bár a matematikusok töltött több mint 2000 évvel átvágva a szerkezet az öt Platóni test — a tetraéder, kocka, octahedron, icosahedron, valamint dodekaéder — még mindig sok mindent nem tudunk róluk.
most a matematikusok triója megoldotta a dodekaéderrel kapcsolatos egyik legalapvetőbb kérdést.
tegyük fel, hogy egy platonikus szilárd anyag egyik sarkában állsz., Van valami egyenes út, amelyet végül visszatérhet a kiindulási pontjához anélkül, hogy áthaladna a többi sarkon? A négy négyzetből vagy egyenlő oldalú háromszögből — a kocka, a tetraéder, az oktaéder és az ikozaéder — felépített négy platonikus szilárd anyag esetében a matematikusok nemrégiben rájöttek, hogy a válasz nem. Bármely egyenes út, amely egy sarokból indul, vagy egy másik sarokba ütközik, vagy örökre szélbe kerül, anélkül, hogy hazatérne. De a dodekaéderrel, amely 12 pentagonból áll, a matematikusok nem tudták, mire számíthatnak.,
most Jayadev Athreya, David Aulicino és Patrick Hooper kimutatták, hogy a dodekaéderen végtelen számú ilyen út létezik. A kísérleti matematikában májusban megjelent tanulmányuk azt mutatja, hogy ezek az utak 31 természetes családra oszthatók.
a megoldáshoz modern technikákra, számítógépes algoritmusokra volt szükség., “Húsz évvel ezelőtt teljesen elérhetetlen volt; 10 évvel ezelőtt óriási erőfeszítést igényelne az összes szükséges szoftver megírására, így csak most minden tényező összejött” – írta Anton Zorich, a párizsi Jussieu Matematikai Intézet e-mailben.
a projekt 2016-ban kezdődött, amikor Athreya, a Washingtoni Egyetem, és Aulicino, a Brooklyn College, elkezdett játszani egy gyűjtemény kártya készlet kivágások, hogy hajtsa fel a plátói szilárd anyagok., Ahogy felépítették a különböző szilárd anyagokat, aulicino-nak eszébe jutott, hogy a lapos geometriával kapcsolatos legújabb kutatások teste éppen az, amire szükségük van a dodekaéder egyenes útjainak megértéséhez. “Szó szerint összeraktuk ezeket a dolgokat” – mondta Athreya. “Tehát ez volt a fajta tétlen feltárása megfelel a lehetőséget.”
Hooperrel együtt, a New York-i Városi Főiskolán, a kutatók rájöttek, hogyan osztályozzák az összes egyenes utat az egyik sarokból vissza önmagába, amelyek elkerülik a többi sarkot.
elemzésük “elegáns megoldás” – mondta Howard Masur, a Chicagói Egyetem., “Ez az egyik ilyen dolog, ahol habozás nélkül elmondhatom:” Istenem, bárcsak megtettem volna!””
rejtett szimmetriák
bár a matematikusok több mint egy évszázadon át spekuláltak a dodekaéder egyenes útjairól, az utóbbi években a téma iránti érdeklődés újjáéledt a “fordítási felületek” megértésének nyereségét követően.,”Ezek azok a felületek alakult ragasztással együtt párhuzamos oldalú a sokszög, amit hasznosnak bizonyult a tanult témák széles körét érintő egyenes út a formák, a sarkokban, a biliárd asztal pályákat, a kérdés az, hogy mikor egyetlen fény megvilágítja az egész tükrös terem.
mindezekben a problémákban az alapötlet az, hogy az alakját úgy tekerje le, hogy egyszerűbbé tegye a tanulmányozott utakat. Így érthető, egyenes utak a Plátói szilárd, lehet kezdeni a vágás elég nyitott széleit, hogy a szilárd laposak, alkotó, amit a matematikusok hívás nettó., A kocka egyik hálója például egy hat négyzetből készült T alak.
képzeljük el, hogy kilapítottuk a dodekaédert, és most egy kiválasztott irányba haladunk ezen a lapos alakzaton. Végül elérjük a háló szélét, ekkor az utunk egy másik ötszögre ugrik (amelyik a jelenlegi ötszöghez volt ragasztva, mielőtt megnyitnánk a dodekaédert). Amikor az út komló, ez is forog néhány többszöröse 36 fok.,
hogy elkerüljük ezt az ugrást és forgást, amikor a háló szélére érünk, ehelyett ragaszthatnánk a háló egy új, elforgatott példányát, és egyenesen bele folytathatnánk. Hozzáadtunk néhány redundanciát: most két különböző pentagonunk van, amelyek mindegyik Pentagont képviselik az eredeti dodekaéderen. Tehát bonyolultabbá tettük a világunkat — de az utunk egyszerűbbé vált. Folyamatosan hozzáadhatunk egy új hálót minden alkalommal, amikor világunk szélén túl kell terjeszkednünk.,
mire az utunk 10 hálón keresztül haladt, az eredeti hálónkat minden lehetséges 36 fokos többszörösén át forgattuk, és a következő háló, amelyet hozzáadunk, ugyanolyan tájolású lesz, mint amit elkezdtünk. Ez azt jelenti, hogy ez a 11. háló egy egyszerű váltással kapcsolódik az eredetihez-amit a matematikusok fordításnak neveznek. Ahelyett, hogy egy 11. hálóra ragasztanánk, egyszerűen ragaszthatnánk a 10. háló szélét az eredeti háló megfelelő párhuzamos széléhez., A forma már nem fog hazudni az asztalra, de a matematikusok úgy, mint még “emlékszik” a lapos geometriát az előző megtestesülés — így például utak tartják egyenesen ha voltak egyenesen a odaragasztva alakja. Miután elvégeztük a megfelelő párhuzamos élek összes lehetséges ragasztását, az úgynevezett fordítási felületet végzünk.
a kapott felület a dodekaéder nagyon redundáns ábrázolása, minden ötszög 10 példányával. És masszívan bonyolultabb: olyan formába ragad, mint egy 81 lyukú fánk., Ennek ellenére ez a bonyolult forma lehetővé tette a három kutató számára, hogy hozzáférjen a fordítási felületek gazdag elméletéhez.
ennek az óriási felületnek a kezelésére a matematikusok feltekerték ujjaikat — képletesen és szó szerint. Miután néhány hónapig dolgoztak a problémán, rájöttek, hogy a 81 lyukú fánkfelület nemcsak a dodekaéder, hanem az egyik leginkább tanulmányozott fordítási felület redundáns ábrázolását is képezi., Az úgynevezett kettős ötszög, úgy készül, hogy két Pentagont rögzít egy él mentén, majd párhuzamos oldalakat ragasztva, hogy két lyukú fánkot hozzon létre, gazdag szimmetria gyűjteményével.
Ez a forma Athreya karjára is tetoválva volt. “A kettős pentagon olyan dolog volt, amit már ismertem és szerettem” – mondta Athreya, aki egy évvel azelőtt kapta meg a tetoválást, hogy Aulicinóval a dodekaéderre gondoltak.
mivel a kettős pentagon és a dodekaéder geometriai unokatestvérek, az előbbi magas fokú szimmetriája tisztázhatja az utóbbi szerkezetét., Ez egy “csodálatos rejtett szimmetria” – mondta Alex Eskin, a Chicagói Egyetem (aki Athreya doktori tanácsadója volt körülbelül 15 évvel ezelőtt). “Az a tény, hogy a dodekaédernek van ez a rejtett szimmetriacsoportja, azt hiszem, nagyon figyelemre méltó.”