Se liste over andre øyeblikk av området for andre former.,\mathrm {d} A=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}y^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}{\frac {1}{3}}{\frac {h^{3}}{4}}\,\mathrm {d} x={\frac {bh^{3}}{12}}\\I_{y}&=\iint \grenser _{R}x^{2}\,\mathrm {d} En=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}x^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}hx^{2}\,\mathrm {d} x={\frac {b^{3}h}{12}}\end{justert}}}
ved å Bruke loddrett akse teorem får vi verdien av J z {\displaystyle J_{z}} .,
J z = I x i y = b h 3 12 + h b 3 12 = b h 12 ( b 2 + h 2 ) {\displaystyle J_{z}=I_{x}+I_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}+{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {bh}{12}}\left(b^{2}+h^{2}\right)}
Annulus sentrert på originEdit
Annulus med indre radius r1 og ytre radius r2
bør du Vurdere en annulus med senter i origo, utenfor radius er r 2 {\displaystyle r_{2}} , og inne i radius er r-1 {\displaystyle r_{1}} . På grunn av symmetrien i annulus, den centroid også ligger i origo., Vi kan finne ut av det polare treghetsmoment, J z {\displaystyle J_{z}} , om z {\displaystyle z} aksen ved metoden av sammensatte figurer. Denne polare treghetsmoment er ekvivalent til det polare treghetsmoment av en sirkel med radius r 2 {\displaystyle r_{2}} minus polare treghetsmoment av en sirkel med radius r 1 {\displaystyle r_{1}} , både sentrert i origo. Først, la oss få den polare treghetsmoment av en sirkel med radius r {\displaystyle r} med hensyn til opprinnelse., I dette tilfellet er det lettere å beregne direkte J z {\displaystyle J_{z}} som vi allerede har r 2 {\displaystyle r^{2}} , som har både en x {\displaystyle x} og y {\displaystyle y} komponent. I stedet for å få det andre øyeblikk av området fra Kartesiske koordinater som er gjort i forrige avsnitt, skal vi beregne jeg x {\displaystyle I_{x}} og J z {\displaystyle J_{z}} direkte ved hjelp av polare koordinater.,b3be53f037″>
=\iint \grenser _{R}r^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{2}\left(r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}}{4}}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}r^{4}\end{justert}}}
Nå, det polare treghetsmoment om z {\displaystyle z} aksen for en annulus er bare, som nevnt ovenfor, er det forskjell på den andre øyeblikk av arealet av en sirkel med radius r 2 {\displaystyle r_{2}} og en sirkel med radius r 1 {\displaystyle r_{1}} .,
J z = J z , r 2 − J z , r 1 = π 2 r 2 4 − π 2 r 1 4 = π 2 ( r-2 4 − r 1 4 ) {\displaystyle J_{z}=J_{z,r_{2}}-J_{z,r_{1}}={\frac {\pi }{2}}r_{2}^{4}-{\frac {\pi }{2}}r_{1}^{4}={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)}
Alternativt kan vi endre grenser på d r {\displaystyle \mathrm {d} r} integrert første gang rundt for å reflektere det faktum at det er et hull. Dette vil bli gjort som dette.,r 2 r 2 ( r d r d θ ) = ∫ 0 2 π ∫ r 1 r 2 r 3 d r d θ = ∫ 0 2 π d θ = π 2 ( r-2 4 − r 1 4 ) {\displaystyle {\begin{justert}J_{z}&=\iint \grenser _{R}r^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{2}\left(r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{3}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }\left\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)\end{justert}}}
Noen polygonEdit
Et enkelt polygon., Her, n = 6 {\displaystyle n=6} , legg merke til punktet «7» er identisk til punkt 1.
Den andre øyeblikk av området om opprinnelsen for noen enkle polygon på XY-planet kan beregnes generelt ved å summere bidragene fra hvert segment av polygon etter å dele området inn i et sett av trekanter. Denne formelen er knyttet til skolisse formel og kan betraktes som et spesielt tilfelle av greens teorem.
Et polygon er antatt å ha n {\displaystyle n} hjørner, nummerert i mot-klokken., Hvis polygon hjørnene er nummerert med klokken, returnerte verdier vil være negativ, men absolutte verdier vil være riktig.,y i + 1 − x i + 1 y i ) ( x i y i + 1 + 2 x i y i + 2 x i + 1 y i + 1 + x i + 1 y i ) {\displaystyle {\begin{justert}I_{y}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2}\right)\\I_{x}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(y_{i}^{2}+y_{i}y_{i+1}+y_{i+1}^{2}\right)\\I_{xy}&={\frac {1}{24}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}y_{i+1}+2x_{i}y_{i}+2x_{i+1}y_{i+1}+x_{i+1}y_{i}\right)\end{aligned}}}