Laplacian matrix

Laplacian matrix kan tolkes som en matrise for representasjon av en bestemt sak av den diskrete Laplace-operatoren. En slik forståelse gjør at en, for eksempel, å generere den Laplacian matrix tilfelle av grafer med et uendelig antall noder og kanter, noe som fører til en Laplacian matrise av en uendelig størrelse.

d ϕ jeg d t = − k ∑ j A i j ( ϕ jeg − ϕ j ) = − k ( ϕ jeg ∑ j A i j − ∑ j A i j ϕ j ) = − k ( ϕ jeg grader ⁡ ( v t ) − ∑ j A i j ϕ j ) = − k ∑ j ( δ jeg j grader ⁡ ( v t ) − A i j ) ϕ j = − k ∑ j ( står jeg j ) ϕ j ., {\displaystyle {\begin{justert}{\frac {d\phi _{i}}{dt}}&=-k\am _{j}A_{ij}\left(\phi _{i}-\phi _{j}\right)\\&=-k\left(\phi _{i}\am _{j}A_{ij}-\am _{j}A_{ij}\phi _{j}\right)\\&=-k\left(\phi _{i} og\ \grader(v_{i})-\jeg _{j}A_{ij}\phi _{j}\right)\\&=-k\am _{j}\left(\delta _{ij}\ \grader(v_{i})-A_{ij}\right)\phi _{j}\\&=-k\am _{j}\left(\ell _{ij}\right)\phi _{j}.,\end{justert}}}

I matrise-vektor-notasjon,

d ϕ d t = − k ( D − A ) ϕ = − k L ϕ , {\displaystyle {\begin{justert}{\frac {d\phi }{dt}}&=-k(D-A)\phi \\&=-kL\phi ,\end{justert}}}

som gir

d ϕ d t + k L ϕ = 0. {\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}+kL\phi =0.}

legg Merke til at denne ligningen tar samme form som den varme ligningen, hvor matrix −L er skifte Laplacian-operatoren ∇ 2 {\textstyle \nabla ^{2}} ; derav, «diagrammet Laplacian».,

0 og d = ( ∑i c i ( t ) v t ) d t + k L ( ∑ i c i ( t ) v i ) = ∑ i = ∑ jeg ⇒ d c i ( t ) d t + k λ jeg c i ( t ) = 0 , {\displaystyle {\begin{justert}0=&{\frac {d\left(\sum _{i}c_{i}(t)\mathbf {v} _{i}\right)}{dt}}+kL\left(\sum _{i}c_{i}(t)\mathbf {v} _{i}\right)\\=&\sum _{i}\left\\=&\sum _{i}\left\\\Rightarrow &{\frac {dc_{i}(t)}{dt}}+k\lambda _{i}c_{i}(t)=0,\\\end{justert}}}

hvis løsning er

c i ( t ) = c i ( 0 ) e − k λ jeg t . {\displaystyle c_{i}(t)=c_{i}(0)e^{-k\lambda _{i}: t}.,} c i ( 0 ) = ⟨ ϕ ( 0 ) , v i ⟩ {\displaystyle c_{i}(0)=\left\langle \phi (0),\mathbf {v} _{i}\right\rangle } .

I tilfelle av undirected grafer, dette fungerer fordi L {\textstyle L} er symmetrisk, og spektralteoremet, sin eigenvectors alle er ortogonale. Så projeksjon på eigenvectors av L {\textstyle L} er rett og slett et rettvinklet koordinatsystem transformasjon av den opprinnelige tilstanden til et sett av koordinater som forfall eksponentielt og uavhengig av hverandre.,

Likevekt behaviorEdit

lim t → ∞ e − k λ jeg t = { 0 dersom λ jeg > 0 1 hvis λ i = 0 } {\displaystyle \lim _{t\til \infty }e^{-k\lambda _{i}: t}=\left\{{\begin{array}{rlr}0&{\text{if}}&\lambda _{i}>0\\1&{\text{if}}&\lambda _{i}=0\end{array}}\right\}}

med andre ord, likevekt tilstand av systemet bestemmes helt ved kjernen av L {\textstyle L} .,

konsekvensen av dette er at for en gitt opprinnelige tilstanden c ( 0 ) {\textstyle c(0)} for en graf med N {\textstyle N} hjørnene

lim t → ∞ ϕ ( t ) = ⟨ c ( 0 ) , v 1 ⟩ v 1 {\displaystyle \lim _{t\til \infty }\phi (t)=\left\langle c(0),\mathbf {v^{1}} \right\rangle \mathbf {v^{1}} }

hvor

v 1 = 1 N {\displaystyle \mathbf {v^{1}} ={\frac {1}{\sqrt {N}}}} lim t → ∞ ϕ j ( t ) = 1 N ∑ i = 1 N c i ( 0 ) {\displaystyle \lim _{t\til \infty }\phi _{j}(t)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}c_{i}(0)} .,

med andre ord, ved steady state, verdien av ϕ {\textstyle \phi } konvergerer mot samme verdi på hvert av hjørnene i grafen, som er gjennomsnittet av de opprinnelige verdiene på alle hjørner. Siden dette er løsningen for å varme spredning ligningen, dette gjør perfekt forstand intuitivt. Vi forventer at nærliggende elementer i grafen vil utveksle energi til at energi er spredt jevnt utover alle elementene som er koblet til hverandre.,

Eksempel på operatøren på en gridEdit

Dette avsnittet viser et eksempel på en funksjon ϕ {\textstyle \phi } spre seg over tid gjennom en graf. Grafen i dette eksemplet er bygget på en 2D diskret rutenett, med poeng på nettet koblet til deres åtte naboer. De tre første punktene er angitt å ha en positiv verdi, mens resten av verdiene i rutenettet er null. Over tid, combine handlinger for å fordele verdiene på disse punktene jevnt over hele rutenettet.

hele Matlab-kildekoden som ble brukt til å generere denne animasjonen er gitt nedenfor., Det viser prosessen med å spesifisere første forhold, og viser disse innledende forhold til eigenvalues av Laplacian Matrise, og for å simulere combine av disse projisert første forhold.