden gezien als een perfect elastische botsing. Een botsing tussen twee poolballen is een goed voorbeeld van een bijna volledig elastische botsing, vanwege hun hoge stijfheid, maar wanneer lichamen in contact komen is er altijd enige dissipatie.

een frontale elastische botsing tussen twee lichamen kan worden weergegeven door snelheden in één dimensie, langs een lijn die door de lichamen loopt., Als de snelheden U1 en u2 vóór de botsing en V1 en V2 daarna zijn, zijn de vergelijkingen die het behoud van momentum en kinetische energie uitdrukken:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 1 2 m 1 u 1 2 + 1 2 m 2 u 2 2 = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\\{\tfrac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}&={\tfrac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\,.\ end{aligned}}}

een wijziging van het referentiekader kan de analyse van een botsing vereenvoudigen., Bijvoorbeeld, stel dat er twee lichamen van gelijke massa m, een stationair en een naderen van de andere met een snelheid v (zoals in de figuur). Het middelpunt van de massa beweegt met snelheid v / 2 en beide lichamen bewegen naar het met snelheid v/2. Vanwege de symmetrie moeten beide na de botsing met dezelfde snelheid uit het middelpunt van de massa bewegen. Als we de snelheid van het middelpunt van de massa bij beide optellen, zien we dat het lichaam dat bewoog nu gestopt is en het andere zich met snelheid weg beweegt v. De lichamen hebben hun snelheden uitgewisseld., Ongeacht de snelheden van de lichamen, een schakelaar naar het centrum van massa frame leidt ons tot dezelfde conclusie. Daarom worden de eindsnelheden gegeven door

v 1 = U 2 v 2 = u 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}&=u_{2}\\v_{2}&=u_{1}\,.,\end{aligned}}}

In het algemeen, wanneer de initiële snelheden zijn bekend, de laatste snelheden zijn gegeven door

v 1 = ( m 1 − m 2-m 1 + m 2 ) u 1 + ( 2 m 2 m 1 + m 2 ) u 2 {\displaystyle v_{1}=\left({\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}+\left({\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{2}\,} v 2 = ( m 2 − m 1 m 1 + m 2 ) u 2 + ( 2 m 1 m 1 + m 2 ) u-1 . {\displaystyle v_{2}= \ left ({\frac {m_{2}-m_{1}}{M_{1}+m_{2}}} \ right)u_{2}+\left({\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right) u_{1}\,.,}

als het ene lichaam veel grotere massa heeft dan het andere, zal zijn snelheid weinig worden beïnvloed door een botsing, terwijl het andere lichaam een grote verandering zal ervaren.

inelastische botsingen

bij een inelastische botsing wordt een deel van de kinetische energie van de botsende lichamen omgezet in andere vormen van energie (zoals als warmte of geluid)., Voorbeelden hiervan zijn verkeersongevallen, waarbij het effect van het verlies van kinetische energie te zien is in de schade aan de voertuigen; elektronen die een deel van hun energie verliezen aan atomen (zoals in het Franck–Hertz experiment); en deeltjesversnellers waarbij de kinetische energie wordt omgezet in massa in de vorm van nieuwe deeltjes.

bij een volkomen inelastische botsing (zoals een bug die een voorruit raakt), hebben beide lichamen achteraf dezelfde beweging. Een frontale inelastische botsing tussen twee lichamen kan worden weergegeven door snelheden in één dimensie, langs een lijn die door de lichamen gaat., Als de snelheden U1 en u2 voor de botsing zijn dan zullen beide lichamen in een perfect inelastische botsing met snelheid v na de botsing reizen. De vergelijking die het momentumbehoud uitdrukt is:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = (m 1 + m 2 ) v . {\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=\left(m_{1}+M_{2}\right)v\,.\ end{aligned}}}

als één lichaam om te beginnen bewegingloos is (bijv., u 2 = 0 {\displaystyle u_{2}=0}), de vergelijking voor behoud van momentum is

M 1 u 1 = (m 1 + m 2 ) v , {\displaystyle m_{1}u_{1}=\left (m_{1}+m_{2}\right)v\,,}

so

v = M 1 m 1 + m 2 u 1 . {\displaystyle v={\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1}\,.}

in een andere situatie, als het referentiekader met de eindsnelheid zo beweegt dat v = 0 {\displaystyle v=0}, worden de objecten tot rust gebracht door een volkomen inelastische botsing en wordt 100% van de kinetische energie omgezet in andere vormen van energie., In dit geval zouden de initiële snelheden van de lichamen niet-nul zijn, of de lichamen zouden massaloos moeten zijn.

