Exponentiation er en matematisk operasjon som involverer to tall, base $x$ og eksponenten $en$. Når $en$ er et positivt heltall, exponentiation tilsvarer gjentatt multiplikasjon av basen.
Ved definisjon, alle tall som har 0 som eksponenten er lik 1. Dette betyr at, uansett hvor stor er basen, hvis eksponenten er lik 0, det tallet er alltid lik 1.,
Hvert nummer som ikke har en eksponent som er knyttet til det, faktisk har nummer 1 som eksponent. Nummer 1 er standard eksponent for hvert nummer, så det er ikke nødvendig å skrive det ned, men i noen oppgaver kan det være nyttig å gjøre det.
En multiplisert med ett er alltid ett, uansett hvor mange ganger du har gjentatt addisjon, så 1 til enhver makt er alltid lik 1.,
Negative eksponenter
Hvis eksponenten er et positivt heltall, exponentiation tilsvarer gjentatt multiplikasjon av basen, så hva betyr det hvis eksponenten er et negativt heltall? Resiproke verdien av basen er enn brukt til å snu negativ eksponent inn en positiv.
$a^{n}=(a^{-1})^n=\left(\frac{1}{a}\right)^n=\frac{1}{a^n}$
Det samme gjelder den andre veien rundt. Hvis et ukjent er i nevneren, nevneren kan bli en telleren ved å endre tegnet av eksponenten., I noen tilfeller, dette vil vise seg å være en svært nyttig funksjon, spesielt når du arbeider med inverse tall og funksjoner.
Eksempel 1: Skriv disse uttrykkene bruker bare positive eksponenter:
a) $a^{-7}$
b) $\frac{-6x^{-1}}{y^5}$
c) $\frac{-12 x^{-6}y^{-9}}{z^3}$
Løsning:
a) $a^{-7}=\frac{1}{a^7}$
b) $\frac{-6x^{-1}}{y^5}=\frac{-6}{x^1 \cdot y^5}=\frac{-6}{xy^5}$
c) $\frac{-12 x^{-6}y^{-9}}{z^3} = \frac{-12}{x^6 \cdot y^9 \cdot z^3}$
Tillegg
Hvordan kan man legge til eller trekke fra eksponenter?,
Mest interessante oppgaver innebære unkowns, men de samme reglene gjelder for dem.
La oss se på en enkel ligning:
Siden $\ x = x^1$ og $\ 1 = x^0$ kan vi skrive våre ligningen som dette:
Hvordan ville du normalt løse det? Variablene med $x$ er lagt separat, og separat variabler uten $x$.,
The same will apply to larger exponents:
$\ x^{12} + 3 \cdot {x^{12}} + 2 \cdot {x^2} = 4 \cdot {x^{12}} + 2 \cdot {x^2}$
Example 2: Add exponents
Subtraksjon
De samme reglene som gjelder for å legge til eksponenter, gjelder å trekke fra så vel.
Du kan bare trekke fra tall som har ukjente med samme eksponent.
Eksempel 3: Trekk fra eksponenter:
$ 4x^{12} – 0,25 x^4 + 2x^2 – 3x^2 – 3x^{12} = ?$
Løsning:
$ (4x^{12} – 3x^{12}) – 0.25\cdot {x^4} + (2x^2 – 3x^2) = x^{12} – 0.25\cdot {x^4} – x^2$
Multiplikasjon
Det er to grunnleggende reglene for multiplikasjon av eksponenter.,
Den første regelen – hvis baser er den samme, deres eksponenter er lagt sammen.
For eksempel: $\ 2^{-2} \cdot {2^{-3}} = 2^{- 2 – 3} = 2^{-5} = \left(\frac{1}{2}\right)^5$.
Den andre regelen – hvis baser er forskjellige, men eksponenter er den samme, baser er mangedoblet og eksponenter forbli den samme.
For eksempel: $\ 2^2 \cdot {3^2} = (2 \cdot {3})^2 = 6^2$.
Eksempel 4:
$ 2^2 \cdot {4^2} = ?,$
Løsning:
for Å multiplisere to eksponenter, deres base eller deres eksponenter må være det samme. I dette eksemplet, det er heller ikke tilfelle. Så, er det første trinnet er å, når det er mulig, å slå alle nummer til den laveste base. I dette eksemplet antall $4$ kan skrives som $2^2$.
