Selv om matematikere har brukt over 2000 år å dissekere strukturen av de fem Platonske faste stoffer — den tetrahedrons, kube, oktahedron, icosahedron og dobbelt sekssidige — det er fortsatt mye vi ikke vet om dem.
Nå, en trio av matematikere har løst en av de mest grunnleggende spørsmål om dobbelt sekssidige.
Tenk deg at du står på ett av hjørnene i et Platonisk heldekkende., Er det noen rett vei du kan ta som til slutt ville komme tilbake til utgangspunktet uten å gå gjennom noen av de andre hjørnene? For de fire Platonisk heldekkende objekter som er bygget ut av kvadrater eller likesidet trekanter — kuben, tetrahedrons, oktahedron og icosahedron — matematikere nylig funnet ut at svaret er nei. En straight sti starter fra et hjørne vil enten treffe et hjørne eller vind rundt for evig uten å vende hjem. Men med dobbelt sekssidige, som er dannet fra 12 pentagons, matematikere ikke vet hva du kan forvente.,
Nå Jayadev Athreya, David Aulicino og Patrick Hooper har vist at et uendelig antall slike veier faktisk foreligger på dobbelt sekssidige. Deres papir, som ble publisert i Mai i Eksperimentell Matematikk, viser at disse banene kan deles inn i 31 naturlige familier.
løsningen nødvendig moderne teknikker og datamaskin algoritmer., «Tjue år siden, var det helt ut av nå, 10 år siden ville det kreve en enorm innsats for å skrive all nødvendig programvare, så nå er alle faktorer kom sammen,» skrev Anton Zorich, ved Institutt for Matematikk i Jussieu i Paris, i en e-post.
prosjektet startet i 2016 når Athreya, fra University of Washington, og Aulicino, av Brooklyn College, begynte å spille med en samling av kartong utsparinger som kaster opp i Platonisk heldekkende objekter., Så bygget de ulike tørrstoff, det skjedde til Aulicino at en kropp av nyere forskning på flat geometri kan være akkurat hva de hadde behov for å forstå rette veier på dobbelt sekssidige. «Vi var bokstavelig talt med på å sette disse tingene sammen,» Athreya sa. «Så det var slags ledig leting møter en mulighet.»
Sammen med Hooper, av City College of New York, forskere funnet ut hvordan å klassifisere alle de rette veier fra den ene hjørnet tilbake til seg selv at unngå andre hjørnene.
Deres analyse er «en elegant løsning,» sa Howard Masur av University of Chicago., «Det er en av disse tingene hvor kan jeg si, uten å nøle, ‘Godhet, åh, jeg skulle ønske jeg hadde gjort det!'»
Skjult Symmetrier
Selv om matematikere har spekulert i om rett baner på dobbelt sekssidige for mer enn et århundre, har det vært en oppblomstring av interesse i faget i de siste årene følgende gevinster i å forstå «oversettelse overflater.,»Dette er overflater dannet ved liming sammen parallelle sider av et polygon, og de har vist seg nyttig for å studere et bredt spekter av emner som involverer rette veier på former med hjørner, fra biljardbord baner til spørsmålet om når en enkelt lyset kan lyse opp en hel speilet rommet.
I alle disse problemene, er den grunnleggende ideen er å rulle formen på en måte som gjør at den veier du studerer enklere. Så for å forstå rette veier på et Platonisk heldekkende, du kan begynne med å kutte åpne nok kantene for å gjøre solid ligge flatt, forming hva matematikere ringe en netto., En netto for kuben, for eksempel, er en T-form laget av seks ruter.
Tenk deg at vi har flatet ut den dobbelt sekssidige, og nå er vi gikk langs denne flate formen i noen valgte retningen. Til slutt vil vi treffer kanten av nettet, og på dette punktet vår vei vil hoppe til en annen pentagon (avhengig av hva som var limt til vår nåværende pentagon før vi kutte åpne dobbelt sekssidige). Når banen humle, er det også roterer med noen flere av 36 grader.,
for Å unngå alt dette hopping og roterende, når vi treffer en kant av netto kunne vi i stedet lim på en ny, rotert kopi av net og fortsett rett inn i det. Vi har lagt til noen redundans: Nå har vi to forskjellige pentagons som representerer hver pentagon på den opprinnelige dobbelt sekssidige. Så vi har laget vår verden mer komplisert — men vår vei har blitt enklere. Kan vi fortsette å legge til en ny internett-hver gang vi trenger for å kunne utvide utenfor kanten av vår verden.,
Av tiden vår vei har reist gjennom 10 garn, vi har rotert vår opprinnelige net gjennom alle mulige flere av 36 grader, og den neste net legger vi vil ha samme retning som den vi begynte med. Det betyr at denne 11. net er relatert til den opprinnelige man ved et enkelt skift — hva matematikere ringe en oversettelse. I stedet for å lime på en 11. nettet, vi kunne bare lim kanten av 10. net til den tilsvarende parallell kanten i det opprinnelige nettet., Våre formen vil ikke lenger ligge flatt på bordet, men matematikere tror på det som fortsatt «huske» flat geometri fra sin tidligere inkarnasjon — så, for eksempel, veier som er ansett som rett hvis de var rett i det løsnet form. Etter vi gjør alle slike mulige gluings av tilsvarende parallelle kanter, ender vi opp med det som kalles en oversettelse overflaten.
Den resulterende overflaten er en svært overflødig representasjon av dobbelt sekssidige, med 10 eksemplarer av hver pentagon. Og det er massivt mer komplisert: Det lim opp i en form som en doughnut med 81 hull., Likevel, dette komplisert form tillatt tre forskere å få tilgang til de rike teori om oversettelse overflater.
for Å takle denne gigantiske overflaten, matematikere rullet opp ermene — billedlig og bokstavelig talt. Etter at du har arbeidet på problemet for et par måneder, innså de at de 81-gjennomhullet doughnut overflaten danner et redundant representasjon ikke bare av dobbelt sekssidige men også av en av de mest studerte oversettelse overflater., Kalt den doble pentagon, det er gjort ved å feste to pentagons langs en enkel kant og deretter lime sammen parallelle sider for å lage en to-gjennomhullet doughnut med en rik samling av symmetrier.
Denne formen skjedde også til å bli tatovert på Athreya ‘ s arm. «Den doble pentagon var noe som jeg allerede kjente og kjære,» sa Athreya, som fikk tatovering et år før han og Aulicino begynte å tenke på dobbelt sekssidige.
Fordi den doble pentagon og dobbelt sekssidige er geometriske søskenbarn, det tidligere er høy grad av symmetri kan belyse strukturen i det siste., Det er en «fantastisk skjulte symmetri,» sa Alex Eskin av University of Chicago (som var Athreya er stipendiat rådgiver for omtrent 15 år siden). «Det faktum at dobbelt sekssidige har denne skjulte symmetri gruppen er, tror jeg, ganske bemerkelsesverdig.”