bruk av den eksponentielle vindu funksjon er først tilskrives Poisson, som en forlengelse av en numerisk analyse teknikk fra det 17. århundre, og senere vedtatt av signal processing samfunnet i 1940-årene. Her, eksponentiell glatting er anvendelsen av den eksponentielle, eller Poisson -, vindu-funksjon. Eksponentiell glatting ble først foreslått i statistisk litteratur uten referanse til tidligere arbeid av Robert Goodell Brun i 1956, og deretter utvidet med Charles C. Holt i 1957., Formuleringen nedenfor, som er den som vanligvis brukes, er knyttet til Brun og er kjent som «Brown er enkelt eksponentiell glatting». Alle metoder for Holt, Winters og Brun kan sees på som en enkel påføring rekursiv filtrering, først funnet i 1940-årene å konvertere finite impulse response (FIR) filtre til uendelig impuls respons filtre.
Den enkleste formen for eksponentiell glatting er gitt ved formelen:
s t = α x t + ( 1 − α ) s t − 1 = s t − 1 + α ( x t − s t − 1 ) . {\displaystyle s_{t}=\alpha x_{t}+(1-\alpha )s_{t-1}=s_{t-1}+\alpha (x_{t}-s_{t-1}).,}
hvor α {\displaystyle \alpha } er utjevning faktor, og 0 ≤ α ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1} . Med andre ord, den glattede statistikk s t {\displaystyle s_{t}} er en enkel vektet gjennomsnitt av dagens observasjon x t {\displaystyle x_{t}}, og den tidligere glattet statistikk s t − 1 {\displaystyle s_{t-1}} . Enkel eksponentiell glatting er lett brukt, og det produserer en glattet statistikk som snart to observasjoner er tilgjengelig.,Begrepet utjevning faktor brukes til α {\displaystyle \alpha } her er noe av en misvisende benevnelse, som større verdier av α {\displaystyle \alpha } faktisk redusere nivået av utjevning, og i grensetilfellet med α {\displaystyle \alpha } = 1 output-serien er like aktuell observasjon. Verdier av α {\displaystyle \alpha } nær en har mindre av en mykgjørende effekt og gi større vekt til de siste endringene i dataene, mens verdier av α {\displaystyle \alpha } nærmere null ha en større utjevning effekt, og er mindre mottakelig for de siste endringene.,
i Motsetning til enkelte andre utjevning metoder, slik som glidende gjennomsnitt, denne teknikken ikke krever noen minimum antall observasjoner til å være gjort før den begynner å produsere resultater. I praksis, derimot, er en «god gjennomsnittlig» ikke vil bli nådd frem til flere prøver har vært i gjennomsnitt sammen; for eksempel et konstant signal vil ta ca 3 / α {\displaystyle 3/\alpha } stadier for å nå 95% av den faktiske verdien., For nøyaktig å rekonstruere det opprinnelige signalet uten tap av informasjon på alle stadier av den eksponentielle glidende gjennomsnitt må også være tilgjengelig, fordi eldre prøver forfall i vekt eksponentielt. Dette er i motsetning til en enkel glidende gjennomsnitt, der noen av prøvene kan hoppes over uten så mye tap av informasjon på grunn av den konstante vekting av prøvene i gjennomsnitt. Hvis et visst antall prøver vil bli savnet, og man kan justere et vektet gjennomsnitt for dette også, ved å gi lik vekt til den nye prøven og alle de å bli hoppet over.,
Denne enkle formen for eksponentiell glatting er også kjent som en eksponentielt vektet glidende gjennomsnitt (EWMA). Teknisk sett kan det også klassifiseres som et autoregressive integrated moving average (ARIMA) (0,1,1) modell med ingen konstant sikt.
Tid constantEdit
α = 1 − e − Δ T / τ {\displaystyle \alpha =1-e^{-\Delta T/\tau }}
hvor Δ T {\displaystyle \Delta T} er sampling intervall på diskret tid for gjennomføring., Hvis prøvetaking tid er rask i forhold til den tiden konstant ( Δ T ≪ τ {\displaystyle \Delta T\ll \tau } ) deretter
α ≈ Δ T τ {\displaystyle \alpha \ca {\frac {\Delta T}{\tau }}}
Velge den første glattet valueEdit
Merk at det i definisjonen ovenfor, s 0 {\displaystyle s_{0}} blir initialisert til x 0 {\displaystyle x_{0}} . Fordi eksponentiell glatting krever at det på hvert trinn vi har den forrige prognosen, det er ikke åpenbart hvordan å få metode i gang., Vi kan anta at den første prognosen er lik den opprinnelige verdien av etterspørselen, men denne tilnærmingen har en alvorlig ulempe. Eksponentiell glatting legger betydelig vekt på tidligere observasjoner, slik at den opprinnelige verdien av etterspørselen vil ha en urimelig stor effekt på tidlige prognoser. Dette problemet kan løses ved at prosessen med å utvikle seg til et rimelig antall perioder (10 eller mer) og ved å bruke gjennomsnittet av etterspørselen i de perioder som den første prognosen., Det er mange andre måter å sette dette initial verdi, men det er viktig å merke seg at jo mindre verdi av α {\displaystyle \alpha } mer følsom prognosen vil være på valg av denne første jevnere verdi s 0 {\displaystyle s_{0}} .
