I matematici riportano nuove scoperte sul Dodecaedro

Anche se i matematici hanno trascorso oltre 2.000 anni a sezionare la struttura dei cinque solidi platonici — il tetraedro, il cubo, l’ottaedro, l’icosaedro e il dodecaedro — c’è ancora molto che non sappiamo su di loro.

Ora, un trio di matematici ha risolto una delle domande più basilari sul dodecaedro.

Supponiamo di stare in uno degli angoli di un solido platonico., C’è qualche percorso rettilineo che potresti prendere che alla fine ti riporterebbe al tuo punto di partenza senza passare attraverso nessuno degli altri angoli? Per i quattro solidi platonici costruiti da quadrati o triangoli equilateri-il cubo, il tetraedro, l’ottaedro e l’icosaedro — i matematici hanno recentemente capito che la risposta è no. Qualsiasi percorso rettilineo a partire da un angolo o colpirà un altro angolo o si snoderà per sempre senza tornare a casa. Ma con il dodecaedro, che è formato da 12 pentagoni, i matematici non sapevano cosa aspettarsi.,

Ora Jayadev Athreya, David Aulicino e Patrick Hooper hanno dimostrato che un numero infinito di tali percorsi esiste effettivamente sul dodecaedro. Il loro articolo, pubblicato a maggio su Experimental Mathematics, mostra che questi percorsi possono essere suddivisi in 31 famiglie naturali.

La soluzione richiedeva tecniche moderne e algoritmi informatici., “Venti anni fa, era assolutamente fuori portata; 10 anni fa avrebbe richiesto un enorme sforzo di scrivere tutto il software necessario, quindi solo ora tutti i fattori si sono riuniti”, ha scritto Anton Zorich, dell’Istituto di Matematica di Jussieu a Parigi, in una e-mail.

Il progetto è iniziato nel 2016 quando Athreya, dell’Università di Washington, e Aulicino, del Brooklyn College, hanno iniziato a giocare con una collezione di ritagli di cartoncino che si ripiegano nei solidi platonici., Mentre costruivano i diversi solidi, ad Aulicino venne in mente che un corpo di recenti ricerche sulla geometria piatta potrebbe essere proprio quello di cui avrebbero bisogno per capire i percorsi rettilinei sul dodecaedro. ” Stavamo letteralmente mettendo insieme queste cose”, ha detto Athreya. “Quindi è stata una specie di esplorazione inattiva che incontra un’opportunità.”

Insieme a Hooper, del City College di New York, i ricercatori hanno capito come classificare tutti i percorsi rettilinei da un angolo a se stesso che evitano altri angoli.

La loro analisi è “una soluzione elegante”, ha detto Howard Masur dell’Università di Chicago., “È una di queste cose in cui posso dire, senza alcuna esitazione,’ Bontà, oh, vorrei averlo fatto!'”

Simmetrie nascoste

Anche se i matematici hanno speculato su percorsi rettilinei sul dodecaedro per più di un secolo, c’è stata una rinascita di interesse per l’argomento negli ultimi anni a seguito di guadagni nella comprensione ” superfici di traduzione.,”Si tratta di superfici formate dall’incollaggio di lati paralleli di un poligono, e si sono rivelate utili per studiare una vasta gamma di argomenti che coinvolgono percorsi rettilinei su forme con angoli, dalle traiettorie dei tavoli da biliardo alla questione di quando una singola luce può illuminare un’intera stanza specchiata.

In tutti questi problemi, l’idea di base è quella di srotolare la tua forma in un modo che renda più semplici i percorsi che stai studiando. Quindi, per capire i percorsi retti su un solido platonico, si potrebbe iniziare tagliando i bordi abbastanza aperti da rendere il solido piatto, formando ciò che i matematici chiamano una rete., Una rete per il cubo, ad esempio, è una forma a T composta da sei quadrati.

Immagina di aver appiattito il dodecaedro, e ora stiamo camminando lungo questa forma piatta in una direzione scelta. Alla fine colpiremo il bordo della rete, a quel punto il nostro percorso salterà verso un pentagono diverso (qualunque sia stato incollato al nostro attuale pentagono prima di aprire il dodecaedro). Ogni volta che il percorso salta, ruota anche di un multiplo di 36 gradi.,

Per evitare tutto questo saltellare e ruotare, quando colpiamo un bordo della rete potremmo invece incollare su una nuova copia ruotata della rete e continuare dritto in essa. Abbiamo aggiunto un po ‘ di ridondanza: ora abbiamo due pentagoni diversi che rappresentano ogni pentagono sul dodecaedro originale. Quindi abbiamo reso il nostro mondo più complicato, ma il nostro percorso è diventato più semplice. Possiamo continuare ad aggiungere una nuova rete ogni volta che abbiamo bisogno di espanderci oltre il bordo del nostro mondo.,

Nel momento in cui il nostro percorso ha viaggiato attraverso 10 reti, abbiamo ruotato la nostra rete originale attraverso ogni possibile multiplo di 36 gradi, e la rete successiva che aggiungiamo avrà lo stesso orientamento di quella con cui abbiamo iniziato. Ciò significa che questa rete 11th è correlata a quella originale da un semplice spostamento-ciò che i matematici chiamano una traduzione. Invece di incollare su una rete 11, potremmo semplicemente incollare il bordo della rete 10 al bordo parallelo corrispondente nella rete originale., La nostra forma non giace più piatta sul tavolo, ma i matematici la pensano come ancora “ricordando” la geometria piatta della sua precedente incarnazione — quindi, ad esempio, i percorsi sono considerati diritti se fossero dritti nella forma non incollata. Dopo aver fatto tutti questi possibili incollaggi dei corrispondenti bordi paralleli, finiamo con quella che viene chiamata una superficie di traduzione.

La superficie risultante è una rappresentazione altamente ridondante del dodecaedro, con 10 copie di ogni pentagono. Ed è massicciamente più complicato: si incolla in una forma come una ciambella con 81 fori., Tuttavia, questa forma complicata ha permesso ai tre ricercatori di accedere alla ricca teoria delle superfici di traduzione.

Per affrontare questa superficie gigante, i matematici si sono rimboccati le maniche — in senso figurato e letterale. Dopo aver lavorato sul problema per alcuni mesi, si sono resi conto che la superficie a ciambella a 81 fori forma una rappresentazione ridondante non solo del dodecaedro ma anche di una delle superfici di traduzione più studiate., Chiamato doppio pentagono, è realizzato attaccando due pentagoni lungo un unico bordo e poi incollando insieme lati paralleli per creare una ciambella a due fori con una ricca collezione di simmetrie.

Anche questa forma è stata tatuata sul braccio di Athreya. ” Il doppio pentagono era qualcosa che già conoscevo e amavo”, ha detto Athreya, che si è fatto il tatuaggio un anno prima che lui e Aulicino iniziassero a pensare al dodecaedro.

Poiché il doppio pentagono e il dodecaedro sono cugini geometrici, l’alto grado di simmetria del primo può chiarire la struttura di quest’ultimo., È una “sorprendente simmetria nascosta”, ha detto Alex Eskin dell’Università di Chicago (che era il consulente di dottorato di Athreya circa 15 anni fa). “Il fatto che il dodecaedro abbia questo gruppo di simmetria nascosto è, penso, abbastanza notevole.”