Volum

Volum forholdstall for en kjegle, kule og sylinder med samme radius og heightEdit

De ovennevnte formler kan brukes til å vise at volumet av en kjegle, kule og sylinder med samme radius og høyde er i forholdet 1 : 2 : 3, som følger.,

La radius m og høyden være h (som er 2r for sfære), og deretter volumet av kjeglen

1 3 π r 2 h = 1 3 π r 2 ( 2 r ) = ( 2 3 π r 3 ) × 1 , {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}h={\frac {1}{3}}\pi r^{2}\left(2r\right)=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\ganger 1,}

volumet av kula er

4 3 π r 3 = ( 2 3 π r 3 ) × 2 , {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\ganger 2,}

mens volumet av sylinderen er

π r 2 h = π r 2 ( 2 r ) = ( 2 3 π r 3 ) × 3., {\displaystyle \pi r^{2}h=\pi r^{2}(2r)=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\3 ganger.}

oppdagelsen av 2 : 3 forholdet mellom volum av kule og sylinder er kreditert til Arkimedes.

Volum formelen derivationsEdit

SphereEdit

volumet av en kule er en integrert del av et uendelig antall infinitesimally små sirkulære plater av tykkelse dx. Beregningen for volumet av en kule med sentrum 0 og radius r er som følger.

arealet av sirkulær disk er π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}} .,

radius av sirkulære plater, som er definert slik at x-aksen kutt loddrett gjennom dem, er

y = r 2 − x 2 {\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}

eller

z = r 2 − x 2 {\displaystyle z={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}

hvor y eller z kan bli tatt ut til å representere radius på en disk i en bestemt x-verdi.

ved Hjelp av y som disk radius, volumet av kula kan beregnes som

∫ − r r π y 2 d x = ∫ − r r π ( r 2 − x 2 ) d x . {\displaystyle \int _{r}^{r}\pi y^{2}\,dx=\int _{r}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)\,dx.,}

Nå

∫ − r r π r 2 d x − ∫ − r r π x 2 d x = π ( r-3 r-3 ) − π 3 ( r-3 r-3 ) = 2 π r 3 − 2 π r 3 3 . {\displaystyle \int _{r}^{r}\pi r^{2}\,dx-\int _{r}^{r}\pi x^{2}\,dx=\pi \left(r^{3}+r^{3}\right)-{\frac {\pi }{3}}\left(r^{3}+r^{3}\right)=2\pi r^{3}-{\frac {2\pi r^{3}}{3}}.}

ved å Kombinere gir V = 4 3 π r-3 . {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}

Denne formelen kan utledes mer raskt ved hjelp av formelen for sfære overflate, som er 4 π r 2 {\displaystyle 4\pi r^{2}} ., Volumet av den sfære som består av lag av infinitesimally tynn sfærisk skall, og den sfære volum er lik

∫ 0 r-4 π r 2 d r = 4 3 π r-3 . {\displaystyle \int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,dr={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}

ConeEdit

membran er en type pyramidal form. Den grunnleggende ligningen for pyramider, en tredjedel ganger base ganger høyde, gjelder kjegler som godt.

Imidlertid, ved hjelp av matematisk analyse, volumet av en kjegle er en integrert del av et uendelig antall infinitesimally tynn sirkulære plater av tykkelse dx., Beregningen for volumet av en kjegle med høyde h, hvis basen er sentrert i (0, 0, 0) med radius r, er som følger.

radius av hver sirkulær disk er r hvis x = 0, og 0 hvis x = h, og varierer lineært i mellom—det vil si at

r t − x t . {\displaystyle r{\frac {h-x}{h}}.}

arealet av sirkulær disk er så

π ( r h − x-h ) 2 = π r 2 ( h − x ) 2 h 2 . {\displaystyle \pi \left(r{\frac {h-x}{h}}\right)^{2}=\pi r^{2}{\frac {(h-x)^{2}}{h^{2}}}.,}

volumet av kjeglen kan da beregnes som

∫ 0 t π r 2 ( h − x ) 2 h 2 d x , {\displaystyle \int _{0}^{h}\pi r^{2}{\frac {(h-x)^{2}}{h^{2}}}dx}

og etter uttak av konstanter

π r 2 h 2 ∫ 0 t ( h − x ) 2 d x {\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{h^{2}}}\int _{0}^{h}(h-x)^{2}dx}

å Integrere gir oss

π r 2 h 2 ( h 3 3 ) = 1 3 π r 2 h . {\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{h^{2}}}\left({\frac {h^{3}}{3}}\til høyre)={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.}

PolyhedronEdit