En kort forklaring og bevis
Den Rasjonelle Root-Teoremet (RRT) er et godt redskap å ha med i matematiske arsenal. Det gir en rask og skitne test for rasjonalitet av noen uttrykk. Og det hjelper å finne rasjonelle røtter av polynomer.,
Her er hvordan og hvorfor det fungerer.,e53714″>
Hvordan
Tenk deg at du har et polynom av grad n, med heltall koeffisienter:
Den Rasjonelle Root-Teoremet sier: Hvis en rasjonell roten finnes, deretter komponentene vil dele den første og siste koeffisienter:
Den rasjonelle roten er uttrykt i laveste vilkår., Det betyr at p og q dele noen felles faktorer. (Det vil være viktig senere.) Teller deler konstant på slutten av polynom; den demominator deler fører koeffisient.
Som et eksempel:
Vi trenger bare å se på 2 og 12.,:
The factors of 2:
Thus, if a rational root does exist, it’s one of these:
Plug each of these into the polynomial., Which one(s) — if any solve the equation? If none do, there are no rational roots.
Are any cube roots of 2 rational? A rational root, p/q must satisfy this equation.
Furthermore:
Not one of these candidates qualifies., Gå til:
Hvorfor
La s go back (gå tilbake til våre paradigme polynom.,
Scoot the constant to the other side:
Now, plug in our rational root, p/q.,
Multiplisere alt av qⁿ:
Hver termin på venstre side har p felles. Faktor det ut.,
Det ser mye verre ut enn det trenger å være. La oss erstatte alle at ting i parentes med en s. Vi vet egentlig ikke bryr seg hva som er i det.
Det er mye enklere på øynene.
Husk at p og q er heltall. De deler også noen felles faktorer., Derfor, p kan ikke dele qⁿ. Det må dele a₀:
Derfor, teller deler konstant sikt.
Nå, gå tilbake til vårt paradigme polynom:
Denne gangen, det ille det første uttrykket på høyre side.,
Insert the rational root:
As before, multiply by qⁿ.
This time, the common factor on the left is q., Let’s extract it, and lump together the remaining sum as t.
Again, q and p have no common factors. Therefore:
Thus proves the rational root theorem.