Laplace-Matrix

Die Laplace-Matrix kann als Matrixdarstellung eines bestimmten Falls des diskreten Laplace-Operators interpretiert werden. Eine solche Interpretation erlaubt es beispielsweise, die Laplazianische Matrix auf den Fall von Graphen mit einer unendlichen Anzahl von Eckpunkten und Kanten zu verallgemeinern, was zu einer Laplazianischen Matrix unendlicher Größe führt.

d ϕ i d t = − k ∑ j A i j ( ϕ i − ϕ j ) = − k ( ϕ i ∑ j A i j − ∑ j A i j ϕ j ) = − k ( ϕ i deg ⁡ ( v i ) − ∑ j A i j ϕ j ) = − k ∑ j ( δ i j deg ⁡ ( v i) i j ) ϕ j = − k ∑ j ( ℓ ich j ) ϕ j ., {\displaystyle {\begin{dt}{\frac {d\phi _{i}}{dt}}&=-k\am _{j}A_{ij}\left(\phi _{i}-\phi _{j}\right)\\&=-k\left(\phi _{i}\am _{j}A_{ij}-\am _{j}A_{ij}\phi _{j}\right)\\&=-k\left(\phi _{i}\ \deg(v_{i})-\I _{j}A_{ij}\phi _{j}\right)\\&=-k\am _{j}\left(\delta _{ij}\ \deg(v_{i})-A_{ij}\rechts)\phi _{j}\\&=-k\am _{j}\links(\ell _{ij}\rechts)\phi _{j}.,\end{ausgerichtet}}}

In matrix-Vektor-notation,

d ϕ d t = − k ( D − A ) ϕ = − k L ϕ , {\displaystyle {\begin{ausgerichtet}{\frac {d\phi }{dt}}&=-k(D-A)\phi \\&=-kL,\phi ,\end{aligned}}}

gibt

d ϕ d t + k L ϕ = 0. {\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}+kL\phi =0.}

Beachten Sie, dass diese Gleichung die gleiche Form wie die Wärmegleichung annimmt, wobei die Matrix −L den laplazianischen Operator ∇ 2 {\textstyle \nabla ^{2}} ; daher der „Graph Laplacian“.,

0 = d ( ∑ i c i ( t ) v i ) d t + k L ( ∑ i c i ( t ) v i ) = ∑ i = ∑ i ⇒ d c i ( t ) d t + k λ i c i ( t ) = 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\frac {d\left(\sum _{i}c_{i}(t)\mathbf {v} _{i}\right)}{dt}}+kL\left(\sum _{i}c_{i}(t)\mathbf {v} _{i}\right)\\=&\sum _{i}\left\\=&\sum _{i}\left\\\Rightarrow &{\frac {dc_{i}(t)}{dt}}+k\lambda _{i}c_{i}(t)=0,\\\end{ausgerichtet}}}

dessen Lösung

c i ( t ) = c i ( 0 ) e − k λ i t. {\displaystyle c_{i}(t)=c_{i}(0)e^{-k – \lambda _{i}t}.,} c i ( 0 ) = ⟨ ϕ ( 0 ) , v i ⟩ {\displaystyle c_{i}(0)=\left\langle \phi (0),\vec {v} _{i}\right\rangle } .

Im Fall von ungerichteten Graphen funktioniert dies, weil L {\textstyle L} symmetrisch ist und nach dem Spektralsatz seine Eigenvektoren alle orthogonal sind. Die Projektion auf die Eigenvektoren von L {\textstyle L} ist also einfach eine orthogonale Koordinatentransformation der Anfangsbedingung in eine Menge von Koordinaten, die exponentiell und unabhängig voneinander zerfallen.,

Gleichgewicht behaviorEdit

lim t → ∞ e − k λ i t = { 0, wenn λ i > 0 1 falls λ i = 0 } {\displaystyle \lim _{t\to \infty }e^{-k – \lambda _{i}t}=\left\{{\begin{array}{rlr}0&{\text{wenn}}&\lambda _{i}>0\\1&{\text{wenn}}&\lambda _{i}=0\end{array}}\right\}}

In anderen Worten, das Gleichgewicht im system bestimmt wird vollständig vom kernel des L {\textstyle L} .,

Die Folge ist, dass für eine gegebene anfangsbedingung c ( 0 ) {\textstyle c(0)} für einen Graphen mit N {\textstyle N} vertices

lim t → ∞ ϕ ( t ) = ⟨ c ( 0 ) , v 1 ⟩ v 1 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\phi (t)=\left\langle c(0),\frac {v^{1}} \right\rangle \vec {v^{1}} }

wo

v 1 = 1 N {\displaystyle \frac {v^{1}} ={\frac {1}{\sqrt {N}}}} lim t → ∞ ϕ j ( t ) = 1 N ∑ i = 1 N c i ( 0 ) {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\phi _{j}(t)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}c_{i}(0)} .,

Mit anderen Worten, im stationären Zustand konvergiert der Wert von ϕ {\textstyle \phi } an jedem Scheitelpunkt des Graphen zum gleichen Wert, der der Durchschnitt der Anfangswerte an allen Scheitelpunkten ist. Da dies die Lösung für die Wärmediffusionsgleichung ist, macht dies intuitiv Sinn. Wir erwarten, dass benachbarte Elemente in der Grafik Energie austauschen, bis diese Energie gleichmäßig über alle miteinander verbundenen Elemente verteilt ist.,

Beispiel des Operators auf einem gridEdit

Dieser Abschnitt zeigt ein Beispiel für eine Funktion ϕ {\textstyle \phi }, die im Laufe der Zeit durch ein Diagramm diffundiert. Der Graph in diesem Beispiel ist auf einem diskreten 2D-Gitter aufgebaut, wobei Punkte auf dem Gitter mit ihren acht Nachbarn verbunden sind. Es werden drei Anfangspunkte mit einem positiven Wert angegeben, während der Rest der Werte im Raster Null ist. Im Laufe der Zeit verteilt der exponentielle Zerfall die Werte an diesen Punkten gleichmäßig über das gesamte Raster.

Der vollständige Matlab-Quellcode, der zum Generieren dieser Animation verwendet wurde, wird unten bereitgestellt., Es zeigt den Prozess der Spezifizierung der Anfangsbedingungen, der Projektion dieser Anfangsbedingungen auf die Eigenwerte der Laplazianischen Matrix und der Simulation des exponentiellen Zerfalls dieser projizierten Anfangsbedingungen.