Impuls

Der Impuls ist eine Vektorgröße: Er hat sowohl Größe als auch Richtung. Da der Impuls eine Richtung hat, kann er verwendet werden, um die resultierende Bewegungsrichtung und-geschwindigkeit von Objekten nach ihrer Kollision vorherzusagen. Im Folgenden werden die grundlegenden Eigenschaften des Impulses in einer Dimension beschrieben. Die Vektorgleichungen sind nahezu identisch mit den Skalargleichungen (siehe mehrere Dimensionen).

Einzelnes Teilchen

Der Impuls eines Teilchens wird üblicherweise durch den Buchstaben p dargestellt., Es ist das Produkt zweier Größen, der Masse des Teilchens (dargestellt durch den Buchstaben m) und seiner Geschwindigkeit (v):

p = m v. {\displaystyle p=mv.}

Die Einheit des Impulses ist das Produkt der Massen – und Geschwindigkeitseinheiten. In SI-Einheiten, wenn die Masse in Kilogramm und die Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde ist, dann ist der Impuls in Kilogramm Metern pro Sekunde (kg⋅m/s). In cgs-Einheiten, wenn die Masse in Gramm und die Geschwindigkeit in Zentimetern pro Sekunde ist, dann ist der Impuls in Gramm Zentimeter pro Sekunde (g⋅cm/s).

Als Vektor hat der Impuls Größe und Richtung., Zum Beispiel hat ein 1 kg-Modellflugzeug, das im geraden und ebenen Flug mit 1 m/s nach Norden fliegt, einen Impuls von 1 kg⋅m/s nach Norden, gemessen in Bezug auf den Boden.

Viele Teilchen

Der Impuls eines Partikelsystems ist die Vektorsumme ihrer Momenta. Wenn zwei Teilchen die jeweiligen Massen m1 und m2 sowie die Geschwindigkeiten v1 und v2 haben, beträgt der Gesamtimpuls

p = p 1 + p 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}p “ &=p_{1}+p_{2}\\&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\,.,\end{aligned}}}

Der Momenta von mehr als zwei Teilchen kann allgemeiner mit folgendem hinzugefügt werden:

p = ∑ i m i v i. {\displaystyle p=\Summe _{i}m_{i}v_{i}.}

Ein system von Teilchen hat, ein Zentrum der Masse, ein Punkt, bestimmt durch die gewichtete Summe der Positionen:

r cm = m 1 r 1 + m 2 r 2 + ⋯ m 1 + m 2 + ⋯ = ∑ i m i r i ∑ i m i . {\displaystyle r_{\text{cm}}={\frac {m_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}+\neq I }{m_{1}+m_{2}+\neq I }}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}r_{i}}{\sum \limits _{i}m_{i}}}.,}

Wenn sich eines oder mehrere der Teilchen bewegen, bewegt sich im Allgemeinen auch der Massenschwerpunkt des Systems (es sei denn, das System befindet sich in reiner Rotation). Wenn die Gesamtmasse der Teilchen m {\displaystyle m} ist und sich der Massenschwerpunkt mit der Geschwindigkeit vcm bewegt, beträgt der Impuls des Systems:

p = m v cm . {\displaystyle p=mv_{\text{cm}}.}

Dies ist bekannt als Eulers erstes Gesetz.

Beziehung zur Kraft

Wenn die auf ein Teilchen ausgeübte Nettokraft F konstant ist und für ein Zeitintervall Δt angewendet wird, ändert sich der Impuls des Teilchens um einen Betrag

Δ p = F Δ t., {\displaystyle \Delta p=F\Delta t\,.}

In differentieller Form ist dies Newtons zweites Gesetz; Die Änderungsrate des Impulses eines Teilchens ist gleich der momentanen Kraft F, die darauf wirkt,

F = d p d t. {\displaystyle F={\frac {dp}{dt}}.}

Wenn sich die von einem Teilchen erlebte Nettokraft in Abhängigkeit von der Zeit F(t) ändert, ist die Änderung des Impulses (oder Impulses J ) zwischen den Zeiten t1 und t2

Δ p = J = ∫ t 1 t 2 F ( t ) d t. {\displaystyle \Delta p=J=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F(t)\,dt\,.,}

Impuls wird in den abgeleiteten Einheiten der Newtonsekunde (1 N⋅s = 1 kg⋅m/s) oder Dyne Sekunde (1 dyne⋅s = 1 g⋅cm/s)

gemessen Unter der Annahme konstanter Masse m ist es äquivalent zu schreiben

F = d ( mv ) d t = m d v d t = m a, {\displaystyle F={\frac {d(mv)}{dt}}=m{\frac {dv}{dt}}=ma,}

daher ist die Nettokraft gleich der Masse des Teilchens mal seine Beschleunigung.