Een maat voor de inelasticiteit van de botsing is de restitutiecoëfficiënt CR, gedefinieerd als de verhouding tussen de relatieve scheidingssnelheid en de relatieve naderingssnelheid. Bij het toepassen van deze maat op een bal die vanaf een vast oppervlak stuitert, kan dit eenvoudig worden gemeten met behulp van de volgende formule:

C R = bounce height drop height . {\displaystyle C_ {\text{R}}={\sqrt {\frac {\text{bounce height}}{\text{drop height}}}}\,.,}

De momentum – en energievergelijkingen zijn ook van toepassing op de bewegingen van objecten die samen beginnen en dan uit elkaar bewegen. Een explosie is bijvoorbeeld het resultaat van een kettingreactie die potentiële energie die is opgeslagen in chemische, mechanische of nucleaire vorm omzet in kinetische energie, akoestische energie en elektromagnetische straling. Raketten maken ook gebruik van behoud van momentum: stuwstof wordt naar buiten geduwd, wint momentum, en een gelijke en tegenovergestelde momentum wordt doorgegeven aan de raket.,

meerdere dimensies

reële beweging heeft zowel richting als snelheid en moet worden weergegeven door een vector. In een coördinatenstelsel met X -, y-en z-assen heeft snelheid componenten vx in de x-richting, vy in de y-richting, vz in de z-richting., De vector wordt weergegeven door een vetgedrukt symbool:

v = (v x, v y, v z). {\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{x},V_{y},V_{z}\right).}

op dezelfde manier is het momentum een vectorgrootheid en wordt het weergegeven door een vetgedrukt symbool:

p = (p x, p y, p z ) . {\displaystyle \mathbf {p} =\left(p_{x},P_{y},P_{z}\right).}

de vergelijkingen in de vorige secties werken in vectorvorm als de scalaren p en v worden vervangen door vectoren p en v. elke vectorvergelijking vertegenwoordigt drie scalaire vergelijkingen., Bijvoorbeeld,

P =M v {\displaystyle \mathbf {p} = m\mathbf {v} }

vertegenwoordigt drie vergelijkingen:

p x = m v x P y = m V y P z = m V z . {\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}&=mv_{x}\\p_{y}&=MV_{y}\\p_{z}&=mv_{z}.\ end{aligned}}}

de kinetische energievergelijkingen zijn uitzonderingen op de bovenstaande vervangingsregel. De vergelijkingen zijn nog steeds eendimensionaal, maar elke scalar vertegenwoordigt de magnitude van de vector, bijvoorbeeld

v 2 = v x 2 + v y 2 + v z 2 . {\displaystyle v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\,.,}

elke vectorvergelijking vertegenwoordigt drie scalaire vergelijkingen. Vaak kunnen coördinaten zo worden gekozen dat slechts twee componenten nodig zijn, zoals in de figuur. Elke component kan afzonderlijk worden verkregen en de resultaten worden gecombineerd om een vectorresultaat te produceren.

een eenvoudige constructie waarbij het midden van het massaframe is betrokken, kan worden gebruikt om aan te tonen dat als een stationaire elastische bol wordt geraakt door een bewegende bol, de twee na de botsing loodrecht zullen afhaken (zoals in de figuur).,

objecten met variabele massa

het concept momentum speelt een fundamentele rol bij het verklaren van het gedrag van objecten met variabele massa, zoals een raket die brandstof uitwerpt of een steraanvullend gas. Bij het analyseren van een dergelijk object, behandelt men de massa van het object als een functie die varieert met de tijd: m(t). Het momentum van het object op tijd t is daarom p(t) = m(t)v (t)., Men zou dan kunnen proberen om Newton ‘ s tweede wet van beweging aan te roepen door te zeggen dat de externe kracht F op het object is gerelateerd aan zijn momentum p(t) door F = dp/dt, maar dit is onjuist, net als de verwante uitdrukking gevonden door het toepassen van de productregel op d(mv)/dt:

F = m ( t ) d v d T + v ( t ) d m D t . {\displaystyle F = m(t){\frac {dv}{dt}}+v (t){\frac {dm}{dt}}.} (incorrect)

deze vergelijking beschrijft de beweging van objecten met variabele massa niet correct., De juiste vergelijking is

F = m(t ) d v d T − u d m D t , {\displaystyle F=m (T){\frac {dv}{dt}}-u{\frac {dm}{dt}},}

waarbij u de snelheid is van de uitgeworpen/geaccreteerde massa zoals te zien in het restframe van het object. Dit is verschillend van v, wat de snelheid is van het object zelf Zoals Gezien In een traagheidsframe.

deze vergelijking wordt afgeleid door zowel het momentum van het object als het momentum van de uitgeworpen/geaccreteerde massa (dm) bij te houden. Samen genomen vormen het object en de massa (dm) een gesloten systeem waarin het totale momentum behouden blijft.,

P ( T + d t) = (m – D m) (v + D v) + D m (V-u) = m v + m D v-u D M = P(t ) + m D v − U D M {\displaystyle P (t+dt) = (m-dm) (V+dv) + dm(v-U) = mv + mdv-udm=P (t) + mdv-udm}