Momentum (Italiano)

Momentum è una quantità vettoriale: ha sia magnitudine che direzione. Poiché la quantità di moto ha una direzione, può essere utilizzata per prevedere la direzione risultante e la velocità di movimento degli oggetti dopo che si scontrano. Di seguito, le proprietà di base della quantità di moto sono descritte in una dimensione. Le equazioni vettoriali sono quasi identiche alle equazioni scalari (vedi dimensioni multiple).

Singola particella

Il momento di una particella è convenzionalmente rappresentato dalla lettera p., È il prodotto di due quantità, la massa della particella (rappresentata dalla lettera m) e la sua velocità (v):

p = m v . {\displaystyle p=mv.}

L’unità di quantità di moto è il prodotto delle unità di massa e velocità. In unità SI, se la massa è in chilogrammi e la velocità è in metri al secondo, allora la quantità di moto è in chilogrammi metri al secondo (kg m m/s). In unità cgs, se la massa è in grammi e la velocità in centimetri al secondo, allora la quantità di moto è in grammi centimetri al secondo (g cm cm/s).

Essendo un vettore, la quantità di moto ha grandezza e direzione., Ad esempio, un aeromodello da 1 kg, che viaggia verso nord a 1 m/s in volo rettilineo e livellato, ha una quantità di moto di 1 kg m m/s verso nord misurata con riferimento al suolo.

Molte particelle

La quantità di moto di un sistema di particelle è la somma vettoriale dei loro momenti. Se due particelle hanno rispettivamente masse m1 e m2 e velocità v1 e v2, il momento totale è

p = p 1 + p 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle {\begin {aligned} p & =p_{1} + p_{2}\\ & =m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}\,.,\ end {aligned}}}

I momenti di più di due particelle possono essere aggiunti più in generale con il seguente:

p = i i m i v i . Per maggiori informazioni clicca qui.}

Un sistema di particelle ha un centro di massa, un punto determinato dalla somma ponderata delle loro posizioni:

r cm = m 1 r 1 + m 2 r 2 + m m 1 + m 2 + ⋯ = i i m i r i i i m i . {\displaystyle r{\text{cm}}={\frac {m_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}+\cdots }{m_{1}+m_{2}+\cdots }}={\frac {\sum \limita _{i}m_{i}r{i}}{\sum \limita _{i}m_{i}}}.,}

Se una o più particelle sono in movimento, anche il centro di massa del sistema si muoverà generalmente (a meno che il sistema non sia in rotazione pura attorno ad esso). Se la massa totale delle particelle è m {\displaystyle m} e il centro di massa si muove a velocità vcm, la quantità di moto del sistema è:

p = m v cm . Per maggiori informazioni clicca qui.}

Questa è nota come prima legge di Eulero.

Relazione alla forza

Se la forza netta F applicata a una particella è costante e viene applicata per un intervallo di tempo Δt, la quantità di moto della particella cambia di una quantità

Δ p = F Δ t ., {\displaystyle \ Delta p=F \ Delta t\,.}

In forma differenziale, questa è la seconda legge di Newton; la velocità di cambiamento del momento di una particella è uguale alla forza istantanea F che agisce su di essa,

F = d p d t . Per maggiori informazioni clicca qui.}

Se la forza netta sperimentata da una particella cambia in funzione del tempo, F(t), la variazione di quantità di moto (o impulso J ) tra t1 e t2 è

Δ p = J = ∫ t 1 t 2 F ( t ) d t . Per maggiori informazioni,consultare il sito.,}

Impulso è misurato in unità derivate di newton secondo (1 N⋅s = 1 kg⋅m/s) o dyne secondo (1 dyne⋅s = 1 g⋅cm/s)

con l’assunzione costante di massa m, è equivalente a scrivere:

F = d ( m v) (d) t = m d v d t = m a , {\displaystyle F={\frac {d(mv)}{dt}}=m{\frac {dv}{dt}}=ma,}

quindi il net forza è uguale alla massa della particella volte la sua accelerazione.

Esempio: Un aeroplano modello di massa 1 kg accelera dal riposo ad una velocità di 6 m / s verso nord in 2 s. La forza netta necessaria per produrre questa accelerazione è di 3 newton verso nord., La variazione di slancio è di 6 kg m m / s verso nord. Il tasso di variazione della quantità di moto è 3 (kg m m/s)/s verso nord che è numericamente equivalente a 3 newton.

