Momentum egy vektormennyiség: mind nagysága, mind iránya van. Mivel a Momentumnak van iránya, így a tárgyak ütközésük utáni mozgásának irányát és sebességét is meg lehet jósolni. Az alábbiakban a lendület alapvető tulajdonságait egy dimenzióban ismertetjük. A vektoregyenletek majdnem azonosak a skaláris egyenletekkel (lásd több dimenzió).
egyetlen részecske
egy részecske lendületét hagyományosan a P betű képviseli., Két mennyiség terméke, a részecske tömege (m betűvel ábrázolva) és sebessége (v):
p = m v . {\displaystyle p = mv.}
a lendület egysége a tömeg és a sebesség egységeinek terméke. SI egységekben, ha a tömeg kilogrammban van, a sebesség méter / másodperc, akkor a lendület kilogramm méter/másodperc (kg⋅m / s). Cgs egységekben, ha a tömeg grammban van, a sebesség centiméter / másodpercben, akkor a lendület gramm centiméter / másodperc (g⋅cm / s).
mivel vektor, a lendület nagysága és iránya van., Például egy 1 kg-os modell repülő, utazás észak felé az 1 m/s egyenesen, vízszintes repülés, van egy momentum, 1 kg⋅m/s északra mért hivatkozással, hogy a földre.
sok részecske
a részecskerendszer lendülete a Momentum vektorösszege. Ha két részecske tömege M1 és m2, valamint V1 és v2 sebesség, akkor a teljes lendület
p = p 1 + p 2 = m 1 v 1 + m 2 V 2 . {\displaystyle {\begin {corined}p&=p_{1}+p_{2}\\&=M_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\,.,\end{igazított}}}
a momenta több mint két részecske lehet hozzá általánosabban a következő:
p = ∑ I m i v i . ez az, amit az emberek nem tudnak.}
a részecskék rendszerének tömegközéppontja van, egy pont, amelyet pozícióik súlyozott összege határoz meg:
R cm = m 1 r 1 + m 2 r 2 + ⋯ m 1 + m 2 + ⋯ = ∑ I m i r i ∑ i m i . {\displaystyle r_ {\text {cm}}} = {\frac {M_{1}R_{1} + m_{2}R_{2} + \ cdots }{M_{1} + m_{2} + \ cdots }}} = {\FRAC {\sum \ limits _{I}m_{i} R_ {\I}}} {\sum \ limits _{I}}}}}} {\sum \ limits _ {I}}}}}}}.,}
Ha egy vagy több részecske mozog, a rendszer tömegközéppontja általában szintén mozog (kivéve, ha a rendszer tiszta forgásban van körülötte). Ha a részecskék teljes tömege m {\displaystyle m}, a tömegközéppont pedig VCM sebességgel mozog, a rendszer lendülete:
p = m v cm . {\displaystyle p = mv_ {\text{cm}}.}
ezt Euler első törvényének nevezik.
erőhöz viszonyított
Ha a részecskére alkalmazott F nettó erő állandó, és Δt időintervallumra alkalmazzák, a részecske lendülete
Δ p = F Δ t összeggel változik ., {\displaystyle \ Delta P = F \ Delta t\,.}
differenciált formában ez Newton második törvénye; a részecske lendület változásának sebessége megegyezik a rá ható F pillanatnyi erővel,
F = d P D t . ez az első lépés, amely a következő lépés.}
Ha a részecske által tapasztalt nettó erő az idő függvényében változik, F (t), akkor a T1 és T2 közötti lendület (vagy impulzus J ) változása
Δ P = J = ∫ t 1 T 2 F ( t) D t . {\displaystyle \ Delta P = J=\int _ {t_{1}}^{t_{2}}f(t)\,dt\,.,}
az impulzust a newton második (1 n⋅s = 1 kg⋅m/s) vagy a dyne második (1 dyne⋅s = 1 g⋅cm/s)
feltételezve, hogy állandó m tömeg m, ez egyenértékű a
F = d ( m v ) D t = m d v d t = m a, {\displaystyle F={\frac {d(mv)}{dt}}}=m{\frac {dv} {dt}}=ma,}
tehát a nettó erő megegyezik a részecske tömegével a gyorsulásával.
példa: az 1 kg tömegű modell repülőgép a nyugalomból 6 m/s sebességre gyorsul észak felé 2 s-ban. a gyorsulás előállításához szükséges nettó erő 3 Newton észak felé., A lendület változása 6 kg⋅m/s észak felé. A lendület változásának sebessége 3 (kg⋅m/s)/s észak felé, ami számszerűen egyenértékű 3 Newtonnal.