Beispiel: Ein Modellflugzeug der Masse 1 kg beschleunigt von der Ruhe auf eine Geschwindigkeit von 6 m/s nach Norden in 2 s. Die Nettokraft, die benötigt wird,um diese Beschleunigung zu erzeugen, beträgt 3 Newton nach Norden., Die Änderung des Impulses ist 6 kg⋅m/s durch Norden. Die Änderungsrate des Impulses beträgt 3 (kg⋅m/s)/s, was numerisch 3 Newton entspricht.

In einem geschlossenen System (das keine Materie mit seiner Umgebung austauscht und nicht von äußeren Kräften beeinflusst wird) ist der Gesamtimpuls konstant. Diese Tatsache, bekannt als das Gesetz der Impulserhaltung, wird durch Newtons Bewegungsgesetze impliziert. Nehmen wir zum Beispiel an, dass zwei Teilchen interagieren. Aufgrund des dritten Gesetzes sind die Kräfte zwischen ihnen gleich und entgegengesetzt., Wenn die Teilchen 1 und 2 nummeriert sind, besagt das zweite Gesetz, dass F1 = dp1/dt und F2 = dp2 / dt. Daher,

d p 1 d t = − d p 2 d t {\displaystyle {\frac {dp_{1}}{dt}}=-{\frac {dp_{2}}{dt}},}

mit dem negativen Zeichen, dass die Kräfte zu widersetzen. Was dasselbe ist,

d d t ( p 1 + p 2 ) = 0. {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(p_{1}+p_{2}\right)=0.}

Wenn die Geschwindigkeiten der Teilchen vor der Wechselwirkung u1 und u2 sind und danach v1 und v2 sind, dann

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.,}

Dieses Gesetz gilt, egal wie kompliziert die Kraft zwischen Teilchen ist. Wenn mehrere Teilchen vorhanden sind, summiert sich der zwischen jedem Teilchenpaar ausgetauschte Impuls auf Null, sodass die Gesamtänderung des Impulses Null ist. Dieses Naturschutzgesetz gilt für alle Wechselwirkungen, einschließlich Kollisionen und Trennungen, die durch Explosionskräfte verursacht werden. Es kann auch auf Situationen verallgemeinert werden, in denen Newtons Gesetze nicht gelten, zum Beispiel in der Relativitätstheorie und in der Elektrodynamik.,

Abhängigkeit vom Referenzrahmen

Der Impuls ist eine messbare Größe, und die Messung hängt von der Bewegung des Beobachters ab., Zum Beispiel: Wenn ein Apfel in einem Glasaufzug sitzt, der absteigt, sieht ein externer Beobachter, der in den Aufzug schaut, den Apfel in Bewegung, so dass der Apfel zu diesem Beobachter einen Impuls ungleich Null hat. Für jemanden im Aufzug bewegt sich der Apfel nicht, also hat er keinen Impuls. Die beiden Beobachter haben jeweils einen Bezugsrahmen, in dem sie Bewegungen beobachten, und wenn der Aufzug stetig absteigt, sehen sie ein Verhalten, das mit denselben physikalischen Gesetzen übereinstimmt.

Angenommen, ein Teilchen hat Position x in einem stationären Bezugsrahmen., Aus der Sicht eines anderen Bezugsrahmens, der sich mit einer einheitlichen Geschwindigkeit u bewegt, ändert sich die Position (dargestellt durch eine grundierte Koordinate) mit der Zeit als

x ‚ = x − u t. {\displaystyle x’=x-ut\,.}

Dies wird als galiläische Transformation bezeichnet. Wenn sich das Teilchen im ersten Bezugsrahmen mit der Geschwindigkeit dx/dt = v bewegt, bewegt es sich im zweiten mit der Geschwindigkeit