Conservazione

In un sistema chiuso (uno che non scambia alcuna materia con l’ambiente circostante e non è agito da forze esterne) la quantità di moto totale è costante. Questo fatto, noto come legge di conservazione della quantità di moto, è implicito dalle leggi del moto di Newton. Supponiamo, ad esempio, che due particelle interagiscano. A causa della terza legge, le forze tra loro sono uguali e opposte., Se le particelle sono numerate 1 e 2, la seconda legge afferma che F1 = dp1/dt e F2 = dp2 / dt. Pertanto,

d p 1 d t = − d p 2 d t , {\displaystyle {\frac {dp_{1}}{dt}}=-{\frac {dp_{2}}{dt}},}

con il segno negativo che indica che le forze si oppongono. Equivalentemente,

d d t ( p 1 + p 2) = 0. {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left (p_{1}+p_{2}\right)=0.}

Se le velocità delle particelle sono u1 e u2 prima dell’interazione e successivamente sono v1 e v2, allora

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\stile di visualizzazione m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2}=m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}.,}

Questa legge vale non importa quanto sia complicata la forza tra le particelle. Allo stesso modo, se ci sono più particelle, la quantità di moto scambiata tra ogni coppia di particelle si somma a zero, quindi la variazione totale della quantità di moto è zero. Questa legge di conservazione si applica a tutte le interazioni, comprese collisioni e separazioni causate da forze esplosive. Può anche essere generalizzato a situazioni in cui le leggi di Newton non valgono, ad esempio nella teoria della relatività e nell’elettrodinamica.,

Dipendenza dal quadro di riferimento

La quantità di moto è una quantità misurabile e la misura dipende dal movimento dell’osservatore., Ad esempio: se una mela è seduta in un ascensore di vetro che sta scendendo, un osservatore esterno, guardando nell’ascensore, vede la mela muoversi, quindi, verso quell’osservatore, la mela ha un momento diverso da zero. Per qualcuno all’interno dell’ascensore, la mela non si muove, quindi, ha zero slancio. I due osservatori hanno ciascuno un quadro di riferimento, in cui osservano i movimenti e, se l’ascensore sta scendendo costantemente, vedranno un comportamento coerente con quelle stesse leggi fisiche.

Supponiamo che una particella abbia la posizione x in un quadro di riferimento stazionario., Dal punto di vista di un altro quadro di riferimento, muovendosi ad una velocità uniforme u, la posizione (rappresentata da una coordinata innescata) cambia con il tempo come

x ‘ = x − u t . {\displaystyle x ‘ =x-ut\,.}

Questa è chiamata trasformazione galileiana. Se la particella si muove alla velocità dx / dt = v nel primo quadro di riferimento, nel secondo, si muove alla velocità

v ‘= d x ‘ d t − v-u . Per maggiori informazioni clicca qui.}

Poiché u non cambia, le accelerazioni sono le stesse:

a ‘= d v ‘ d t = a . Per maggiori informazioni clicca qui.,}

Quindi, la quantità di moto viene conservata in entrambi i quadri di riferimento. Inoltre, finché la forza ha la stessa forma, in entrambi i fotogrammi, la seconda legge di Newton è invariata. Forze come la gravità newtoniana, che dipendono solo dalla distanza scalare tra gli oggetti, soddisfano questo criterio. Questa indipendenza del quadro di riferimento è chiamata relatività newtoniana o invarianza galileiana.

Un cambiamento del quadro di riferimento, può, spesso, semplificare i calcoli di movimento. Ad esempio, in una collisione di due particelle, è possibile scegliere un frame di riferimento, dove una particella inizia a riposo., Un altro, comunemente usato telaio di riferimento, è il centro di telaio di massa-uno che si muove con il centro di massa. In questo frame, la quantità di moto totale è zero.

Applicazione alle collisioni

Di per sé, la legge di conservazione della quantità di moto non è sufficiente per determinare il movimento delle particelle dopo una collisione. Un’altra proprietà del moto, l’energia cinetica, deve essere nota. Questo non è necessariamente conservato. Se è conservato, la collisione è chiamata collisione elastica; in caso contrario, è una collisione anelastica.,

urti Elastici

Un urto elastico è uno in cui nessuna energia cinetica viene assorbito nella collisione. “Collisioni” perfettamente elastiche possono verificarsi quando gli oggetti non si toccano, come ad esempio nello scattering atomico o nucleare dove la repulsione elettrica li tiene separati., Una manovra di fionda di un satellite attorno a un pianeta può anche essere vista come una collisione perfettamente elastica. Una collisione tra due palline da biliardo è un buon esempio di collisione quasi totalmente elastica, a causa della loro elevata rigidità, ma quando i corpi vengono a contatto c’è sempre una certa dissipazione.

