L’uso della funzione finestra esponenziale è prima attribuito a Poisson come estensione di una tecnica di analisi numerica dal 17 ° secolo, e successivamente adottato dalla comunità di elaborazione del segnale nel 1940. Qui, smoothing esponenziale è l’applicazione della esponenziale, o Poisson, funzione finestra. Lo smoothing esponenziale fu suggerito per la prima volta nella letteratura statistica senza citare il precedente lavoro di Robert Goodell Brown nel 1956, e poi ampliato da Charles C. Holt nel 1957., La formulazione qui sotto, che è quella comunemente usata, è attribuita a Brown ed è conosciuta come”Smoothing esponenziale semplice di Brown”. Tutti i metodi di Holt, Winters e Brown possono essere visti come una semplice applicazione del filtraggio ricorsivo, trovato per la prima volta negli 1940 per convertire i filtri a risposta impulsiva finita (FIR) in filtri a risposta impulsiva infinita.
La forma più semplice di smoothing esponenziale è data dalla formula:
s t = α x t + ( 1 − α ) s t − 1 = s t − 1 + α ( x t − s t − 1 ) . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.,}
dove α {\displaystyle \alpha } è il fattore di livellamento e 0 ≤ α ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1} . In altre parole, la statistica smoothed s t {\displaystyle s_{t}} è una media ponderata semplice dell’osservazione corrente x t {\displaystyle x_{t}} e della statistica smoothed precedente s t − 1 {\displaystyle s_{t-1}}. Il livellamento esponenziale semplice si applica facilmente e produce una statistica levigata non appena sono disponibili due osservazioni.,Il termine smoothing factor applicato a α {\displaystyle \ alpha } qui è un termine improprio, poiché valori più grandi di α {\displaystyle \ alpha } riducono effettivamente il livello di smoothing, e nel caso limite con α {\displaystyle \alpha } = 1 la serie di output è solo l’osservazione corrente. I valori di α {\displaystyle \ alpha } vicini a uno hanno un effetto di levigatura minore e danno maggiore peso alle modifiche recenti nei dati, mentre i valori di α {\displaystyle \ alpha } più vicini a zero hanno un effetto di levigatura maggiore e sono meno sensibili alle modifiche recenti.,
A differenza di altri metodi di smoothing, come la media mobile semplice, questa tecnica non richiede alcun numero minimo di osservazioni da fare prima che inizi a produrre risultati. In pratica, tuttavia, una “buona media” non sarà raggiunta fino a quando diversi campioni non saranno stati mediati insieme; ad esempio, un segnale costante impiegherà circa 3 / α {\displaystyle 3/\alpha } stadi per raggiungere il 95% del valore effettivo., Per ricostruire con precisione il segnale originale senza perdita di informazioni devono essere disponibili anche tutte le fasi della media mobile esponenziale, poiché i campioni più vecchi decadono in peso in modo esponenziale. Ciò è in contrasto con una media mobile semplice, in cui alcuni campioni possono essere saltati senza la stessa perdita di informazioni a causa della costante ponderazione dei campioni all’interno della media. Se un numero noto di campioni verrà perso, si può regolare una media ponderata anche per questo, dando uguale peso al nuovo campione e a tutti quelli da saltare.,
Questa semplice forma di smoothing esponenziale è anche conosciuta come media mobile esponenzialmente ponderata (EWMA). Tecnicamente può anche essere classificato come un modello di media mobile integrata autoregressiva (ARIMA) (0,1,1) senza termine costante.
Costante di tempomodifica
α = 1 − e − Δ T/τ {\displaystyle \alpha =1-e^{-\Delta T / \tau}}
dove Δ T {\displaystyle \Delta T} è l’intervallo di tempo di campionamento dell’implementazione del tempo discreto., Se il tempo di campionamento è veloce rispetto alla costante di tempo ( Δ T ≪ τ {\displaystyle \Delta T\ll \tau } ) quindi
α ≈ Δ T τ {\displaystyle \alpha \ca {\frac {\Delta T}{\tau }}}
la Scelta iniziale levigato valueEdit
si noti che nella definizione di cui sopra, s 0 {\displaystyle s_{0}} viene inizializzato a x 0 {\displaystyle x_{0}} . Poiché lo smoothing esponenziale richiede che in ogni fase abbiamo la previsione precedente, non è ovvio come avviare il metodo., Potremmo supporre che la previsione iniziale sia uguale al valore iniziale della domanda; tuttavia, questo approccio presenta un grave inconveniente. Lo smoothing esponenziale dà un peso sostanziale alle osservazioni passate, quindi il valore iniziale della domanda avrà un effetto irragionevolmente grande sulle prime previsioni. Questo problema può essere superato consentendo al processo di evolversi per un numero ragionevole di periodi (10 o più) e utilizzando la media della domanda durante tali periodi come previsione iniziale., Esistono molti altri modi per impostare questo valore iniziale, ma è importante notare che più piccolo è il valore di α {\displaystyle \alpha } , più sensibile sarà la previsione sulla selezione di questo valore iniziale più fluido s 0 {\displaystyle s_{0}} .
