Momentum (Norsk)

Momentum er en vektor antall: den har både styrke og retning. Siden momentum har en retning, det kan brukes til å forutsi noe som resulterer retning og hastighet på bevegelse av objekter når de kolliderer. Nedenfor grunnleggende egenskaper av momentum er beskrevet i én dimensjon. Vector ligningene er nesten identisk med skalar ligninger (se flere dimensjoner).

Enkelt partikkel

fremdriften av en partikkel er konvensjonelt representert med bokstaven p., Det er produktet av to mengder, partikkel med masse (representert med bokstaven m) og hastighet (v):

p = m v . {\displaystyle p=mv.}

Den enhet av momentum er produktet av enheter av masse og hastighet. I SI-enheter, hvis massen er i kilo og hastigheten i meter per sekund deretter fremdriften er i kilo meter per sekund (kg⋅m/s). I cgs-enheter, hvis massen i gram og hastigheten i centimeter per sekund, så fremdriften er i gram centimeter per sekund (g⋅cm/s).

å Være en vektor, momentum har styrke og retning., For eksempel, en 1 kg modell fly, reiser på grunn nord på 1 m/s i rett og nivå fly, har en fart på 1 kg⋅m/s på grunn av nord-målt med referanse til bakken.

Mange partikler

fremdriften av et system av partikler er vektoren er summen av deres momenta. Hvis to partikler har respektive massene m1 og m2, og fart v1 og v2, den totale momentum

– > p = s 1 + p 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle {\begin{justert}p&=p_{1}+p_{2}\\&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\,.,\end{justert}}}

Den momenta av mer enn to partikler kan bli lagt mer generelt med følgende:

p = ∑ i m i v i . {\displaystyle p=\sum _{i}m_{i}v_{i}.}

Et system av partikler har et tyngdepunkt, et punkt bestemt av den veide summen av sine posisjoner:

r cm = m 1 r 1 + m 2 r 2 + ⋯ m 1 + m 2 + ⋯ = ∑ i m i r jeg ∑ jeg m jeg . {\displaystyle r_{\text{cm}}={\frac {m_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}+\cdots }{m_{1}+m_{2}+\cdots }}={\frac {\summen \grenser _{i}m_{i}r_{i}}{\summen \grenser _{i}m_{i}}}.,}

Hvis ett eller flere av partiklene er i bevegelse, i sentrum av massen av systemet vil vanligvis være i bevegelse, så vel (med mindre systemet er i ren rotasjon rundt det). Hvis den totale massen av partiklene er m {\displaystyle m} , og sentrum av massen beveger seg med hastighet vcm, fremdriften av systemet er:

p = m v cm . {\displaystyle p=mv_{\text{cm}}.}

Dette er kjent som Euler ‘ s første lov.

Forhold til å tvinge

Hvis netto kraft F brukt til en partikkel er konstant, og er brukt for et tidsintervall Δt, farten til partikkelen endringer av et beløp

Δ p = F Δ t ., {\displaystyle \Delta p=F\Delta t\,.}

I differensial form, dette er Newtons andre lov; den endring av fremdriften av en partikkel er lik momentant kraften F som virker på det,

F = d-s p i l t . {\displaystyle F={\frac {dp}{dt}}.}

Hvis netto kraft som oppleves av en partikkel endres som en funksjon av tiden, F(t), endring i bevegelsesmengde (eller impuls J ) mellom tidspunktene t1 og t2 er

Δ p = J = ∫ t 1 t 2 F ( t ) d t . {\displaystyle \Delta p=J=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F(t)\,dt\,.,}

Impuls er målt i enheter avledet av newtons andre (1 N⋅s = 1 kg⋅m/s) eller dyne andre (1 dyne⋅s = 1 g⋅cm/s)

Under forutsetning av konstant masse m, det er det samme som å skrive

F = d ( m v ) d t = m d v d t = m-a , {\displaystyle F={\frac {d(mv)}{dt}}=m{\frac {dv}{dt}}=ma,}

derfor netto kraft som er lik massen av partikkelen ganger sin akselerasjon.

Eksempel: En modell fly av massen 1 kg akselererer fra resten til en hastighet på 6 m/s på grunn nord i 2 s. Netto kraft som kreves for å produsere denne akselerasjonen er 3 newtons skyldes nord., Endringen i bevegelsesmengde er 6 kg⋅m/s på grunn nord. Frekvensen av endring av momentum er 3 (kg⋅m/s)/s på grunn nord som er numerisk tilsvarende 3 newtons.