Una collisione elastica frontale tra due corpi può essere rappresentata da velocità in una dimensione, lungo una linea che passa attraverso i corpi., Se le velocità sono u1 e u2 prima della collisione e v1 e v2 dopo, le equazioni che esprimono la conservazione della quantità di moto e dell’energia cinetica sono:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 1 2 m 1 u 1 2 + 1 2 m 2 u 2 2 = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\\{\tfrac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}&={\tfrac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\,.\ end {aligned}}}

Una modifica del frame di riferimento può semplificare l’analisi di una collisione., Ad esempio, supponiamo che ci siano due corpi di massa uguale m, uno stazionario e uno che si avvicina all’altro ad una velocità v (come nella figura). Il centro di massa si muove alla velocità v / 2 ed entrambi i corpi si muovono verso di esso alla velocità v/2. A causa della simmetria, dopo la collisione entrambi devono allontanarsi dal centro di massa alla stessa velocità. Aggiungendo la velocità del centro di massa ad entrambi, troviamo che il corpo che si muoveva è ora fermato e l’altro si sta allontanando alla velocità v. I corpi hanno scambiato le loro velocità., Indipendentemente dalle velocità dei corpi, un passaggio al centro del telaio di massa ci porta alla stessa conclusione. Pertanto, le velocità finali sono date da

v 1 = u 2 v 2 = u 1 . {\displaystyle {\begin {aligned}v_{1}& = u_{2}\ \ v_{2}&=u_{1}\,.,\end{aligned}}}

In generale, quando le velocità iniziali sono noti, la velocità finale è dato da

v 1 = ( m 1 − m 2 m 1 + m 2 ) u 1 + ( 2 m 2 m 1 + m 2 ) u 2 {\displaystyle v_{1}=\left({\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}+\left({\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{2}\,} v 2 = ( m 2 − m 1 m 1 + m 2 ) x 2 + ( 2 m 1 m 1 + m 2 ) u 1 . {\displaystyle v_{2}=\left({\frac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{2}+\left({\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}\,.,}

Se un corpo ha una massa molto maggiore dell’altro, la sua velocità sarà poco influenzata da una collisione mentre l’altro corpo sperimenterà un grande cambiamento.

collisioni Anelastiche

In un urto anelastico, parte dell’energia cinetica della collisione di corpi viene convertita in altre forme di energia (come il caldo o il suono)., Gli esempi includono le collisioni di traffico, in cui l’effetto della perdita di energia cinetica può essere visto nel danno ai veicoli; elettroni che perdono parte della loro energia agli atomi (come nell’esperimento di Franck–Hertz); e acceleratori di particelle in cui l’energia cinetica viene convertita in massa sotto forma di nuove particelle.

In una collisione perfettamente anelastica (come un bug che colpisce un parabrezza), entrambi i corpi hanno lo stesso movimento in seguito. Una collisione anelastica frontale tra due corpi può essere rappresentata da velocità in una dimensione, lungo una linea che passa attraverso i corpi., Se le velocità sono u1 e u2 prima della collisione, in una collisione perfettamente anelastica entrambi i corpi viaggiano con velocità v dopo la collisione. L’equazione che esprime la conservazione della quantità di moto è:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = (m 1 + m 2 ) v . {\displaystyle {\begin {aligned}m_{1} u_{1}+m_{2} u_{2}&=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\,.\ end {aligned}}}

Se un corpo è immobile per cominciare (ad esempio, u 2 = 0 {\displaystyle u_{2} = 0}), l’equazione per la conservazione della quantità di moto è

m 1 u 1 = (m 1 + m 2 ) v , {\displaystyle m_{1}u_{1}=\left (m_{1}+m_{2}\right)v\,,}

so

v = m 1 m 1 + m 2 u 1 . Per ulteriori informazioni, consultare il sito .}

In una situazione diversa, se il quadro di riferimento si muove alla velocità finale tale che v = 0 {\displaystyle v=0} , gli oggetti verrebbero portati a riposo da una collisione perfettamente anelastica e il 100% dell’energia cinetica viene convertita in altre forme di energia., In questo caso le velocità iniziali dei corpi sarebbero diverse da zero, o i corpi dovrebbero essere senza massa.