Conservation
zárt rendszerben (amely nem cserél semmilyen anyagot a környezetével, és nem külső erők cselekszenek) a teljes lendület állandó. Ezt a tényt, amelyet a lendület megőrzésének törvényének neveznek, Newton mozgási törvényei jelentik. Tegyük fel például, hogy két részecske kölcsönhatásba lép. A harmadik törvény miatt a köztük lévő erők egyenlőek és ellentétesek., Ha a részecskék száma 1 és 2, a második törvény kimondja, hogy F1 = dp1/dt és F2 = dp2/dt. Ezért
d P 1 D t = – d P 2 D t, {\displaystyle {\frac {dp_{1}}{dt}}} = – {\frac {dp_{2}} {dt}}},}
a negatív jel azt jelzi, hogy az erők ellenzik. Ekvivalensen,
d D t ( p 1 + p 2) = 0. {\displaystyle {\frac {d}{dt}}} \ left (p_{1} + p_{2}\right) = 0.}
Ha a részecskék sebessége u1 és u2 a kölcsönhatás előtt, majd utána V1 és v2, akkor
m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 V 2 . {\displaystyle m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=M_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.,}
Ez a törvény nem számít, mennyire bonyolult az erő a részecskék között. Hasonlóképpen, ha több részecske van, az egyes részecskepárok között kicserélt lendület nullára növekszik, így a lendület teljes változása nulla. Ez a védelmi törvény minden kölcsönhatásra vonatkozik, beleértve a robbanásveszélyes erők által okozott ütközéseket és elválasztásokat is. Általánosítható olyan helyzetekre is, ahol Newton törvényei nem állnak fenn, például a relativitáselméletben és az elektrodinamikában.,
Newton alma Einstein liftjében. Az a személy referenciakeret, az apple nem nulla sebesség és a lendület. A lift és a B személy referenciakereteiben nulla a sebessége és a lendülete.
A lendület mérhető mennyiség, a mérés a megfigyelő mozgásától függ., Például: ha egy alma egy csökkenő üvegliftben ül, egy külső megfigyelő, aki a liftbe néz, látja, hogy az alma mozog, így ahhoz a megfigyelőhöz az alma nem nulla lendülettel rendelkezik. Valaki a liftben, az alma nem mozog, így nulla lendülettel rendelkezik. A két megfigyelő mindegyikének van egy referenciakerete, amelyben megfigyelik a mozgásokat, és ha a lift folyamatosan csökken, akkor olyan viselkedést fognak látni, amely megfelel ugyanazon fizikai törvényeknek.
tegyük fel, hogy egy részecske x pozícióval rendelkezik egy álló referenciakeretben., Egy másik referenciakeret szempontjából, egyenletes u sebességgel mozogva, a pozíció (amelyet egy alapozott koordináta képvisel) idővel változik, mint
x ‘ = x − u t . {\displaystyle x ‘ =x-ut\,.}
ezt Galileai átalakulásnak nevezik. Ha a részecske DX/dt = v sebességgel mozog az első referenciakeretben, a másodikban
v ‘= d x ‘ d t = v − u sebességgel mozog . {\displaystyle v’={\frac {dx’}{dt}}=v-u\,.}
mivel u nem változik, a gyorsulások ugyanazok:
a ‘= d V ‘ d t = a . a’={\frac {dv’}{dt}}} = a\,.,}
így a lendület mindkét referenciakeretben megmarad. Sőt, mindaddig, amíg az erő azonos formában van, mindkét keretben Newton második törvénye változatlan. Az olyan erők, mint a newtoni gravitáció, amelyek csak az objektumok közötti skaláris távolságtól függenek, megfelelnek ennek a kritériumnak. Ezt a referenciakeretet newtoni relativitásnak vagy Galileai invarianciának nevezik.