Bevaring

I et lukket system (som ikke exchange noen rolle med sine omgivelser og ikke utsettes for påvirkning av ytre krefter) det totale trykket er konstant. Dette faktum, som er kjent som loven om bevaring av bevegelsesmengde, er implisert av Newtons bevegelseslover. Anta, for eksempel, at to partikler samhandle. På grunn av den tredje lov, krefter mellom dem er lik og motsatt., Hvis partiklene er nummerert 1 og 2, den andre loven sier at F1 = dp1/dt og F2 = dp2/dt. Derfor,

d s 1 d t = − d p 2 d t , {\displaystyle {\frac {dp_{1}}{dt}}=-{\frac {dp_{2}}{dt}},}

med negativt fortegn indikerer at kreftene er imot. Tilsvarende

d d t ( p 1 + p 2 ) = 0. {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(p_{1}+p_{2}\right)=0.}

Hvis velocities av partikler u1 og u2 før interaksjon, og etterpå de er v1 og v2, og deretter

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.,}

Denne loven har uansett hvor komplisert force er mellom partikler. Tilsvarende, hvis det er flere partikler, momentum som utveksles mellom hvert par av partikler legger opp til null, slik at den totale endringen i bevegelsesmengde er null. Dette bevaring loven gjelder for alle vekselsvirkningene, inkludert kollisjoner og separasjoner forårsaket av eksplosive krefter. Det kan også bli generalisert til situasjoner hvor Newtons lover ikke hold, for eksempel i relativitetsteorien og i electrodynamics.,

Avhengighet av reference frame

Momentum er en målbar mengde, og målingen avhenger av bevegelse av observatøren., For eksempel: hvis en apple sitter i en glassheis som er synkende, en observatør fra utsiden, ser inn i heisen, ser apple flytte, så, som observatør, apple har en ikke-null fart. Til noen inne i heisen, apple ikke beveger seg, så har det null fart. De to observatører hver har en referanseramme, der de observere bevegelser, og, hvis heisen er stadig synkende, vil de se atferd som er forenlig med de samme fysiske lover.

la oss Anta at en partikkel har posisjonen x i en stasjonær referanseramme., Fra synspunkt av en annen referanseramme, beveger seg med jevn hastighet u, posisjon (representert ved en primet koordinere) endres med tid som

x ‘ = x − u t . {\displaystyle x’=x-ut\,.}

Dette kalles en Galilean transformasjon. Hvis partikkelen beveger seg med hastighet dx/dt = v i første referanseramme, i den andre er det som beveger seg med hastighet

v ‘= d x ‘ d t = v − u . {\displaystyle v’={\frac {dx’}{dt}}=v-u\,.}

Siden u ikke endres, akselerasjoner er den samme:

a ‘= d v ‘ d t = en . {\displaystyle en’={\frac {dv’}{dt}}=a\,.,}

Derfor, bevegelsesmengde er bevart i både referanse rammer. Videre, så lenge force har samme form, i både rammer, Newtons andre lov er uendret. Styrker, slik som Newtons tyngdekraften, som avhenger bare på skalar avstand mellom objekter, tilfredsstille dette kriteriet. Denne uavhengigheten av referanse ramme kalles Newtons relativitetsteorien eller Galilean invarians.

En endring av referanse ramme, kan ofte forenkle beregninger av bevegelse. For eksempel, i en kollisjon mellom to partikler, en referanse ramme kan velges, hvor en partikkel begynner på resten., En annen mye brukt referanse ramme, er sentrum av masse ramme – en som beveger seg med midten av masse. I denne rammen,vil den totale momentum er null.

Søknad til kollisjoner

Av seg selv, loven om bevaring av bevegelsesmengde er ikke nok til å bestemme bevegelse av partikler etter en kollisjon. En annen eiendom i bevegelse, kinetisk energi, må være kjent. Dette er ikke nødvendigvis bevart. Hvis det er bevart, kollisjon kalles en elastisk kollisjon; hvis ikke, er det et lite fleksible kollisjon.,

Elastiske kollisjoner

En elastisk kollisjon er ingen kinetisk energi blir absorbert i kollisjonen. Perfekt elastisk «kollisjoner» kan oppstå når objekter ikke berører hverandre, som for eksempel i atomic eller kjernefysisk spredning, der elektrisk frastøting holder dem fra hverandre., En sprettert for å manøvrere i en satellitt rundt en planet kan også sees som en perfekt elastisk kollisjon. En kollisjon mellom to bassenget baller er et godt eksempel på en nesten helt elastisk kollisjon, på grunn av høy stivhet, men når organer som kommer i kontakt med, det er alltid noen utskeielser.

