Quadrati delle deviazioni dalla media

nel caso In cui i dati sono disponibili per k diversi gruppi di trattamento con dimensioni ni dove i varia da 1 a k, quindi si presume che l’attesa media di ogni gruppo è di

E ⁡ ( µ i ) = µ + T i {\displaystyle \operatorname {E} (\mu) _{i})=\mu +T_{i}}

e la varianza di ciascun gruppo di trattamento è invariato rispetto alla popolazione varianza σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} .,

Nell’ipotesi Nulla che i trattamenti non abbiano alcun effetto, ciascuno dei T i {\displaystyle T_{i}} sarà zero.,i ) {\displaystyle T=\sum _{i=1}^{k}\left(\left(\sum x\right)^{2}/n_{i}\right)} E ⁡ ( T ) = k s 2 + ∑ i = 1 k n i ( m + T ) 2 {\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+\sum _{i=1}^{k}n_{i}(\mu +T_{i})^{2}} E ⁡ ( T ) = k s 2 + n µ 2 + 2 m ∑ i = 1 k ( n i T i ) + ∑ i = 1 k n i ( T i ) 2 {\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}+2\mu \sum _{i=1}^{k}(n_{i}T_{i})+\sum _{i=1}^{k}n_{i}(T_{i})^{2}}

Sotto l’ipotesi nulla che i trattamenti non causano differenze e tutti i T i {\displaystyle T_{i}} sono pari a zero, l’attesa si semplifica a

E ⁡ ( T ) = k s 2 + n × 2 ., {\displaystyle \ operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}.,C)=\sigma ^{2}+n\mu ^{2}}

Somme di quadrati deviationsEdit

E ⁡ ( I − C ) = ( n − 1 ) s 2 {\displaystyle \operatorname {E} (I-C)=(n-1)\sigma ^{2}} totale dei quadrati delle deviazioni aka la somma totale dei quadrati E ⁡ ( T − C ) = ( k − 1 ) σ 2 {\displaystyle \operatorname {E} (T-C)=(k-1)\sigma ^{2}} trattamento deviazioni al quadrato aka spiegato somma dei quadrati E ⁡ ( I − T ) = ( n − k ) σ 2 {\displaystyle \operatorname {E} (it)=(n-k)\sigma ^{2}} residuo deviazioni al quadrato aka somma residua dei quadrati

Le costanti (n − 1), (k − 1) e (n − k) sono solitamente definiti come il numero di gradi di libertà.,

ExampleEdit

In un esempio molto semplice, 5 osservazioni derivano da due trattamenti. Il primo trattamento dà tre valori 1, 2 e 3, e il secondo trattamento dà due valori 4 e 6.

I = 1 2 1 + 2 2 1 + 3 2 1 + 4 2 1 + 6 2 1 = 66 {\displaystyle I={\frac {1^{2}}{1}}+{\frac {2^{2}}{1}}+{\frac {3^{2}}{1}}+{\frac {4^{2}}{1}}+{\frac {6^{2}}{1}}=66} T = ( 1 + 2 + 3 ) 2 3 + ( 4 + 6 ) 2 2 = 12 + 50 = 62 {\displaystyle T={\frac {(1+2+3)^{2}}{3}}+{\frac {(4+6)^{2}}{2}}=12+50=62} C = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 6 ) 2 5 = 256 / 5 = 51.2 {\displaystyle C={\frac {(1+2+3+4+6)^{2}}{5}}=256/5=51.,2}

Dando

Deviazioni totali al quadrato = 66-51,2 = 14,8 con 4 gradi di libertà. Trattamento al quadrato deviazioni = 62-51,2 = 10,8 con 1 grado di libertà. Deviazioni quadrate residue = 66-62 = 4 con 3 gradi di libertà.

Analisi bidirezionale della varianzamodifica

Il seguente esempio ipotetico fornisce le rese di 15 piante soggette a due diverse variazioni ambientali e tre diversi fertilizzanti.,

Cinque somme dei quadrati sono calcolate:

Infine, la somma delle deviazioni al quadrato richiesti per l’analisi della varianza può essere calcolato.,