a referencia keret megváltoztatása gyakran egyszerűsítheti a mozgás számításait. Például két részecske ütközésekor referenciakeretet lehet választani, ahol egy részecske nyugalomban kezdődik., Egy másik, általánosan használt referenciakeret a tömegkeret középpontja-az egyik, amely a tömeg középpontjával mozog. Ebben a keretben a teljes lendület nulla.
alkalmazás az ütközésekre
önmagában a lendület megőrzésének törvénye nem elegendő a részecskék mozgásának meghatározásához ütközés után. A mozgás másik tulajdonságát, a kinetikus energiát ismerni kell. Ez nem feltétlenül konzervált. Ha megmarad, az ütközést rugalmas ütközésnek nevezik; ha nem, akkor rugalmatlan ütközés.,
Rugalmas ütközések
Rugalmas ütközés egyenlő tömegek
Rugalmas ütközés egyenlőtlen tömegek
Egy rugalmas ütközés, amelyben nem kinetikus energiát elnyeli az ütközés. A tökéletesen rugalmas “ütközések” akkor fordulhatnak elő, ha a tárgyak nem érintik egymást, például atomi vagy nukleáris szórásnál, ahol az elektromos repulzió egymástól távol tartja őket., A bolygó körüli műhold csúzli manővere tökéletesen rugalmas ütközésnek is tekinthető. A két medence golyó közötti ütközés jó példa egy szinte teljesen rugalmas ütközésre, nagy merevségük miatt, de amikor a testek érintkeznek, mindig van némi disszipáció.
a fej-on rugalmas ütközés két test között egy dimenzióban, a testeken áthaladó vonal mentén sebességek reprezentálhatók., Ha a sebesség U1 és u2 az ütközés előtt, és V1 és v2 után, akkor a lendület és a kinetikus energia megőrzését kifejező egyenletek a következők:
m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 V 2 1 2 m 1 u 1 2 + 1 2 m 2 u 2 2 = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 . {\displaystyle {\begin {igazított}M_{1}u_{1} + m_{2}u_{2}& = M_{1}v_{1} + m_{2}v_{2} \ {\tfrac {1}{2}}M_{1}u_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2} & = {\tfrac {1}{2} M_{1}v_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\,.\ end{igazított}}}
a referencia keret módosítása egyszerűsítheti az ütközés elemzését., Tegyük fel például, hogy két egyenlő m tömegű test van, az egyik helyhez kötött, a másik pedig v sebességgel közeledik (mint az ábrán). A tömegközéppont V/2 sebességgel mozog, mindkét test pedig V/2 sebességgel halad felé. A szimmetria miatt az ütközés után mindkettőnek ugyanolyan sebességgel kell elmozdulnia a tömeg középpontjától. Ha a tömegközéppont sebességét hozzáadjuk mindkettőhöz, azt találjuk,hogy a mozgó test most megállt, a másik pedig az V sebességgel mozog., A testek sebességétől függetlenül a tömegkeret középpontjára való váltás ugyanazt a következtetést vonja le. Ezért a végső sebességet
v 1 = u 2 v 2 = u 1 Adja . {\displaystyle {\begin {corined}v_{1}&=u_{2}\v_{2}&=u_{1}\,.,\end{igazított}}}
általában, ha a kezdeti sebesség ismert, a végső sebességek által megadott
v 1 = ( m 1 − m 2 m 1 + m 2 ) u 1 + ( 2 m 2 m 1 + m 2 ) u 2 {\displaystyle v_{1}=\Bal({\frac {M_{1}-m_{2}}{M_{1}+m_{2}}+M_{2}}}}}}\jobb)u_ {1}+\Bal ({\frac{2m_{2}} {M_{1} + M_{2}}}\jobb)u_ {2}\,} v 2 = ( m 2 − m 1 m 1 + m 2 ) U 2 + (2 m 1 m 1 + m 2 ) u 1 . {\displaystyle v_{2} = \ left ({\frac {m_{2} – M_{1}}{M_{1} + m_{2}}}} \ right) u_{2} + \ left ({\frac {2m_{1}}{M_{1} + m_{2}}}}}\right) u_{1}\,.,}
Ha az egyik testnek sokkal nagyobb tömege van, mint a másiknak, annak sebességét kevéssé befolyásolja az ütközés, míg a másik test nagy változást tapasztal.
