L’esponenziazione è un’operazione matematica che coinvolge due numeri, la base x x x e l’esponente a a.. Quando $a a è un intero positivo, l’esponenziazione corrisponde alla moltiplicazione ripetuta della base.
Per definizione, ogni numero che ha 0 come esponente è uguale a 1. Ciò significa che, non importa quanto grande sia la base, se il loro esponente è uguale a 0, quel numero è sempre uguale a 1.,
Ogni numero che non ha un esponente collegato ad esso, in realtà ha il numero 1 come suo esponente. Il numero 1 è l’esponente predefinito di ogni numero, quindi non è necessario scriverlo, ma in alcune attività può essere utile farlo.
Uno moltiplicato per uno è sempre uno, non importa quante volte si ripete la moltiplicazione, quindi 1 a qualsiasi potenza è sempre uguale a 1.,
Esponenti negativi
Se l’esponente è un numero intero positivo, l’esponenziazione corrisponde alla moltiplicazione ripetuta della base, quindi cosa significa se l’esponente è un numero intero negativo? Il valore reciproco della base è quello utilizzato per trasformare l’esponente negativo in positivo.
$a^{-n}=(a^{-1})^n=\left(\frac{1}{a}\right)^n=\frac{1}{a^n}
Lo stesso vale al contrario. Se uno sconosciuto è nel denominatore, il denominatore può diventare un numeratore cambiando il segno dell’esponente., In alcuni casi, questa si rivelerà una caratteristica molto utile, specialmente quando si lavora con numeri e funzioni inverse.
Esempio 1: Scrivere queste espressioni utilizzando solo esponenti positivi:
a) $a^{-7}$
b) $\frac{-6x^{-1}}{y^5}$
c) $\frac{-12x^{-6}y^{-9}}{z^3}$
Soluzione:
a) $a^{-7}=\frac{1}{a^7}$
b) $\frac{-6x^{-1}}{y^5}=\frac{-6}{x^1 \cdot y^5}=\frac{-6}{xy^5}$
c) $\frac{-12x^{-6}y^{-9}}{z^3} = \frac{-12}{x^6 \cdot y^9 \cdot z^3}$
Oltre
Come si fa a aggiungere o sottrarre gli esponenti?,
Le attività più interessanti coinvolgono unkowns, ma le stesse regole si applicano a loro.
vediamo una semplice equazione:
Dato che $\ x = x^1$ e $\ 1 = x^0$, possiamo scrivere la nostra equazione come questa:
Come si farebbe normalmente risolverlo? Le variabili con x x are vengono aggiunte separatamente e separatamente le variabili senza variables x$.,
The same will apply to larger exponents:
$\ x^{12} + 3 \cdot {x^{12}} + 2 \cdot {x^2} = 4 \cdot {x^{12}} + 2 \cdot {x^2}$
Example 2: Add exponents
Sottrazione
Le stesse regole che si applicano all’aggiunta di esponenti, si applicano anche alla sottrazione.
Puoi solo sottrarre numeri che hanno incognite con lo stesso esponente.
Esempio 3: Sottrarre esponenti:
$ 4x^{12} – 0.25 x^4 + 2x^2 – 3x^2 – 3x^{12} = ?Solution
Soluzione:
$ (4x^{12} – 3x^{12}) – 0.25\cdot {x^4} + (2x^2 – 3x^2) = x^{12} – 0.25\cdot {x^4} – x^2
Moltiplicazione
Esistono due regole di base per la moltiplicazione degli esponenti.,
La prima regola: se le basi sono le stesse, i loro esponenti vengono sommati.
Per esempio: \ \ 2^{-2} \ cdot {2^{-3}} = 2^{- 2 – 3} = 2^{-5} = \sinistra (\frac{1}{2} \ destra)^5$.
La seconda regola: se le basi sono diverse, ma gli esponenti sono gli stessi, le basi vengono moltiplicate e gli esponenti rimangono gli stessi.
Per esempio: \ \2^2 \cdot {3^2} = (2 \ cdot {3})^2 = 6^2$.