Una misura dell’inelasticità della collisione è il coefficiente di restituzione CR, definito come il rapporto tra velocità relativa di separazione e velocità relativa di avvicinamento. Applicando questa misura a una palla che rimbalza da una superficie solida, questa può essere facilmente misurata usando la seguente formula:

C R = altezza di rimbalzo altezza di caduta . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.,}

Le equazioni della quantità di moto e dell’energia si applicano anche ai moti degli oggetti che iniziano insieme e poi si allontanano. Ad esempio, un’esplosione è il risultato di una reazione a catena che trasforma l’energia potenziale immagazzinata in forma chimica, meccanica o nucleare in energia cinetica, energia acustica e radiazione elettromagnetica. I razzi fanno anche uso della conservazione della quantità di moto: il propellente viene spinto verso l’esterno, guadagnando slancio, e una quantità di moto uguale e opposta viene impartita al razzo.,

Dimensioni multiple

Il movimento reale ha sia direzione che velocità e deve essere rappresentato da un vettore. In un sistema di coordinate con assi x, y, z, la velocità ha componenti vx nella direzione x, vy nella direzione y, vz nella direzione Z., Il vettore è rappresentato da un simbolo in grassetto:

v = (v x , v y , v z ) . il nostro sito web utilizza i cookie per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

Allo stesso modo, la quantità di moto è una quantità vettoriale ed è rappresentata da un simbolo in grassetto:

p = ( p x , p y , p z ) . Per maggiori informazioni clicca qui.}

Le equazioni nelle sezioni precedenti, funzionano in forma vettoriale se gli scalari p e v sono sostituiti dai vettori p e v. Ogni equazione vettoriale rappresenta tre equazioni scalari., Ad esempio,

p = m v {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }

rappresenta tre equazioni:

p x = m v x p y = m v y p z = m v z . {\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}&=mv_{x}\\p{y}&=mv_{y}\\p{z}&=mv_{z}.\ end {aligned}}}

Le equazioni dell’energia cinetica sono eccezioni alla regola di sostituzione di cui sopra. Le equazioni sono ancora unidimensionali, ma ogni scalare rappresenta la grandezza del vettore, ad esempio,

v 2 = v x 2 + v y 2 + v z 2 . {\stile di visualizzazione v^{2}=v_{x} ^ {2}+v_{y} ^ {2} + v_{z}^{2}\,.,}

Ogni equazione vettoriale rappresenta tre equazioni scalari. Spesso le coordinate possono essere scelte in modo che siano necessari solo due componenti, come nella figura. Ogni componente può essere ottenuto separatamente e i risultati combinati per produrre un risultato vettoriale.

Una semplice costruzione che coinvolge il telaio del centro di massa può essere utilizzata per mostrare che se una sfera elastica stazionaria viene colpita da una sfera in movimento, i due si allontaneranno ad angolo retto dopo la collisione (come nella figura).,

Oggetti di massa variabile

Il concetto di quantità di moto gioca un ruolo fondamentale nello spiegare il comportamento di oggetti a massa variabile come un razzo che espelle carburante o un gas di accrescimento stellare. Nell’analizzare un tale oggetto, si considera la massa dell’oggetto come una funzione che varia nel tempo: m(t). La quantità di moto dell’oggetto al tempo t è quindi p(t) = m(t)v(t)., Si potrebbe quindi provare a invocare la seconda legge del moto di Newton dicendo che la forza esterna F sull’oggetto è correlata al suo momento p (t) di F = dp/dt, ma questo non è corretto, così come l’espressione correlata trovata applicando la regola del prodotto a d(mv)/dt:

F = m ( t ) d v d t + v ( t) d m d t . Per maggiori informazioni clicca qui.} (errato)

Questa equazione non descrive correttamente il movimento degli oggetti a massa variabile., L’equazione corretta è

F = m(t ) d v d t − u d m d t , {\displaystyle F=m (t){\frac {dv}{dt}}-u{\frac {dm}{dt}},}

dove u è la velocità della massa espulsa/aumentata come si vede nel frame di riposo dell’oggetto. Questo è distinto da v, che è la velocità dell’oggetto stesso come visto in un frame inerziale.

Questa equazione è derivata tenendo traccia sia del momento dell’oggetto che del momento della massa espulsa/aumentata (dm). Se considerati insieme, l’oggetto e la massa (dm) costituiscono un sistema chiuso in cui si conserva la quantità di moto totale.,

P ( t + d t) = (m – D m) (v + v) + D m (V-u) = m v + m D v-u D M = P(t ) + m D v − U D M {\displaystyle P (t+dt) = (m-dm) (V+dv) + dm(v-U) = mv + mdv-udm=P (t) + mdv-udm}