v ‚= d x ‚ d t = v − u. {\displaystyle v’={\frac {dx‘}{dt}}=v-u\,.}

Da u nicht ändert, sind die Beschleunigungen gleich sind:

a ‚ = d v d t = a . {\displaystyle a’={\frac {dv‘}{dt}}=a\,.,}

Somit bleibt der Impuls in beiden Referenzrahmen erhalten. Solange die Kraft in beiden Rahmen dieselbe Form hat, ist Newtons zweites Gesetz unverändert. Kräfte wie die Newtonsche Schwerkraft, die nur vom skalaren Abstand zwischen Objekten abhängen, erfüllen dieses Kriterium. Diese Art von Referenzrahmen wird Newtonsche Relativitätstheorie oder Galiläische Invarianz genannt.

Eine Änderung des Bezugsrahmens, kann, oft, vereinfachen Berechnungen der Bewegung. Beispielsweise kann bei einer Kollision zweier Teilchen ein Referenzrahmen gewählt werden, wobei ein Teilchen in Ruhe beginnt., Ein anderer, häufig verwendeter Referenzrahmen ist der Massenmittelpunkt-einer, der sich mit dem Massenmittelpunkt bewegt. In diesem Rahmen ist der Gesamtimpuls Null.

Anwendung auf Kollisionen

Allein reicht das Gesetz der Impulserhaltung nicht aus, um die Bewegung von Partikeln nach einer Kollision zu bestimmen. Eine weitere Eigenschaft der Bewegung, kinetische Energie, muss bekannt sein. Dies ist nicht unbedingt konserviert. Wenn es konserviert wird, wird die Kollision als elastische Kollision bezeichnet; Wenn nicht, ist es eine unelastische Kollision.,

Elastische Kollisionen

Eine elastische Kollision ist eine, bei der keine kinetische Energie in der Kollision absorbiert wird. Perfekt elastische „Kollisionen“ können auftreten, wenn sich die Objekte nicht berühren, wie zum Beispiel bei atomarer oder nuklearer Streuung, wo die elektrische Abstoßung sie auseinander hält., Ein Schleudermanöver eines Satelliten um einen Planeten kann auch als perfekt elastische Kollision angesehen werden. Eine Kollision zwischen zwei Poolbällen ist aufgrund ihrer hohen Steifigkeit ein gutes Beispiel für eine fast vollständig elastische Kollision, aber wenn Körper in Kontakt kommen, gibt es immer eine gewisse Ableitung.

Eine frontale elastische Kollision zwischen zwei Körpern kann durch Geschwindigkeiten in einer Dimension entlang einer Linie dargestellt werden, die durch die Körper verläuft., Wenn die Geschwindigkeiten sind u1 und u2 vor der Kollision und die v1 und v2 nach der Gleichungen auszudrücken, die Erhaltung von Impuls und die kinetische Energie sind:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 1 2 m 1 u 1 2 + 1 2 m 2 u 2 2 = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 . {\displaystyle {\begin{1}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\\{\tfrac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}&={\tfrac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\,.\end{aligned}}}

Eine Änderung des Referenzrahmens kann die Analyse einer Kollision vereinfachen., Angenommen, es gibt zwei Körper gleicher Masse m, einen stationären und einen, der sich dem anderen mit einer Geschwindigkeit v nähert (wie in der Abbildung). Der Schwerpunkt bewegt sich mit der Geschwindigkeit v/2 und beide Körper bewegen sich mit der Geschwindigkeit v/2 darauf zu. Aufgrund der Symmetrie müssen sich beide nach der Kollision mit der gleichen Geschwindigkeit vom Massenmittelpunkt wegbewegen. Addieren wir die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts zu beiden, stellen wir fest, dass der Körper, der sich bewegte, jetzt gestoppt wird und der andere sich mit Geschwindigkeit v. Die Körper haben ihre Geschwindigkeiten ausgetauscht., Unabhängig von den Geschwindigkeiten der Körper führt uns ein Wechsel zum Massenmittelpunkt zum gleichen Schluss. Daher die endgültige Geschwindigkeiten sind gegeben durch

v 1 = u 2 v 2 = u 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}&=u_{2}\\v_{2}&=u_{1}\,.,\end{m}}}

