Mathematiker Bericht Neue Entdeckung Über das Dodekaeder

obwohl die Mathematiker haben verbrachte mehr als 2.000 Jahren sezieren die Struktur der fünf platonischen Körper — Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Ikosaeder und Dodekaeder — es gibt immer noch eine Menge, die wir nicht wissen über Sie.

Nun hat ein Trio von Mathematikern eine der grundlegendsten Fragen zum Dodekaeder gelöst.

Angenommen, Sie stehen an einer der Ecken eines platonischen Festkörpers., Gibt es einen geraden Weg, den Sie nehmen könnten, der Sie schließlich zu Ihrem Ausgangspunkt zurückbringt, ohne eine der anderen Ecken zu passieren? Für die vier platonischen Körper, die aus Quadraten oder gleichseitigen Dreiecken bestehen — Würfel, Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder — haben Mathematiker kürzlich herausgefunden, dass die Antwort nein ist. Jeder gerade Weg, der von einer Ecke ausgeht, trifft entweder eine andere Ecke oder windet sich für immer umher, ohne nach Hause zurückzukehren. Aber mit dem Dodekaeder, das aus 12 Fünfecken besteht, wussten Mathematiker nicht, was sie erwarten sollten.,

Nun haben Jayadev Athreya, David Aulicino und Patrick Hooper gezeigt, dass es auf dem Dodekaeder tatsächlich unendlich viele solcher Wege gibt. Ihr im Mai in Experimental Mathematics veröffentlichtes Papier zeigt, dass diese Wege in 31 natürliche Familien unterteilt werden können.

Die Lösung erforderte moderne Techniken und Computeralgorithmen., „Vor zwanzig Jahren war es absolut unerreichbar; Vor 10 Jahren würde es einen enormen Aufwand erfordern, alle notwendige Software zu schreiben, so dass erst jetzt alle Faktoren zusammenkamen“, schrieb Anton Zorich vom Institut für Mathematik von Jussieu in Paris in einer E-Mail.

Das Projekt begann 2016, als Athreya von der University of Washington und Aulicino vom Brooklyn College mit einer Sammlung von Kartenausschnitten spielten, die sich zu den platonischen Festkörpern zusammenfalten., Als sie die verschiedenen Feststoffe bauten, fiel Aulicino ein, dass eine Reihe neuerer Forschungen zur flachen Geometrie genau das sein könnte, was sie brauchen würden, um gerade Pfade auf dem Dodekaeder zu verstehen. „Wir haben diese Dinge buchstäblich zusammengefügt“, sagte Athreya. „Es war also eine Art müßige Erkundung, eine Gelegenheit.“

Zusammen mit Hooper vom City College of New York haben die Forscher herausgefunden, wie alle geraden Wege von einer Ecke zurück zu sich selbst klassifiziert werden können, die andere Ecken vermeiden.

Ihre Analyse sei „eine elegante Lösung“, sagte Howard Masur von der University of Chicago., „Es ist eines dieser Dinge, wo ich ohne zu zögern sagen kann ‘‘ Güte, oh, ich wünschte, ich hätte das getan!'“

Versteckte Symmetrien

Obwohl Mathematiker seit mehr als einem Jahrhundert über gerade Pfade auf dem Dodekaeder spekuliert haben, hat das Interesse an dem Thema in den letzten Jahren nach Erkenntnissen des Verständnisses wieder zugenommen „Übersetzungsoberflächen.,“Dies sind Oberflächen, die durch Zusammenkleben paralleler Seiten eines Polygons gebildet werden, und sie haben sich als nützlich erwiesen, um eine Vielzahl von Themen zu untersuchen, die gerade Wege auf Formen mit Ecken betreffen, von Billardtischtrajektorien bis hin zur Frage, wann ein einzelnes Licht einen ganzen Spiegelraum beleuchten kann.

Bei all diesen Problemen besteht die Grundidee darin, Ihre Form so zu entrollen, dass die von Ihnen untersuchten Pfade einfacher werden. Um also gerade Pfade auf einem platonischen Festkörper zu verstehen, könnten Sie damit beginnen, genügend Kanten aufzuschneiden, damit der Festkörper flach liegt und ein Netz bildet, das Mathematiker als Netz bezeichnen., Ein Netz für den Würfel ist beispielsweise eine T-Form aus sechs Quadraten.