$ 2^2 \cdot {(2^2)^2} = ?$
The square, representerer antallet multiplisert med seg selv, så $\ (2^2)^2$ kan skrives som $\ 2^2 \cdot {2^2} = 2^{2 + 2} = 2^4$.,
From Example 4, this generalisation can be made:
Final solution: $\ 2^2 \cdot {4^2}= 2^2 \cdot {(2^2)^2} = 2^2 \cdot {2^4} = 2^{2+4} = 2^6$.
Example 5:
$ \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot {0.2^2} = ?,$
Løsning:
$$=\left (\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left (\frac{2}{10}\right)^2$$
$$=\left (\frac{2}{3}\right)^2 \cdot\left (\frac{1}{5}\right)^2$$
$$= \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5}\right)^2 $$
$$= \left(\frac{2}{15}\right)^2$$
Eksempel 6:
$\ (x^2 y^3)(x^5 y^4 )$
Løsning:
Multiplikasjon er assosiativ, slik at rekkefølgen av braketter ikke gjøre en forskjell. Faktorer med samme baser multipliseres som forklart før, slik at deres eksponenter er lagt til.,
$ (x^2 \cdot y^3)(x^5 \cdot y^4) = x^2 \cdot x^5 \cdot y^3 \cdot y^4 = x^7 \cdot y^7 = (xy)^7$
Divisjon
Som for multiplikasjon, det er to grunnleggende regler for å dele eksponenter.
Den første regelen – når baser er den samme, deres eksponenter er trukket.
For eksempel: $\ 2^2 : 2 = \frac{2^2}{2} = 2^{2 – 1} = 2^1 = 2$, disse kan lett bli sjekket siden $4 : 2 = 2$.
For eksempel: $\ 2^{-2} : 2^{-1} =\frac{2^{-2}}{2^{-1} }= 2^{-2-(-1)} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.,
Den andre regelen – hvis baser er forskjellige, men eksponenter er den samme, baser er delt og eksponenter forbli den samme.
For eksempel: $\ 2^2 : 3^2 = \frac{2^2}{3^2 } = (2 : 3)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2$.
Eksempel 7:
$\frac{4^2}{4^3} + \frac{1}{2} = ?$
Løsning:
$\frac{4^2}{4^3} + \frac{1}{2} = 4^{2 – 3} + \frac{1}{2} = 4^{-1} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1 + 2}{4} = \frac{3}{4}$
Eksempel 8:
$\frac{4^5}{4^{-2}} – 0.2 \cdot {4} + \frac{1}{2} \cdot {2^8} = ?,$
Løsning:
$\frac{4^5}{4^{-2}} – 0.2 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 2^8 = 4^{5 – (-2)} – \frac{2}{10} \cdot 4 + \frac{2^8}{2^1} = 4^{5 + 2} – \frac{1}{5} \cdot 4 + 2^{8 – 1} = 4^7 – \frac{4}{5} + 2^7$
Eksempel 9:
$\frac{18x^5y^6a^2}{6xy^2^5} = ?$
Løsning:
$\frac{18x^5y^6a^2}{6xy^2^5} = 3x^{5 – 1}y^{6 – 2}a^{2 – 5} = 3x^4y^4a^{-3} = \frac{3x^4y^4}{a^3}$
Hvis, som i dette eksemplet, en oppgave innebærer kun divisjon og multiplikasjon, brøkdel kan deles inn i to mindre fraksjoner.,
$\frac{x^2y^3 + x^5y}{xy} = \frac{x^2y^3}{xy} + \frac{x^5y}{xy} = xy^2 + x^4$
Exponents worksheets
Properties of exponents
Numeric expressions (312.6 KiB, 1,893 hits)
Algebraic expressions (450.1 KiB, 1,880 hits)
Basics of exponents
Scientific notation (166.4 KiB, 1,601 hits)
Scientific notation – Write in standard notation (187.,0 KiB, 1,294 treff)
Operasjoner med eksponenter
Multiplikasjon (195.3 KiB, 1,883 treff)
Divisjon (197.0 KiB, 1,589 treff)
Hevet til en strøm (174.1 KiB, 1,819 treff)