exponentiatie is een wiskundige bewerking met twee getallen, de basis $x$ en de exponent $a$. Wanneer $a$ een positief geheel getal is, komt exponentiatie overeen met herhaalde vermenigvuldiging van de basis.
per definitie is elk getal dat 0 als exponent heeft gelijk aan 1. Dit betekent dat, ongeacht hoe groot de base is, als hun exponent gelijk is aan 0, Dat getal altijd gelijk is aan 1.,
elk getal dat geen exponent heeft, heeft eigenlijk het nummer 1 als exponent. Het nummer 1 is de standaard exponent van elk nummer, dus het is niet nodig om het op te schrijven, maar in sommige taken kan het nuttig zijn om dit te doen.
Eén vermenigvuldigd met één is altijd één, ongeacht hoe vaak je de vermenigvuldiging herhaalt, dus 1 tot elke macht is altijd gelijk aan 1.,
negatieve exponenten
als de exponent een positief geheel getal is, komt exponentiatie overeen met herhaalde vermenigvuldiging van de basis, dus wat betekent het als de exponent een negatief geheel getal is? De wederkerige waarde van de base wordt dan gebruikt om de negatieve exponent in een positief te veranderen.
$a^{- n}=(a^{-1})^n=\left (\frac{1}{A}\right)^n=\frac{1}{A^N}$
hetzelfde geldt andersom. Als een onbekende in de noemer zit, kan de noemer een teller worden door het teken van de exponent te veranderen., In sommige gevallen zal dit een zeer nuttige functie blijken te zijn, vooral bij het werken met inverse getallen en functies.
Voorbeeld 1: Schrijf deze uitdrukkingen met alleen positieve exponenten:
a) $a^{-7}$
b) $\frac{-6x^{-1}}{y^5}$
c) $\frac{-12x^{-6}y^{-9}}{z^3}$
de Oplossing:
a) $a^{-7}=\frac{1}{a^7}$
b) $\frac{-6x^{-1}}{y^5}=\frac{-6}{x^1 \cdot y^5}=\frac{-6}{xy^5}$
c) $\frac{-12x^{-6}y^{-9}}{z^3} = \frac{-12}{x^6 \cdot y^9 \cdot z^3}$
Naast
Hoe kan men optellen of aftrekken exponenten?,
De meeste interessante taken omvatten unkowns, maar dezelfde regels gelden voor hen.
laten we eens kijken naar een eenvoudige vergelijking:
sinds $\ x = x^1$ en $\ 1 = x^0$ kunnen we onze vergelijking als volgt schrijven:
Hoe zou u het normaal oplossen? De variabelen met $x$ worden afzonderlijk toegevoegd, en afzonderlijke variabelen zonder $x$.,
The same will apply to larger exponents:
$\ x^{12} + 3 \cdot {x^{12}} + 2 \cdot {x^2} = 4 \cdot {x^{12}} + 2 \cdot {x^2}$
Example 2: Add exponents
Aftrekken
dezelfde regels die gelden voor het optellen van exponenten, gelden ook voor het aftrekken.
U kunt alleen getallen aftrekken die onbekenden hebben met dezelfde exponent.
Voorbeeld 3: exponenten Aftrekken:
$ 4x^{12} – 0,25 x^4 + 2x^2-3x^2-3x^{12} = ?$
oplossing:
$ (4x^{12} – 3x^{12}) – 0,25\cdot {x^4} + (2x^2 – 3x^2) = x^{12} – 0,25\cdot {x^4} – x^2$
vermenigvuldiging
Er zijn twee basisregels voor vermenigvuldiging van exponenten.,
De eerste regel – als basen hetzelfde zijn, worden hun exponenten bij elkaar opgeteld.
bijvoorbeeld: $ \ 2^{-2} \ cdot {2^{-3}} = 2^{- 2 – 3} = 2^{-5} = \links (\frac{1}{2} \ rechts)^5$.
de tweede regel – als basen verschillend zijn, maar exponenten hetzelfde zijn, worden basen vermenigvuldigd en exponenten blijven hetzelfde.
bijvoorbeeld: $\ 2^2 \cdot {3^2} = (2 \cdot {3})^2 = 6^2$.
Voorbeeld 4:
$ 2^2 \cdot {4^2}=?,$
oplossing:
om twee exponenten te vermenigvuldigen, moet hun base of hun exponenten gelijk zijn. In dit voorbeeld is dat ook niet het geval. Dus, de eerste stap is om, waar mogelijk, om elk nummer te draaien naar de laagste basis. In dit voorbeeld kan het getal $4$ worden geschreven als $2^2$.