Rugalmatlan ütközések
a tökéletesen rugalmatlan ütközés között egyenlő tömegek
egy rugalmatlan ütközés, néhány kinetikus energia az ütköző testek alakul át más energiaforrások (például a hő-vagy hang -)., Ilyenek például a forgalmi ütközések, amelyekben a kinetikus energia elvesztésének hatása látható a járművek károsodásában; az elektronok energiájuk egy részét elveszítik az atomokra (mint a Franck–Hertz kísérletben); és részecskegyorsítók, amelyekben a kinetikus energiát új részecskék formájában tömeggé alakítják.
tökéletesen rugalmatlan ütközés esetén (például egy szélvédőt eltaláló hiba) mindkét test ugyanazt a mozgást követi. A két test közötti fej-rugalmatlan ütközést egy dimenzióban, a testeken áthaladó vonal mentén sebességek ábrázolhatják., Ha a sebesség u1 és u2 az ütközés előtt, akkor egy tökéletesen rugalmatlan ütközésnél mindkét test v sebességgel halad az ütközés után. A lendület megőrzését kifejező egyenlet:
m 1 u 1 + m 2 u 2 = (m 1 + m 2 ) v . {\displaystyle {\begin {corined}M_{1}u_{1} + m_{2}u_{2}&=\left(M_{1}+m_{2}\right)v\,.\ end{igazított}}}
Ha egy test mozdulatlan, hogy kezdődik (pl., u 2 = 0 {\displaystyle u_{2}=0} ), a lendület megőrzésének egyenlete
m 1 u 1 = ( m 1 + m 2 ) V, {\displaystyle M_{1}u_{1} = \ Bal (M_{1} + m_{2}\jobb) v\,,}
so
v = m 1 m 1 + m 2 u 1 . ez a szócikk részben vagy egészben a következő szöveggel egészül ki:}
más helyzetben, ha a referenciakeret a végsebességnél úgy mozog , hogy v = 0 {\displaystyle V=0}, az objektumokat egy tökéletesen rugalmatlan ütközés hozza nyugalomba, és a kinetikus energia 100% – át más energiaformákká alakítják át., Ebben az esetben a testek kezdeti sebessége nem nulla, vagy a testeknek tömegtelennek kell lenniük.
az ütközés inelaszticitásának egyik mértéke a CR restitúciós együttható, amelyet a szétválasztás relatív sebességének a megközelítés relatív sebességéhez viszonyított arányaként határoznak meg. Ha ezt az intézkedést egy szilárd felületről pattogó labdára alkalmazzuk, ez könnyen mérhető a következő képlet segítségével:
C R = ugrálmagasság cseppmagasság . {\displaystyle C_ {\text {r}}} = {\sqrt {\FRAC {\text {bounce height}}} {\text{drop height}}}}}}\,.,}
a lendület és az energiaegyenletek is vonatkoznak a tárgyak mozgására, amelyek együtt kezdődnek, majd egymástól távolodnak. Például egy robbanás egy láncreakció eredménye, amely a kémiai, mechanikai vagy nukleáris formában tárolt potenciális energiát kinetikus energiává, akusztikus energiává és elektromágneses sugárzássá alakítja. A rakéták a lendület megőrzését is használják: a hajtóanyag kifelé tolódik, lendületet kap, és egyenlő és ellentétes lendületet ad a rakétának.,
több dimenzió
kétdimenziós rugalmas ütközés. Nincs merőleges mozgás a képre, így csak két komponensre van szükség a sebesség és a Momentum megjelenítéséhez. A két kék vektor az ütközés utáni sebességeket reprezentálja, és a kezdeti (piros) sebesség eléréséhez vektorokat ad hozzá.
