Kwadraatafwijkingen van het gemiddelde

in de situatie waarin gegevens beschikbaar zijn voor k verschillende behandelingsgroepen met grootte ni waarbij I varieert van 1 tot k, wordt aangenomen dat het verwachte gemiddelde van elke groep

E ⁡ ( μ i ) = μ + T I {\displaystyle \operatorname {E} (\mu _{i})=\mu +T_{I}}

is en de variantie van elke behandeling de groep is onveranderd ten opzichte van de populatievariantie σ 2 {\displaystyle \Sigma ^{2}} .,

onder de nulhypothese dat de behandelingen geen effect hebben, zal elk van de T i {\displaystyle T_{i}} nul zijn.,i ) {\displaystyle T=\som _{i=1}^{k}\left(\left(\som x\right)^{2}/n_{i}\right)} E ⁡ ( T ) = k) σ 2 + ∑ i = 1 k n i ( μ + T i ) 2 {\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+\som _{i=1}^{k}n_{i}(\mu +T_{i})^{2}} E ⁡ ( T ) = k) σ 2 + n-µ 2 + 2 μ ∑ i = 1 k ( n i T i ) + ∑ i = 1 k n i ( T i ) 2 {\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+\n \ mu ^{2}+2\mu \som _{i=1}^{k}(n_{i}T_{i})+\som _{i=1}^{k}n_{i}(T_{i})^{2}}

Onder de null-hypothese dat de behandelingen veroorzaken geen verschillen en alle T i {\displaystyle T_{i}} nul zijn, is de verwachting vereenvoudigt tot

E ⁡ ( T ) = k) σ 2 + n μ 2 ., {\displaystyle \ operatorname {E} (T) = k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}.,C)=\sigma ^{2}+\n \ mu ^{2}}

Sommen van kwadraten deviationsEdit

E ⁡ ( I − C ) = ( n − 1 ) σ 2 {\displaystyle \operatorname {E} (I-C)=(n-1)\sigma ^{2}} totale kwadratische afwijkingen aka de totale som van kwadraten E ⁡ ( T − C ) = ( k − 1 ) σ 2 {\displaystyle \operatorname {E} (T-C)=(k-1)\sigma ^{2}} behandeling kwadratische afwijkingen aka uitgelegd som van de kwadraten E ⁡ ( I − T ) = ( n − k ) σ 2 {\displaystyle \operatorname {E} (it)=(n-k)\sigma ^{2}} resterende kwadratische afwijkingen aka residuele som van kwadraten

De constanten (n − 1), (k − 1) (n − k) worden gewoonlijk aangeduid als het aantal graden van vrijheid.,

Exampledit

in een zeer eenvoudig voorbeeld komen 5 waarnemingen voort uit twee behandelingen. De eerste behandeling geeft drie waarden 1, 2 en 3, en de tweede behandeling geeft twee waarden 4 en 6.

ik = 1 2 1 + 2 2 1 + 3 2 1 + 4 2 1 + 6 2 1 = 66 {\displaystyle I={\frac {1^{2}}{1}}+{\frac {2^{2}}{1}}+{\frac {3^{2}}{1}}+{\frac {4^{2}}{1}}+{\frac {6^{2}}{1}}=66} T = ( 1 + 2 + 3 ) 2 3 + ( 4 + 6 ) 2 2 = 12 + 50 = 62 {\displaystyle T={\frac {(1+2+3)^{2}}{3}}+{\frac {(4+6)^{2}}{2}}=12+50=62} C = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 6 ) 2 5 = 256 / 5 = 51.2 {\displaystyle C={\frac {(1+2+3+4+6)^{2}}{5}}=256/5=51.,2}

geeft

totale kwadraatafwijkingen = 66-51,2 = 14,8 met 4 vrijheidsgraden. Behandeling kwadraatafwijkingen = 62-51,2 = 10,8 met 1 graad van vrijheid. Resterende kwadraatafwijkingen = 66-62 = 4 met 3 vrijheidsgraden.

bidirectionele variantieanalyse

het volgende hypothetische voorbeeld geeft de opbrengsten van 15 planten met twee verschillende milieuvariaties en drie verschillende meststoffen.,

Vijf sommen van kwadraten berekend worden:

tot slot, de som van de kwadratische afwijkingen nodig zijn voor de analyse van de variantie kan worden berekend.,