Mennyiség

Hangerő arány egy kúp, gömb, valamint henger az azonos körzetben heightEdit

A fenti képletek lehet használni, hogy azt mutatják, hogy a kötetek egy kúp, szféra, mind a henger az azonos körzetben magasság arány 1 : 2 : 3, a következőképpen.,

Hagyja, hogy a radius-r, valamint a magasság h (ami 2r a gömb), akkor a hangerőt a kúp

1 3 π r 2 h = 1 3 π r 2 ( 2 r ) = ( 2 3 π r-3 ) × 1 , {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi^{2}h={\frac {1}{3}}\pi^{2}\left(2r\jobbra)=\left({\frac {2}{3}}\pi^{3}\right)\times 1,}

a kötet a gömb

4 3 π r 3 = ( 2 3 π r-3 ) × 2 , {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi^{3}=\left({\frac {2}{3}}\pi^{3}\right)\times 2,}

míg a kötet a henger

π r 2 h = π r 2 ( 2 r ) = ( 2 3 π r-3 ) × 3-as., {\displaystyle \ pi r^{2}h= \ pi r^{2} (2R) = \bal ({\frac {2}{3}}}\pi r^{3} \ jobb) \ szor 3.}

a gömb és a henger térfogatának 2 : 3 arányának felfedezése Arkhimédésznek tulajdonítható.

Volume formula derivationsEdit

SphereEdit

egy gömb térfogata végtelen számú, DX vastagságú végtelen számú kör alakú lemez szerves része. A 0 középpontú és R sugarú gömb térfogatának kiszámítása a következő.

a kör alakú lemez felülete π r 2 {\displaystyle \ pi r^{2}} .,

a kör alakú lemezek sugara, úgy definiálva, hogy az x tengely merőlegesen vágjon át rajtuk,

y = r 2-x 2 {\displaystyle y={\sqrt {r^{2} − x^{2}}}}}}}

vagy

z = r 2-x 2 {\displaystyle z={\sqrt {r^{2} − x^{2}}}}}}}}}

ahol y vagy z lehet venni, hogy képviselje a lemez sugarát egy adott x értéken.

segítségével y, mint a lemez sugara, a kötet a gömb lehet kiszámítani, mint

∫ − r π Y 2 D x = ∫ − r π ( r 2 − x 2) D x . {\displaystyle \ int _ {- r}^{r} \ Pi y^{2}\, dx = \ int _ {- r}^{r} \ pi \ bal (r^{2} – x^{2}\jobb)\, dx.,}

most

∫ – r π r 2 D x – ∫ – r π x 2 D x = π ( r 3 + r 3 ) − π 3 ( r 3 + r 3 ) = 2 π r 3 − 2 π r 3 . {\displaystyle \ int _ {- r}^{r} \ pi r^{2}\, dx – \ int _{-r}^{r} \ pi x^{2}\, DX = \ pi \ bal (r^{3} + r^{3} \ jobb) – {\frac {\pi }{3}}}\bal(r^{3} + r^{3}\Jobb)=2\pi r^{3} – {\frac {2 \ pi r^{3}}{3}}.}

kombinálása hozamok V = 4 3 π r 3. {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}

Ez a képlet gyorsabban származtatható a gömb felületének képletével, amely 4 π r 2 {\displaystyle 4 \ pi r^{2}}., A gömb térfogata végtelen vékony gömbhéjakból áll, a gömb térfogata pedig egyenlő

∫ 0 r 4 π r 2 d r = 4 3 π r 3 . {\displaystyle \ int _ {0}^{r}4 \ pi r^{2}\, dr = {\frac {4}{3}} \ pi r^{3}.}

ConeEdit

a kúp egyfajta piramis alakú. A piramisok alapegyenlete, a bázisidőszak háromszorosa, a kúpokra is vonatkozik.

a kalkulus segítségével azonban a kúp térfogata végtelen számú végtelenül vékony, DX vastagságú körlemez integrálja., A H magasságú kúp térfogatának kiszámítása, amelynek alapja (0, 0, 0) középpontja r sugárral, a következő.

az egyes körlemezek sugara r, ha x = 0 és 0, ha x = h, és lineárisan változik—azaz

R h − x h között. {\displaystyle r{\frac {h-x}{h}}.}

a kör alakú lemez felülete ezután

π ( r h − x h ) 2 = π r 2 ( h − x ) 2 h 2 . {\displaystyle \ pi \ left (R {\frac {H-x}{h}}} \ jobb)^{2} = \ pi r^{2} {\frac {(h-x)^{2}}} {h^{2}}}}}}}}}.,}

A kötet a kúp lehet majd számítani, mint

∫ 0 h π r 2 ( h − x ) 2 h 2 d x,, {\displaystyle \int _{0}^{h}\pi^{2}{\frac {(h-x)^{2}}{h^{2}}}dx,}

, majd a extrakció után a állandók

π r 2 h 2 ∫ 0 h ( h − x ) 2 d x {\displaystyle {\frac {\pi^{2}}{h^{2}}}\int _{0}^{h}(h-x)^{2}dx}

Integráló ad

π r 2 h 2 ( h 3 3 ) = 1 3 π r 2 h . {\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{h^{2}}}}} \ left ({\frac {h^{3}}{3}}\jobb) = {\frac {1}{3}} \ pi r^{2}h.}

PolyhedronEdit