Wenn die Anfangsgeschwindigkeiten bekannt sind, sind die Endgeschwindigkeiten im Allgemeinen gegeben durch

v 1 = ( m 1 − m 2 m 1 + m 2 ) u 1 + ( 2 m 2 m 1 + m 2 ) u 2 {\displaystyle v_{1}=\left({\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)u_{1}+\left({\frac {2m_{2}} {m_{1}+m_{2}}\rechts)u_{2}\,} v 2 = ( m 2 − m 1 m 1 + m 2 ) u 2 + ( 2 m 1 m 1 + m 2 ) u 1 . {\displaystyle v_{2}=\left({\frac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{2}+\left({\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}\,.,}

Wenn ein Körper eine viel größere Masse als der andere hat, wird seine Geschwindigkeit durch eine Kollision wenig beeinflusst, während der andere Körper eine große Veränderung erfährt.

Unelastische Kollisionen

Bei einer unelastischen Kollision wird ein Teil der kinetischen Energie der kollidierenden Körper in andere Energieformen (wie Wärme oder Schall) umgewandelt., Beispiele hierfür sind Verkehrskollisionen, bei denen der Effekt des Verlusts kinetischer Energie in der Beschädigung der Fahrzeuge zu sehen ist; Elektronen, die einen Teil ihrer Energie an Atome verlieren (wie im Franck–Hertz-Experiment); und Teilchenbeschleuniger, bei denen die kinetische Energie in Form neuer Teilchen in Masse umgewandelt wird.

Bei einer vollkommen unelastischen Kollision (z. B. wenn ein Fehler auf eine Windschutzscheibe trifft) haben beide Körper danach die gleiche Bewegung. Eine frontale unelastische Kollision zwischen zwei Körpern kann durch Geschwindigkeiten in einer Dimension entlang einer Linie dargestellt werden, die durch die Körper verläuft., Wenn die Geschwindigkeiten vor der Kollision u1 und u2 sind, werden bei einer vollkommen unelastischen Kollision beide Körper nach der Kollision mit der Geschwindigkeit v reisen. Die Gleichung auszudrücken Impulserhaltung ist:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = ( m 1 + m 2 ) v . {\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\,.\end{aligned}}}

Wenn ein Körper zunächst bewegungslos ist (z., u 2 = 0 {\displaystyle u_{2}=0} ) die Gleichung für die Impulserhaltung ist

m 1 u 1 = ( m 1 + m 2 ) v , {\displaystyle m_{1}u_{1}=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\,,}

also

v = m 1 m 1 + m 2 u 1 . {\displaystyle v={\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1}\,.}

Wenn sich der Bezugsrahmen in einer anderen Situation mit der Endgeschwindigkeit so bewegt, dass v = 0 {\displaystyle v=0}, werden die Objekte durch eine vollkommen unelastische Kollision zur Ruhe gebracht und 100% der kinetischen Energie werden in andere Energieformen umgewandelt., In diesem Fall wären die Anfangsgeschwindigkeiten der Körper ungleich Null, oder die Körper müssten massenlos sein.

Ein Maß für die Unelastizität der Kollision ist der Restitutionskoeffizient CR, definiert als das Verhältnis der relativen Trenngeschwindigkeit zur relativen Annäherungsgeschwindigkeit. Bei der Anwendung dieser Maßnahme auf eine Kugel, die von einer festen Oberfläche aufprallt, kann diese leicht mit der folgenden Formel gemessen werden:

Cr = Sprunghöhe Fallhöhe . {\displaystyle C_{\text{R}}={\sqrt {\frac {\text{Sprunghöhe}}{\text{Fallhöhe}}}\,.,}

Die Impuls – und Energiegleichungen gelten auch für die Bewegungen von Objekten, die zusammen beginnen und sich dann auseinander bewegen. Zum Beispiel ist eine Explosion das Ergebnis einer Kettenreaktion, die potentielle Energie, die in chemischer, mechanischer oder nuklearer Form gespeichert ist, in kinetische Energie, akustische Energie und elektromagnetische Strahlung umwandelt. Raketen nutzen auch die Impulserhaltung: Das Treibmittel wird nach außen geschoben, gewinnt an Dynamik und der Rakete wird ein gleicher und entgegengesetzter Impuls verliehen.,