Stellen Sie sich vor, wir haben das Dodekaeder abgeflacht, und jetzt gehen wir entlang dieser flachen Form in eine gewählte Richtung. Schließlich werden wir den Rand des Netzes treffen, an welchem Punkt unser Weg zu einem anderen Fünfeck hüpfen wird (je nachdem, welches an unser aktuelles Fünfeck geklebt wurde, bevor wir das Dodekaeder aufschneiden). Wann immer der Pfad hüpft, dreht er sich auch um ein Vielfaches von 36 Grad.,

Um all dieses Hüpfen und Drehen zu vermeiden, können wir, wenn wir auf eine Kante des Netzes treffen, stattdessen eine neue, gedrehte Kopie des Netzes ankleben und direkt hineinfahren. Wir haben einige Redundanz hinzugefügt: Jetzt haben wir zwei verschiedene Pentagone, die jedes Pentagon auf dem ursprünglichen Dodekaeder darstellen. Wir haben unsere Welt also komplizierter gemacht-aber unser Weg ist einfacher geworden. Wir können jedes Mal ein neues Netz hinzufügen, wenn wir über den Rand unserer Welt hinaus expandieren müssen.,

Wenn unser Weg durch 10 Netze gegangen ist, haben wir unser ursprüngliches Netz durch jedes mögliche Vielfache von 36 Grad gedreht, und das nächste Netz, das wir hinzufügen, hat die gleiche Ausrichtung wie das, mit dem wir begonnen haben. Das bedeutet, dass dieses elfte Netz durch eine einfache Verschiebung mit dem ursprünglichen verwandt ist-was Mathematiker eine Übersetzung nennen. Anstatt auf ein 11. Netz zu kleben, könnten wir einfach die Kante des 10.Netzes auf die entsprechende parallele Kante im ursprünglichen Netz kleben., Unsere Form wird nicht mehr flach auf dem Tisch liegen, aber Mathematiker denken, dass sie sich immer noch an die flache Geometrie aus ihrer vorherigen Inkarnation „erinnert“ — so werden zum Beispiel Pfade als gerade betrachtet, wenn sie gerade in der unglued Form wären. Nachdem wir alle möglichen Verklebungen entsprechender paralleler Kanten durchgeführt haben, erhalten wir eine sogenannte Translationsfläche.

Die resultierende Oberfläche ist eine hoch redundante Darstellung des Dodekaeders mit 10 Kopien jedes Fünfecks. Und es ist massiv komplizierter: Es klebt in eine Form wie ein Donut mit 81 Löchern., Trotzdem erlaubte diese komplizierte Form den drei Forschern, auf die reiche Theorie der Translationsflächen zuzugreifen.

Um diese riesige Oberfläche anzugehen, rollten die Mathematiker die Ärmel hoch — bildlich und wörtlich. Nachdem sie einige Monate an dem Problem gearbeitet hatten, stellten sie fest, dass die 81-Loch-Donut-Oberfläche nicht nur das Dodekaeder, sondern auch eine der am meisten untersuchten Übersetzungsflächen redundant darstellt., Es wird als doppeltes Fünfeck bezeichnet, indem zwei Fünfecke entlang einer einzelnen Kante angebracht und dann parallele Seiten zusammengeklebt werden, um einen zweilöchigen Donut mit einer reichen Sammlung von Symmetrien zu erzeugen.

Diese Form wurde zufällig auch auf Athreyas Arm tätowiert. „Das doppelte Fünfeck war etwas, das ich bereits kannte und liebte“, sagte Athreya, der das Tattoo ein Jahr zuvor bekommen hatte, bevor er und Aulicino über das Dodekaeder nachdachten.

Da das doppelte Fünfeck und das Dodekaeder geometrische Cousins sind, kann der hohe Symmetriegrad des ersteren die Struktur des letzteren aufklären., Es ist eine „erstaunliche versteckte Symmetrie“, sagte Alex Eskin von der Universität von Chicago (der vor etwa 15 Jahren Athreyas Doktorand war). „Die Tatsache, dass das Dodekaeder diese versteckte Symmetriegruppe hat, ist meiner Meinung nach ziemlich bemerkenswert.”