En head-on elastisk kollisjon mellom to organer kan være representert ved hastigheter i én dimensjon, langs en linje som passerer gjennom organer., Hvis hastigheter er u1 og u2 før kollisjonen og v1 og v2 etter, ligninger som uttrykker bevaring av bevegelsesmengde og kinetisk energi er:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 1 2 1 u m 1 2 + 1 2 m 2 u 2 2 = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 . {\displaystyle {\begin{justert}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\\{\tfrac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}&={\tfrac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\,.\end{justert}}}

En endring av referanse ramme kan forenkle analyse av en kollisjon., For eksempel, la oss anta at det er to kropper som er lik massen m, en stasjonær og en nærmer seg hverandre på en hastighet v (som i figuren). Sentrum av massen beveger seg med hastighet v/2, og begge organer er beveger seg mot det med hastighet v/2. På grunn av symmetri, etter kollisjonen, og begge må være på vei bort fra sentrum av massen i samme hastighet. Legge til hastigheten på midten av masse til begge deler, finner vi at den kroppen som var i bevegelse er nå stoppet, og den andre er å flytte bort i fart v. organer har utvekslet sine fart., Uavhengig av fart av organer, a-bryteren til midten av masse ramme fører oss til den samme konklusjon. Derfor, de endelig fart er gitt ved

v 1 = u 2 v 2 = u-1 . {\displaystyle {\begin{justert}v_{1}&=u_{2}\\v_{2}&=u_{1}\,.,\end{justert}}}

generelt, da den første fart er kjent, og den endelige fart er gitt ved

v 1 = ( m 1 m 2 m 1 + m 2 ) u 1 + ( 2 m 2 m 1 + m 2 ) u 2 {\displaystyle v_{1}=\left({\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}+\left({\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{2}\,} v 2 = ( m 2 m 1 m 1 + m 2 ) u 2 + ( 2 m 1 m 1 + m 2 ) u-1 . {\displaystyle v_{2}=\left({\frac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{2}+\left({\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}\,.,}

Hvis en kropp har mye større masse enn den andre, hastighet vil være lite påvirket av en kollisjon, mens den andre kroppen vil oppleve en stor endring.

lite fleksible kollisjoner

I et lite fleksible kollisjon, noen av den kinetiske energien til å kollidere organer omdannes til andre former for energi (som varme eller lyd)., Eksempler inkluderer trafikk kollisjoner, der effekten av tap av kinetisk energi kan sees i skade på kjøretøy, elektroner å miste noe av sin energi til å atomer (som i Franck–Hertz eksperiment), og partikkel aktiviteter der den kinetiske energien omdannes til masse i form av nye partikler.

I et perfekt lite fleksible kollisjon (for eksempel en feil å treffe en frontruten), begge organer har samme bevegelse etterpå. En head-on lite fleksible kollisjon mellom to organer kan være representert ved hastigheter i én dimensjon, langs en linje som passerer gjennom organer., Hvis hastigheter er u1 og u2 før kollisjonen deretter i et perfekt lite fleksible kollisjon begge organer vil være på reise med hastighet v etter kollisjonen. Likningen uttrykker bevaring av bevegelsesmengde er:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = ( m-1 + m 2 ) v . {\displaystyle {\begin{justert}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\,.\end{justert}}}

Hvis en kropp er ubevegelig til å begynne med (f.eks., u 2 = 0 {\displaystyle u_{2}=0} ), ligningen for bevaring av bevegelsesmengde er

m 1 u 1 = ( m-1 + m 2 ) v , {\displaystyle m_{1}u_{1}=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\,,}

slik

v = m 1 m 1 + m 2 u 1 . {\displaystyle v={\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1}\,.}

I en annen situasjon, hvis referanserammen er i bevegelse på den siste hastighet slik at v = 0 {\displaystyle v=0} , objekter vil bli brakt til resten av et perfekt lite fleksible kollisjon og 100% av den kinetiske energien omdannes til andre former for energi., I dette tilfellet er den første fart av kropper skulle være ikke-null, eller de organer som måtte være massless.

