La matrice laplaciana può essere interpretata come una rappresentazione matriciale di un caso particolare dell’operatore discreto di Laplace. Tale interpretazione consente, ad esempio, di generalizzare la matrice laplaciana nel caso di grafi con un numero infinito di vertici e spigoli, portando a una matrice laplaciana di dimensioni infinite.
d ϕ i d t = − k ∑ j i j ( ϕ i − ϕ j ) = − k ( ϕ i ∑ j i j − ∑ j i j ϕ j ) = − k ( ϕ ho deg ( v i ) − ∑ j i j ϕ j ) = − k ∑ j ( δ i j gradi ( v i ) − j ) ϕ j = − k ∑ j ( ℓ i j ) ϕ j ., {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\phi _{i}}{dt}}&=-k\am _{j}A_{ij}\left(\phi _{i}-\phi _{j}\right)\\&=-k\left(\phi _{i}\am _{j}A_{ij}-\am _{j}A_{ij}\phi _{j}\right)\\&=-k\left(\phi _{i}\ \deg(v_{i})-\I _{j}A_{ij}\phi _{j}\right)\\&=-k\am _{j}\left(\delta _{ij}\ \deg(v_{i})-A_{ij}\right)\phi _{j}\\&=-k\am _{j}\left(\ell _{ij}\right)\phi _{j}.,\end{aligned}}}
In matrice-vettore di notazione,
d ϕ d t = − k ( D − A ) ϕ = − k L ϕ , {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\phi }{dt}}&=-k(D-A)\phi \\&=-kL\phi\end{aligned}}}
che dà
d ϕ d t + k L ϕ = 0. Per maggiori informazioni clicca qui.}
Si noti che questa equazione assume la stessa forma dell’equazione del calore, dove la matrice −L sta sostituendo l’operatore laplaciano 2 2 {\textstyle \nabla ^{2}} ; quindi, il “grafo laplaciano”.,
0 = d ( ∑ i c i ( t ) v i ) d t + k L ( ∑ i c i ( t ) v i ) = ∑ i = ∑ i ⇒ d c i ( t ) d t + k λ i c i ( t ) = 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\frac {d\left(\sum _{i}c_{i}(t)\mathbf {v} _{i}\right)}{dt}}+kL\left(\sum _{i}c_{i}(t)\mathbf {v} _{i}\right)\\=&\sum _{i}\left\\=&\sum _{i}\left\\\Rightarrow &{\frac {dc_{i}(t)}{dt}}+k\lambda _{i}c_{i}(t)=0,\\\end{aligned}}}
la cui soluzione
c i ( t ) = c i ( 0 ) e − λ k i t . il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti., il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione .
Nel caso di grafici non orientati, funziona perché L {\textstyle L} è simmetrico e, per il teorema spettrale, i suoi autovettori sono tutti ortogonali. Quindi la proiezione sugli autovettori di L {\textstyle L} è semplicemente una trasformazione di coordinate ortogonali della condizione iniziale in un insieme di coordinate che decadono esponenzialmente e indipendentemente l’una dall’altra.,
Equilibrio behaviorEdit
lim t → ∞ e − λ k i t = { 0, se λ i > 0 1 se λ i = 0 } {\displaystyle \lim _{t\to \infty }e^{-k\lambda _{i}t}=\left\{{\begin{array}{rlr}0&{\text{se}}&\lambda _{i}>0\\1&{\text{se}}&\lambda _{i}=0\end{array}}\right\}}
In altre parole, lo stato di equilibrio del sistema è determinata interamente dal kernel di L {\textstyle L} .,
La conseguenza di ciò è che per una data condizione iniziale c ( 0 ) {\textstyle c(0)} per un grafo con N {\textstyle N} vertici
lim t → ∞ ϕ ( t ) = ⟨ c ( 0 ) , v, 1 ⟩ v 1 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\phi (t)=\left\langle c(0),\mathbf {v^{1}} \right\rangle \mathbf {v^{1}} }
dove
v 1 = 1 N {\displaystyle \mathbf {v^{1}} ={\frac {1}{\sqrt {N}}}} lim t → ∞ ϕ j ( t ) = 1 N ∑ i = 1 N c i ( 0 ) {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\phi _{j}(t)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}c_{i}(0)} .,
In altre parole, allo stato stazionario, il valore di text {\textstyle \phi } converge allo stesso valore in ciascuno dei vertici del grafico, che è la media dei valori iniziali in tutti i vertici. Poiché questa è la soluzione all’equazione di diffusione del calore, questo ha perfettamente senso intuitivamente. Ci aspettiamo che gli elementi vicini nel grafico si scambino energia fino a quando tale energia non viene distribuita uniformemente in tutti gli elementi che sono collegati tra loro.,
Esempio dell’operatore su una gridEdit
Questa GIF mostra la progressione della diffusione, come risolta dalla tecnica grafo laplaciana. Un grafico è costruito su una griglia, in cui ogni pixel del grafico è collegato ai suoi 8 pixel confinanti. I valori nell’immagine si diffondono senza problemi ai loro vicini nel tempo tramite queste connessioni. Questa particolare immagine inizia con tre punti di forza che si riversano lentamente sui loro vicini. L’intero sistema alla fine si deposita allo stesso valore all’equilibrio.,
Questa sezione mostra un esempio di una funzione diff {\textstyle \phi } che si diffonde nel tempo attraverso un grafico. Il grafico in questo esempio è costruito su una griglia discreta 2D, con punti sulla griglia collegati ai loro otto vicini. Tre punti iniziali sono specificati per avere un valore positivo, mentre il resto dei valori nella griglia sono zero. Nel tempo, il decadimento esponenziale agisce per distribuire i valori in questi punti in modo uniforme su tutta la griglia.
Il codice sorgente Matlab completo utilizzato per generare questa animazione è fornito di seguito., Mostra il processo di specificare le condizioni iniziali, proiettando queste condizioni iniziali sugli autovalori della Matrice Laplaciana e simulando il decadimento esponenziale di queste condizioni iniziali proiettate.