Kvadrerte avvik fra gjennomsnittet

I en situasjon hvor data er tilgjengelig for k ulike behandlingsgruppene å ha størrelse ni der jeg varierer fra 1 til k, så er det antatt at forventet middelverdi for hver gruppe er

E ⁡ ( μ jeg ) = μ + T {\displaystyle \operatorname {E} (\mu _{i})=\mu +T_{i}}

og variansen til hver behandlingsgruppe er uendret fra befolkningen varians σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} .,

Under Null-Hypotesen om at behandlingen ikke har noen effekt, da hver av T i {\displaystyle T_{i}} vil være null.,i ) {\displaystyle T=\sum _{i=1}^{k}\left(\left(\sum x\right)^{2}/n_{i}\right)} E ⁡ ( T ) = k σ 2 + ∑ i = 1 k n i ( ĩ + T ) 2 {\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+\sum _{i=1}^{k}n_{i}(\mu +T_{i})^{2}} E ⁡ ( T ) = k σ 2 + n ĩ 2 + 2 μ ∑ i = 1 k ( n i T i ) + ∑ i = 1 k n i ( T ) 2 {\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}+2\mu \sum _{i=1}^{k}(n_{i}T_{i})+\sum _{i=1}^{k}n_{i}(T_{i})^{2}}

Under null-hypotesen om at behandlinger som ikke forårsaker noen forskjeller og alle T i {\displaystyle T_{i}} er lik null, forventning forenkler å

E ⁡ ( T ) = k σ 2 + n ĩ 2 ., {\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}.,C)=\sigma ^{2}+n\mu ^{2}}

Summer av kvadrerte deviationsEdit

E ⁡ ( I − C ) = ( n − 1 ) σ 2 {\displaystyle \operatorname {E} (I-C)=(n-1)\sigma ^{2}} totale kvadrerte avvik aka totale summen av kvadrater E ⁡ ( T − P ) = ( k − 1 ) σ 2 {\displaystyle \operatorname {E} (T-P)=(k-1)\sigma ^{2}} behandling kvadrerte avvik aka forklart summen av kvadrater E ⁡ ( I − T ) = ( n − k ) σ 2 {\displaystyle \operatorname {E} (it)=(n-k)\sigma ^{2}} rester av kvadrerte avvik aka residual sum of squares

Den konstanter (n − 1), (k − 1), og (n − k) er vanligvis referert til som antall frihetsgrader.,

ExampleEdit

I et veldig enkelt eksempel, 5 observasjoner oppstå fra to behandlinger. Den første behandlingen gir tre verdiene 1, 2, og 3, og den andre behandlingen gir to verdiene 4 og 6.

jeg = 1 2 1 + 2 2 1 + 3 2 1 + 4 2 1 + 6 2 1 = 66 {\displaystyle jeg={\frac {1^{2}}{1}}+{\frac {2^{2}}{1}}+{\frac {3^{2}}{1}}+{\frac {4^{2}}{1}}+{\frac {6^{2}}{1}}=66} T = ( 1 + 2 + 3 ) 2 3 + ( 4 + 6 ) 2 2 = 12 + 50 = 62 {\displaystyle T={\frac {(1+2+3)^{2}}{3}}+{\frac {(4+6)^{2}}{2}}=12+50=62} C = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 6 ) 2 5 = 256 / 5 = 51.2 {\displaystyle C={\frac {(1+2+3+4+6)^{2}}{5}}=256/5=51.,2}

Gi

Totale kvadrerte avvik = 66 − 51.2 = 14.8 med 4 frihetsgrader. Behandling kvadrerte avvik = 62 − 51.2 = 10.8 med 1 grad av frihet. Rester av kvadrerte avvik = 66 − 62 = 4 med 3 frihetsgrader.

To-veis analyse av varianceEdit

følgende hypotetiske eksempel gir avkastning av 15 planter underlagt to ulike miljømessige variasjoner, og med tre ulike gjødsel.,

Fem summer av rutene er beregnet:

til Slutt, det summer av kvadrerte avvik som kreves for analyse av varians kan beregnes.,