OptimizationEdit
Per ogni metodo di smoothing esponenziale dobbiamo anche scegliere il valore per i parametri di smoothing. Per il semplice smoothing esponenziale, esiste un solo parametro di smoothing (α), ma per i metodi che seguono di solito c’è più di un parametro di smoothing.,
Ci sono casi in cui i parametri di smoothing possono essere scelti in modo soggettivo: il forecaster specifica il valore dei parametri di smoothing in base all’esperienza precedente. Tuttavia, un modo più robusto e obiettivo per ottenere valori per i parametri sconosciuti inclusi in qualsiasi metodo di smoothing esponenziale è stimarli dai dati osservati.,
SSE = ∑ t = 1 T ( y t − y ^ t ∣ t − 1 ) 2 = ∑ t = 1 T t 2 {\displaystyle {\text{SSE}}=\sum _{t=1}^{T}(y_{t}-{\hat {y}_{t\mid t-1})^{2}=\sum _{t=1}^{T} _ {t}^{2}}
a Differenza di regressione caso (dove ci sono le formule per calcolare direttamente i coefficienti di regressione, che minimizza le SSE) questo comporta una non-lineare del problema di minimizzazione e abbiamo bisogno di utilizzare uno strumento di ottimizzazione per eseguire questa operazione.
“Exponential” namingEdit
Il nome ‘exponential smoothing’ è attribuito all’uso della funzione della finestra esponenziale durante la convoluzione., Non è più attribuito a Holt, Winters& Brown.
Sostituendo direttamente l’equazione di definizione per il semplice livellamento esponenziale su se stesso troviamo che
s t = α x t + ( 1 − α ) s t − 1 = α x t + α ( 1 − α ) x t − 1 + ( 1 − α ) 2 s t − 2 = α + ( 1 − α ) t x 0 . {\displaystyle {\begin{aligned}s_{t}&=\alpha x_{t}+(1-\alpha )s_{t-1}\\&=\alpha x_{t}+\alpha (1-\alpha )x_{t-1}+(1-\alpha )^{2}s_{t-2}\\&=\alpha \left+(1-\alpha )^{t}x_{0}.,othed statistica s t {\displaystyle s_{t}} diventa medio ponderato di un numero sempre maggiore di osservazioni passate s t − 1 , … , s t − {\displaystyle s_{t-1},\ldots ,s_{t}} , e i pesi assegnati alle osservazioni precedenti sono proporzionali ai termini della progressione geometrica 1 , ( 1 − α ) , ( 1 − α ) 2 , … , ( 1 − α ) n , … {\displaystyle 1,(1-\alpha ),(1-\alpha )^{2},\ldots ,(1-\alpha )^{n},\ldots }
Una progressione geometrica è la versione discreta di una funzione esponenziale, quindi questo è dove il nome di questo metodo di smussatura nasce secondo le Statistiche di lore.,
Confronto con moving averageEdit
Lo smoothing esponenziale e la media mobile hanno difetti simili nell’introdurre un ritardo rispetto ai dati di input. Mentre questo può essere corretto spostando il risultato della metà della lunghezza della finestra per un kernel simmetrico, come una media mobile o gaussiana, non è chiaro quanto sarebbe appropriato per lo smoothing esponenziale. Entrambi hanno anche approssimativamente la stessa distribuzione dell’errore di previsione quando α = 2/(k + 1)., Differiscono in quanto lo smoothing esponenziale tiene conto di tutti i dati passati, mentre la media mobile tiene conto solo dei punti dati passati K. Computazionalmente parlando, differiscono anche dal fatto che la media mobile richiede che i punti dati k passati, o il punto dati al ritardo k + 1 più il valore di previsione più recente, siano mantenuti, mentre lo smoothing esponenziale richiede solo il valore di previsione più recente da mantenere.,
Nella letteratura sull’elaborazione del segnale, l’uso di filtri non causali (simmetrici) è comune e la funzione della finestra esponenziale è ampiamente utilizzata in questo modo, ma viene utilizzata una terminologia diversa: lo smoothing esponenziale è equivalente a un filtro IIR (Infinite-impulse response) del primo ordine e la media mobile è equivalente a un filtro di risposta all’impulso finito con