Esempio 4:
$ 2^2 \cdot {4^2} = ?,Solution
Soluzione:
Per moltiplicare due esponenti, la loro base o i loro esponenti devono essere uguali. In questo esempio, nessuno dei due è il caso. Quindi, il primo passo è quello di, quando possibile, per trasformare ogni numero alla base più bassa. In questo esempio il numero 4 4 can può essere scritto come 2 2^2..
$ 2^2 \cdot {(2^2)^2} = ?$
Il quadrato rappresenta il numero moltiplicato per se stesso così $\ (2^2)^2$ può essere scritto come cd\ 2^2 \cdot {2^2} = 2^{2 + 2} = 2^4$.,
From Example 4, this generalisation can be made:
Final solution: $\ 2^2 \cdot {4^2}= 2^2 \cdot {(2^2)^2} = 2^2 \cdot {2^4} = 2^{2+4} = 2^6$.
Example 5:
$ \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot {0.2^2} = ?,$
Soluzione:
$$=\left (\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left (\frac{2}{10}\right)^2$$
$$=\left (\frac{2}{3}\right)^2 \cdot\left (\frac{1}{5}\right)^2$$
$$= \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5}\right)^2 $$
$$= \left(\frac{2}{15}\right)^2$$
Esempio 6:
$\ (x^2 y^3)(x^5 y^4 )$
Soluzione:
la Moltiplicazione è associativa in modo che l’ordine di staffe di non fare la differenza. I fattori con le stesse basi vengono moltiplicati come spiegato prima, quindi vengono aggiunti i loro esponenti.,
$ (x^2 \cdot y^3)(x^5 \cdot y^4) = x^2 \cdot x^5 \cdot y^3 \cdot y^4 = x^7 \cdot y^7 = (xy)^7 Division
Divisione
Per quanto riguarda la moltiplicazione, ci sono due regole di base per dividere gli esponenti.
La prima regola – quando le basi sono le stesse, i loro esponenti vengono sottratti.
Per esempio: $\ 2^2 : 2 = \frac{2^2}{2} = 2^{2 – 1} = 2^1 = 2$, che può essere facilmente controllato da $4: 2 = 2$.
Per esempio: $\ 2^{-2} : 2^{-1} =\frac{2^{-2}}{2^{-1} }= 2^{-2-(-1)} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.,
La seconda regola: se le basi sono diverse, ma gli esponenti sono gli stessi, le basi sono divise e gli esponenti rimangono gli stessi.
Per esempio: $\ 2^2 : 3^2 = \frac{2^2}{3^2 } = (2 : 3)^2 = \sinistra (\frac{2}{3} \ destra)^2$.
Esempio 7:
$ \ frac{4^2}{4^3} + \frac{1}{2} = ?$
Soluzione:
$\frac{4^2}{4^3} + \frac{1}{2} = 4^{2 – 3} + \frac{1}{2} = 4^{-1} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1 + 2}{4} = \frac{3}{4}$
Esempio 8:
$\frac{4^5}{4^{-2}} – 0.2 \cdot {4} + \frac{1}{2} \cdot {2^8} = ?,$
Soluzione:
$\frac{4^5}{4^{-2}} – 0.2 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 2^8 = 4^{5 – (-2)} – \frac{2}{10} \cdot 4 + \frac{2^8}{2^1} = 4^{5 + 2} – \frac{1}{5} \cdot 4 + 2^{8 – 1} = 4^7 – \frac{4}{5} + 2^7$
Esempio 9:
$\frac{18x^5y^6a^2}{6xy^2a^5} = ?$
Soluzione:
$\frac{18x^5y^6a^2}{6xy^2a^5} = 3x^{5 – 1}y^{6 – 2}a^{2 – 5} = 3x^4y^4a^{-3} = \frac{3x^4y^4}{a^3}$
Se, come in questo esempio, si tratta solo di divisione e moltiplicazione, la frazione può essere diviso in due frazioni più piccole.,
$\frac{x^2y^3 + x^5y}{xy} = \frac{x^2y^3}{xy} + \frac{x^5y}{xy} = xy^2 + x^4$
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