a valódi mozgásnak mind iránya, mind sebessége van,és vektornak kell lennie. Az X, y, z tengelyekkel rendelkező koordináta-rendszerben a sebességnek VX komponensei vannak az x irányban, vy az y irányban, vz A z irányban., A vektort egy boldface szimbólum képviseli:
v = (v x , V y , v z ) . {\displaystyle \ mathbf {v} = \ bal (v_{x}, v_{y}, V_{z}\jobb).}
Hasonlóképpen, a lendület egy vektormennyiség, amelyet egy boldface szimbólum képvisel:
p = (p x , p y , p z ) . {\displaystyle \ mathbf {p} = \ bal (p_{x}, p_{y}, p_{z}\jobb).}
az előző szakaszok egyenletei vektoros formában működnek, ha a P és v skálákat P és v v Vektorok váltják fel., Például:
p = m v {\displaystyle \ mathbf {p} = m \ mathbf {v} }}
három egyenletet jelent:
p x = m v X P y = m v y P z = m v z . {\displaystyle {\begin {corined}p_ {x} &=mv_{x}\p_{y}&=mv_{y}\p_{z}&=mv_{z}.\ end{igazított}}}
a kinetikus energia egyenletek kivételek a fenti helyettesítési szabály alól. Az egyenletek még mindig egydimenziósak, de minden skalár a vektor nagyságát képviseli, például
v 2 = v x 2 + v y 2 + v z 2 . {\displaystyle v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}\,.,}
minden vektor egyenlet három skaláris egyenletet jelent. Gyakran koordinátákat lehet választani úgy, hogy csak két komponensre van szükség, mint az ábrán. Az egyes komponensek külön-külön kaphatók, az eredmények pedig vektoros eredményt eredményeznek.
egyszerű építőipari bevonásával a tömegközéppont keret lehet használni, hogy azt mutatják, hogy ha egy helyhez kötött, rugalmas gömb sújtotta mozgó gömb, a két fogja fejét, derékszögben az ütközés után (mint az ábrán).,
változó tömegű objektumok
a lendület fogalma alapvető szerepet játszik a változó tömegű objektumok, például az üzemanyagot kilövő rakéta vagy a csillag felhalmozódó gáz viselkedésének magyarázatában. Egy ilyen objektum elemzésekor az objektum tömegét olyan függvényként kezeljük, amely idővel változik: m(t). Az objektum lendülete a t időpontban tehát p (t) = m(t) v(t)., Ezután megpróbálhatjuk hivatkozni Newton második mozgási törvényére, mondván, hogy az objektumon az F külső erő az F = dp/dt p(t) lendületéhez kapcsolódik, de ez helytelen, csakúgy, mint a termékszabály d(mv)/dt-re történő alkalmazásával talált kapcsolódó kifejezés:
F = m ( t ) D V D T + v ( t ) D M d t t . ez a szócikk részben vagy egészben a következő szöveggel egészül ki:} (helytelen)
Ez az egyenlet nem írja le helyesen a változó tömegű objektumok mozgását., A helyes egyenlet
F = m (t) D V d t − u d m t , {\displaystyle F=m(t) {\frac {dv}{dt}}}-u{\FRAC {dm} {dt}}}},}
ahol u a kilökődött/felhalmozódott tömeg sebessége az objektum pihenőkeretében látható módon. Ez különbözik a v-től, amely maga az objektum sebessége, amint egy inerciális keretben látható.
ezt az egyenletet úgy kapjuk meg, hogy nyomon követjük mind az objektum lendületét, mind a kilökődött/felhalmozódott tömeg (dm) lendületét. Ha együtt vesszük figyelembe, az objektum és a tömeg (DM) egy zárt rendszert alkot, amelyben a teljes lendület megmarad.,
P (t + d t) = (m-D m) (v + D v) + D m (v-u) = m v + m d v-u D M = P (t) + m D V-U D m {\displaystyle P (t + dt) = (m-dm) (V + dv) + dm(V-U) = MV + mdv-udm=p (t) + mdv-udm}