Ett mål på inelasticity av kollisjon er koeffisienten til restitusjon CR, definert som forholdet mellom relativ hastighet på separasjon relativ hastighet på tilnærming. Ved anvendelsen av dette tiltaket til en ball spretter fra en fast overflate, dette kan enkelt måles ved hjelp av følgende formel:

C R = sprette høyde fallhøyde . {\displaystyle C_{\text{R}}={\sqrt {\frac {\text{sprette høyde}}{\text{fallhøyde}}}}\,.,}

momentum og energi ligninger gjelder også for bevegelser av objekter som starter sammen, og deretter flytte fra hverandre. For eksempel, en eksplosjon er resultatet av en kjedereaksjon som gjør potensiell energi som er lagret i kjemiske, mekaniske eller kjernefysiske skjema til kinetisk energi, akustisk energi, og elektromagnetisk stråling. Raketter også gjøre bruk av bevaring av bevegelsesmengde: drivstoff er kastet utover, er å få fart, og en like stor og motsatt momentum er gitt til raketten.,

Flere dimensjoner

Real bevegelse har både retning og fart, og må være representert ved en vektor. I et koordinatsystem med x -, y-og z-aksene, hastighet har komponenter vx i x-retning, vy i y-retning, vz i z-retning., Vector er representert ved en fet skrift symbol:

v = ( v x v y , v z ) . {\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right).}

på samme måte, momentum er en vektor antall, og er representert ved en fet skrift symbol:

p = ( p x , p y , p z ) . {\displaystyle \mathbf {p} =\left(p_{x},p_{y},p_{z}\right).}

Den ligninger i de forrige avsnittene, arbeid i vektor form hvis scalars s og v er erstattet av vektorer s og v. Hver vektor ligningen representerer tre skalar ligninger., For eksempel,

p = m v {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }

representerer tre ligninger:

p x = m v x p y = m v y p z = m v z . {\displaystyle {\begin{justert}p_{x}&=mv_{x}\\p_{y}&=mv_{y}\\p_{z}&=mv_{z}.\end{justert}}}

Den kinetiske energien ligningene er unntak fra ovennevnte erstatning regel. Ligningene er fortsatt en-dimensjonale, men hver skalar representerer omfanget av vektor, for eksempel

v 2 = v x 2 + v y 2 + v z .2. {\displaystyle v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\,.,}

Hver vektor ligningen representerer tre skalar ligninger. Ofte koordinatene kan være valgt slik at bare to komponenter som er nødvendig, som i figuren. Hver komponent kan fås separat og resultatene sammen for å produsere en vektor resultat.

En enkel konstruksjon som involverer sentrum av masse ramme kan brukes til å vise at hvis en stasjonær elastisk sfære er rammet av en bevegelse sfære, de to vil dra av gårde i rett vinkel etter kollisjonen (som i figuren).,

Objekter av variable masse

konseptet av momentum spiller en fundamental rolle i å forklare virkemåten til variabel-masse ting, slik som en rakett ta ut drivstoff eller en stjerne for å samle opp gass. I å analysere et slikt objekt, en behandler objektets masse som en funksjon som varierer med tiden: m(t). Fremdriften av objektet ved tid t er derfor p(t) = m(t)v(t)., Man kan da prøve å bruke Newtons andre lov av bevegelse ved å si at den eksterne kraften F på objektet er knyttet til sin momentum p(t) ved F = dp/dt, men dette er feil, så er de relaterte uttrykk som finnes ved å anvende produktet regel å d(mv)/dt:

F = m ( t ) d v d t + v ( t ) d m d t . {\displaystyle F=m(t){\frac {dv}{dt}}+v(t){\frac {dm}{dt}}.} (feil)

Denne ligningen ikke riktig beskrive bevegelse av flytende masse gjenstander., Riktig ligning er

F = m ( t ) d v d t − u d m d t , {\displaystyle F=m(t){\frac {dv}{dt}} u{\frac {dm}{dt}},}

hvor u er den hastigheten av mates ut/accreted masse som vi har sett i objektet ‘ s rest ramme. Dette er forskjellig fra v, som er den hastigheten til objektet i seg selv, som vi har sett i en treghet i rammen.

Denne ligningen er avledet av det å holde styr på både fremdriften av objektet, samt fremdriften av de mates ut/accreted masse (dm). Når regnet sammen, objektet og masse (dm) utgjør et lukket system der samlede bevegelsesmengde er bevart.,

P ( t + d t) = (m – L m) (v + D v) + D m (V-u) = m v + m D-v-u D M = P(t ) + m D − v- U D M {\displaystyle P (t+dt) = (m-dm) (V+dv) + dm(v-U) = mv + mdv-udm=P (t) + mdv-udm}