OptimizationEdit
For hver eksponentiell glatting metode vi også trenger for å velge verdien for utjevning parametere. For enkel eksponentiell glatting, det er bare en utjevning parameter (α), men for de metoder som følger er det vanligvis mer enn en utjevning parameter.,
Det er tilfeller hvor utjevning parametere kan være valgt på en subjektiv måte – den forecaster angir verdien av utjevning parametere basert på tidligere erfaring. Imidlertid, en mer robust og objektiv måte for å oppnå verdier for de ukjente parametrene inngår i en eksponentiell glatting metode er å beregne dem fra observerte data.,
SSE = ∑ t = 1 T ( y t − y ^ t ∣ t − 1 ) 2 = ∑ t = 1 T T e t 2 {\displaystyle {\text{N}}=\sum _{t=1}^{T}(y_{t}-{\hat {y}}_{t\t mid-1})^{2}=\summen _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}
i Motsetning til den regresjon tilfelle (der vi har formler direkte beregne regresjon koeffisienter som minimere SSE) dette innebærer en ikke-lineær minimalisering problem, og vi må bruke en optimalisering verktøy for å utføre denne.
«Eksponentiell» namingEdit
navnet ‘eksponentiell glatting’ er knyttet til bruk av den eksponentielle vindu-funksjon under foldning., Det er ikke lenger knyttet til Holt, Winters & Brun.
Ved direkte substitusjon av å definere ligningen for enkle eksponentiell glatting tilbake til seg selv, finner vi at
s t = α x t + ( 1 − α ) s t − 1 = α x t + α ( 1 − α ) x t − 1 + ( 1 − α ) 2 s t − 2 = α + ( 1 − α ) t x 0 . {\displaystyle {\begin{justert}s_{t}&=\alpha x_{t}+(1-\alpha )s_{t-1}\\&=\alpha x_{t}+\alpha (1-\alpha )x_{t-1}+(1-\alpha )^{2}s_{t-2}\\&=\alpha \venstre+(1-\alpha )^{t}x_{0}.,othed statistikk s t {\displaystyle s_{t}} blir vektet gjennomsnitt av et større og større antall av de siste observasjoner s t − 1 , … , s t − {\displaystyle s_{t-1},\ldots ,s_{t}} , og vektene som er tilordnet til tidligere observasjoner står i forhold til vilkårene i geometrisk progresjon 1 , ( 1 − α ) , ( 1 − α ) 2 , … , ( 1 − α ) n , … {\displaystyle 1,(1-\alpha ),(1-\alpha )^{2},\ldots ,(1-\alpha )^{n},\ldots }
En geometrisk progresjon er diskret versjon av en eksponentiell funksjon, så det er der navnet for denne utjevning metoden oppsto i henhold til Statistikk lore.,
Sammenligningen med å flytte averageEdit
Eksponentiell glatting og glidende gjennomsnitt har lignende feil for å innføre et etterslep i forhold til input data. Mens dette kan rettes opp ved å flytte resultatet av halve vinduet lengden til en symmetrisk kjernen, slik som et glidende gjennomsnitt eller gaussian, det er uklart hvor hensiktsmessig dette ville være for eksponentiell glatting. De har også begge har omtrent samme fordeling av prognosefeilen når α = 2/(k + 1)., De skiller seg i at eksponentiell glatting tar hensyn til alle tidligere data, mens glidende gjennomsnitt bare tar hensyn k forbi data poeng. Beregninger sett, de er også forskjellige i den glidende gjennomsnitt krever at fortiden k data poeng, eller datapunktet på lag k + 1 pluss de siste prognose verdi, skal holdes, mens eksponentiell glatting trenger bare den siste prognose-verdien til å være bevart.,
I signal processing litteratur, bruk av ikke-kausal (symmetrisk) filtre er vanlig, og den eksponentielle vindu funksjon er bredt brukt på denne måten, men en annen terminologi er brukt: eksponentiell glatting tilsvarer en første-ordens uendelig-impuls-respons (IIR) filter og glidende gjennomsnitt tilsvarer en finite impulse response filter med lik vekting faktorer.