$ 2^2 \cdot {(2^2)^2} = ?$
het vierkant vertegenwoordigt het getal vermenigvuldigd met zichzelf dus $\ (2^2)^2$ kan geschreven worden als $\ 2^2 \ cdot {2^2} = 2^{2 + 2} = 2^4$.,
From Example 4, this generalisation can be made:
Final solution: $\ 2^2 \cdot {4^2}= 2^2 \cdot {(2^2)^2} = 2^2 \cdot {2^4} = 2^{2+4} = 2^6$.
Example 5:
$ \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot {0.2^2} = ?,$
Oplossing:
$$=\left (\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left (\frac{2}{10}\right)^2$$
$$=\left (\frac{2}{3}\right)^2 \cdot\left (\frac{1}{5}\right)^2$$
$$= \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5}\right)^2 $$
$$= \left(\frac{2}{15}\right)^2$$
Voorbeeld 6:
$\ (x^2 y^3)(x^5 y^4 )$
Oplossing:
de Vermenigvuldiging is associatief, dus de volgorde van de beugels niet het verschil maken. De factoren met dezelfde basen worden vermenigvuldigd zoals eerder uitgelegd, dus hun exponenten worden toegevoegd.,
$ (x^2 \cdot y^3) (x^5 \cdot y^4) = x^2 \cdot x^5 \cdot y^3 \cdot y^4 = x^7 \cdot y^7 = (xy)^7$
deling
voor vermenigvuldiging zijn er twee basisregels voor het delen van exponenten.
De eerste regel – wanneer basen hetzelfde zijn, worden hun exponenten afgetrokken.
bijvoorbeeld: $\ 2^2 : 2 = \frac{2^2}{2} = 2^{2 – 1} = 2^1 = 2$, die gemakkelijk kan worden gecontroleerd omdat $4: 2 = 2$.
bijvoorbeeld: $\ 2^{-2} : 2^{-1} =\frac{2^{-2}}{2^{-1} }= 2^{-2-(-1)} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.,
de tweede regel – als basen verschillend zijn, maar exponenten hetzelfde zijn, worden basen gedeeld en blijven de exponenten hetzelfde.
bijvoorbeeld: $\ 2^2 : 3^2 = \frac{2^2}{3^2 } = (2 : 3)^2 = \links (\frac{2}{3} \ rechts)^2$.
Voorbeeld 7:
$ \ frac{4^2}{4^3} + \frac{1}{2} = ?$
Oplossing:
$\frac{4^2}{4^3} + \frac{1}{2} = 4^{2 – 3} + \frac{1}{2} = 4^{-1} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1 + 2}{4} = \frac{3}{4}$
Voorbeeld 8:
$\frac{4^5}{4^{-2}} – 0.2 \cdot {4} + \frac{1}{2} \cdot {2^8} = ?,$
Oplossing:
$\frac{4^5}{4^{-2}} – 0.2 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 2^8 = 4^{5 – (-2)} – \frac{2}{10} \cdot 4 + \frac{2^8}{2^1} = 4^{5 + 2} – \frac{1}{5} \cdot 4 + 2^{8 – 1} = 4^7 – \frac{4}{5} + 2^7$
Voorbeeld 9:
$\frac{18x^5j^6a^2}{6xy^2a^5} = ?$
oplossing:
$\frac{18x^5y^6a^2}{6xy^2a^5} = 3x^{5 – 1}y^{6 – 2}a^{2 – 5} = 3x^4y^4a^{-3} = \frac{3x^4y^4}{a^3}$
als, zoals in dit voorbeeld, een taak alleen deling en vermenigvuldiging omvat, kan de fractie worden verdeeld in twee kleinere fracties.,
$\frac{x^2y^3 + x^5y}{xy} = \frac{x^2y^3}{xy} + \frac{x^5y}{xy} = xy^2 + x^4$
Exponents worksheets
Properties of exponents
Numeric expressions (312.6 KiB, 1,893 hits)
Algebraic expressions (450.1 KiB, 1,880 hits)
Basics of exponents
Scientific notation (166.4 KiB, 1,601 hits)
Scientific notation – Write in standard notation (187.,0 KiB, 1,294 hits)
bewerkingen met exponenten
vermenigvuldiging (195,3 KiB, 1,883 hits)
deling (197,0 KiB, 1,589 hits)
verhoogd tot een vermogen (174,1 KiB, 1.819 treffers)