Vedere l’elenco dei secondi momenti di area per altre forme.,\mathrm {d} A=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}y^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}{\frac {1}{3}}{\frac {h^{3}}{4}}\,\mathrm {d} x={\frac {bh^{3}}{12}}\\I_{y}&=\iint \limita _{R}x^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}x^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}x^{2}\,\mathrm {d} x={\frac {b^{3}h}{12}}\end{aligned}}}
Utilizzando l’asse perpendicolare teorema di ottenere il valore di J z {\displaystyle J_{z}} .,
J z = I x + I y = b h 3 12 + h b 3 12 = b h 12 ( b 2 + h 2 ) {\displaystyle J_{z}=I_{x}+I_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}+{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {bh}{12}}\left(b^{2}+h^{2}\right)}
Anulus centrata a originEdit
Anulus con raggio interno r1 e raggio esterno r2
si Consideri un anello il cui centro è all’origine, al di fuori del raggio è r 2 {\displaystyle r_{2}} , e all’interno raggio è r 1 {\displaystyle r_{1}} . A causa della simmetria dell’anello, anche il centroide si trova all’origine., Possiamo determinare il momento polare di inerzia, J z {\displaystyle J_ {z}}, sull’asse z {\displaystyle z} con il metodo delle forme composite. Questo momento polare di inerzia è equivalente al momento polare di inerzia di un cerchio con raggio r 2 {\displaystyle r_ {2}} meno il momento polare di inerzia di un cerchio con raggio r 1 {\displaystyle r_{1}} , entrambi centrati all’origine. Innanzitutto, deriviamo il momento polare di inerzia di un cerchio con raggio r {\displaystyle r} rispetto all’origine., In questo caso , è più facile calcolare direttamente J z {\displaystyle J_{z}} poiché abbiamo già r 2 {\displaystyle r^{2}}, che ha sia un componente x {\displaystyle x} che y {\displaystyle y}. Invece di ottenere il secondo momento di area dalle coordinate cartesiane come fatto nella sezione precedente, calcoleremo I x {\displaystyle I_{x}} e J z {\displaystyle J_{z}} direttamente usando le coordinate polari.,b3be53f037″>
=\iint \limita _{R}r^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{2}\left(r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}}{4}}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}r^{4}\end{aligned}}}
Ora, il momento di inerzia polare sull’z {\displaystyle z} asse di un anello è semplicemente, come detto sopra, la differenza che il secondo momenti di area di un cerchio di raggio r 2 {\displaystyle r_{2}} e un cerchio di raggio r 1 {\displaystyle r_{1}} .,
J z = J z , r 2 − J z , r 1 = π 2 r 2 4 − π 2 r 1 4 = π 2 ( r 2 4 − r 1 4 ) {\displaystyle J_{z}=J_{z,r{2}}-J_{z,r{1}}={\frac {\pi }{2}}r_{2}^{4}-{\frac {\pi }{2}}r_{1}^{4}={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)}
in Alternativa, si può modificare i limiti d r {\displaystyle \mathrm {d} r} integrale per la prima volta intorno a riflettere il fatto che c’è un buco. Questo sarebbe fatto in questo modo.,r 2 r 2 r d r d θ ) = ∫ 0 2 π ∫ r 1 r 2 r 3 d a r d q = ∫ 0 2 π d θ = π 2 ( r 2 4 − r 1 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}&=\iint \limita _{R}r^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{2}\left(r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{3}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }\left\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}
Qualsiasi polygonEdit
Un semplice poligono., Qui, n = 6 {\displaystyle n = 6}, notare che il punto ” 7 ” è identico al punto 1.
Il secondo momento di area sull’origine di qualsiasi poligono semplice sul piano XY può essere calcolato in generale sommando i contributi di ciascun segmento del poligono dopo aver diviso l’area in un insieme di triangoli. Questa formula è correlata alla formula del merletto e può essere considerata un caso speciale del teorema di Green.
Si presume che un poligono abbia n {\displaystyle n} vertici, numerati in senso antiorario., Se i vertici del poligono sono numerati in senso orario, i valori restituiti saranno negativi, ma i valori assoluti saranno corretti.,y i + 1 − x + 1 y i ) ( x i y i + 1 + 2 x i y i + 2 x + 1 y i + 1 + x i + 1 y i ) {\displaystyle {\begin{aligned}I_{y}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2}\right)\\I_{x}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(y_{i}^{2}+y_{i}y_{i+1}+y_{i+1}^{2}\right)\\I_{xy}&={\frac {1}{24}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}y_{i+1}+2x_{i}y_{i}+2x_{i+1}y_{i+1}+x_{i+1}y_{i}\right)\end{aligned}}}