Mehrere Dimensionen

Echte Bewegung hat sowohl Richtung als auch Geschwindigkeit und muss durch einen Vektor dargestellt werden. In einem Koordinatensystem mit x -, y -, z-Achsen hat die Geschwindigkeit die Komponenten vx in x-Richtung, vy in y-Richtung, vz in z-Richtung., Der Vektor ist vertreten durch einen Fettdruck-symbols:

v = ( v x , v y , v z ) . {\displaystyle \vec {v} =\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right).}

In ähnlicher Weise ist der Impuls eine Vektorgröße und wird durch ein Fettdrucksymbol dargestellt:

p = ( p x , p y , p z ) . {\displaystyle \vec {p} =\left(p_{x},p_{y},p_{z}\right).}

Die Gleichungen in den vorherigen Abschnitten arbeiten in Vektorform, wenn die Skalare p und v durch die Vektoren p und v ersetzt werden., Zum Beispiel,

p = m v {\displaystyle \vec {p} =m\vec {v} }

stellt drei Gleichungen:

p x = m v x p y = m v y p z = m v z . {\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}&=mv_{x}\\p_{y}&=mv_{y}\\p_{z}&=mv_{z}.\end{aligned}}}

Die kinetischen Energiegleichungen sind Ausnahmen von der obigen Ersetzungsregel. Die Gleichungen sind immer noch eindimensional, aber jeder Skalar repräsentiert die Größe des Vektors, zum Beispiel

v 2 = v x 2 + v y 2 + v z 2 . {\displaystyle v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\,.,}

Jede Vektorgleichung repräsentiert drei skalare Gleichungen. Oft können Koordinaten so gewählt werden, dass nur zwei Komponenten benötigt werden, wie in der Abbildung. Jede Komponente kann separat erhalten und die Ergebnisse kombiniert werden, um ein Vektorergebnis zu erzeugen.

Eine einfache Konstruktion, die den Massenmittelpunkt einbezieht, kann verwendet werden, um zu zeigen, dass, wenn eine stationäre elastische Kugel von einer sich bewegenden Kugel getroffen wird, die beiden nach der Kollision im rechten Winkel abbiegen (wie in der Abbildung).,

Objekte mit variabler Masse

Das Konzept des Impulses spielt eine grundlegende Rolle bei der Erklärung des Verhaltens von Objekten mit variabler Masse, wie z. B. einer Rakete, die Kraftstoff ausstößt, oder eines Sterns, der Gas ansammelt. Bei der Analyse eines solchen Objekts behandelt man die Masse des Objekts als eine Funktion, die mit der Zeit variiert: m(t). Die Dynamik des Objekts zum Zeitpunkt t ist daher p(t) = m(t)v(t)., Man könnte dann versuchen, Newtons zweites Bewegungsgesetz aufzurufen, indem man sagt, dass die äußere Kraft F auf das Objekt mit seinem Impuls p(t) um F = dp/dt zusammenhängt, aber dies ist falsch, ebenso wie der verwandte Ausdruck, der durch Anwenden der Produktregel auf d(mv)/dt gefunden wird:

F = m ( t ) d v d + v ( t ) d m d t. {\displaystyle F=m(t){\frac {dv}{dt}}+v(t){\frac {dm}{dt}}.} (falsch)

Diese Gleichung beschreibt die Bewegung von Objekten mit variabler Masse nicht korrekt., Die richtige Gleichung ist

F = m ( t ) d v d t − u-d m d t , {\displaystyle F=m(t){\frac {dv}{dt}}-u{\frac {dm}{dt}},}

wo u die Geschwindigkeit des ausgeworfen/aufgesammelt wird Masse, wie in der Objekt ‚ s rest frame. Dies unterscheidet sich von v, der Geschwindigkeit des Objekts selbst, wie sie in einem Trägheitsrahmen zu sehen ist.

Diese Gleichung wird abgeleitet, indem sowohl der Impuls des Objekts als auch der Impuls der ausgeworfenen/akkretierten Masse (dm) im Auge behalten wird. Wenn sie zusammen betrachtet werden, bilden das Objekt und die Masse (dm) ein geschlossenes System, in dem der Gesamtimpuls erhalten bleibt.,

P ( T + d t ) = ( m − d m ) ( v + D v ) + d m ( V − u ) = m V + m D V − U d m = P ( t ) + m D v − U D m {\displaystyle P(T+dt)=(m-dm)(v+dv)+dm(V-U)=mv+mdv-udm=P (t) + mdv-udm}