rapporti di Volume di un cono, sfera e cilindro di raggio e heightEdit
Un cono, sfera e cilindro di raggio r e altezza h
Le formule riportate sopra possono essere utilizzati per dimostrare che i volumi di un cono, sfera e il cilindro dello stesso raggio e l’altezza sono nel rapporto 1 : 2 : 3, come segue.,
Lasciate che il raggio r e altezza h (che è 2r per la sfera), quindi il volume del cono è
1 3 π r 2 h = 1 3 π r 2 2 r ) = ( 2 3 π r 3 ) × 1 , {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}h={\frac {1}{3}}\pi r^{2}\left(2r\right)=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\times 1,}
il volume della sfera è
4 3 π r 3 = ( 2 3 π r 3 ) × 2 , {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\times 2,}
mentre il volume del cilindro è
π r 2 h = π r 2 2 r ) = ( 2 3 π r 3 ) × 3., {\displaystyle \ pi r ^ {2} h= \ pi r ^ {2} (2r)=\sinistra ({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\destra)\volte 3.}
La scoperta del rapporto 2 : 3 dei volumi della sfera e del cilindro è accreditata ad Archimede.
Derivazioni formula volumeedit
SphereEdit
Il volume di una sfera è l’integrale di un numero infinito di dischi circolari infinitesimalmente piccoli di spessore dx. Il calcolo per il volume di una sfera con centro 0 e raggio r è il seguente.
La superficie del disco circolare è π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}} .,
Il raggio della circolare dischi, definita in modo tale che l’asse x taglia perpendicolarmente attraverso di loro, è
y = r 2 − x 2 {\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}
o
z = r 2 − x 2 {\displaystyle z={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}
dove y o z può essere interpretato come il raggio di un disco ad un particolare valore di x.
Usando y come raggio del disco, il volume della sfera può essere calcolato come
∫ − r r π y 2 d x = ∫ − r r π ( r 2 − x 2 ) d x . In questo modo è possibile creare un nuovo modello di visualizzazione.,}
Ora
∫ − r r π r 2 d x − ∫ − r r π x 2 d x = π ( r 3 + r 3 ) − π 3 ( r 3 + r 3 ) = 2 π r 3 − 2 π r 3 3 . {\displaystyle \int _{-r}^{r}\pi r^{2}\,dx\int _{-r}^{r}\pi x^{2}\,dx=\pi \left(r^{3}+r^{3}\right)-{\frac {\pi }{3}}\left(r^{3}+r^{3}\right)=2\pi r^{3}-{\frac {2\pi r^{3}}{3}}.}
Combinando i rendimenti V = 4 3 π r 3 . {\displaystyle V={\frac {4} {3}}\pi r^{3}.}
Questa formula può essere derivata più rapidamente usando la formula per la superficie della sfera, che è 4 π r 2 {\displaystyle 4\pi r^{2}} ., Il volume della sfera è costituito da strati di gusci sferici infinitesimalmente sottili, e il volume della sfera è uguale a
∫ 0 r 4 π r 2 d r = 4 3 π r 3 . {\displaystyle \ int _ {0}^{r} 4 \ pi r ^ {2}\, dr={\frac {4} {3}}\pi r^{3}.}
ConeEdit
Il cono è un tipo di forma piramidale. L’equazione fondamentale per le piramidi, un terzo volte base volte altitudine, si applica anche ai coni.
Tuttavia, usando il calcolo, il volume di un cono è l’integrale di un numero infinito di dischi circolari infinitesimalmente sottili di spessore dx., Il calcolo per il volume di un cono di altezza h, la cui base è centrata a (0, 0, 0) con raggio r, è il seguente.
Il raggio di ogni disco circolare è r se x = 0 e 0 se x = h, e varia linearmente in mezzo—cioè,
r h − x h . il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.}
La superficie del disco circolare è quindi
π (r h-x h ) 2 = π r 2 ( h − x) 2 h 2 . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.,}
Il volume del cono può quindi essere calcolato come:
∫ 0 h π r 2 ( h − x ) 2 h 2 d x , {\displaystyle \int _{0}^{h}\pi r^{2}{\frac {(h-x)^{2}}{h^{2}}}dx}
e dopo l’estrazione delle costanti
π r 2 h 2 ∫ 0 h ( h − x ) 2 d x {\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{h^{2}}}\int _{0}^{h}(h-x)^{2}dx}
l’Integrazione ci dà
π r 2 h 2 h 3 3 ) = 1 3 π r 2 h . Per maggiori informazioni clicca qui^{3}}{3}}\a destra)={\frac {1} {3}}\pi r ^ {2} h.}