Laplacian matrix (Magyar)

A Lapplacian mátrix a diszkrét Laplace operátor egy adott esetének mátrix ábrázolásaként értelmezhető. Egy ilyen értelmezés lehetővé teszi például, hogy általánosítsuk a Laplacian mátrixot a végtelen számú csúcs és élű gráfok esetére, ami egy végtelen méretű Laplacian mátrixhoz vezet. d ϕ i d t = − k ∑ j A i j ( ϕ, i − ϕ j ) = − k ( ϕ én ∑ j A i j − ∑ j A i j ϕ j ) = − k ( ϕ én deg ⁡ ( v-i ) − ∑ j A i j ϕ j ) = − k ∑ j ( δ i j deg ⁡ ( v-i ) − i-j ) ϕ j = − k ∑ j ( ℓ i j ) ϕ j ., {\displaystyle {\begin{igazítva}{\frac {d\phi _{i}}{dt}}&=-k\vagyok _{j}A_{ij}\left(\phi _{i}-\phi _{j}\right)\\&=-k\left(\phi _{i}\vagyok _{j}A_{ij}-\vagyok _{j}A_{ij}\phi _{j}\right)\\&=-k\left(\phi _{i}\ \deg(v_{i})-\I _{j}A_{ij}\phi _{j}\right)\\&=-k\vagyok _{j}\left(\delta _{ij}\ \deg(v_{i})-A_{ij}\right)\phi _{j}\\&=-k\vagyok _{j}\left(\ell _{ij}\right)\phi _{j}.,\end{corined}}}

in matrix-vector notation,

d ϕ d t = − k ( D − A ) ϕ = − k l ϕ, {\displaystyle {\begin{corined} {\frac {d\phi }{dt}}&=-k(D-A) \phi \\&=-KL\Phi, \ end{igazított}}}}

ami

d ϕ d t + k l ϕ = 0. {\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}} + kL \ phi = 0.}

vegye figyelembe, hogy ez az egyenlet ugyanolyan formában van, mint a hőegyenlet, ahol a mátrix −L helyettesíti a Lapplacian operátort ∇ 2 {\textstyle \nabla ^{2}} ; tehát a “graph Lapplacian”., 0 = d ( ∑ i c i ( t ) v i ) d a t + k L ( ∑ i c i ( t), v ) = ∑ i = ∑ én ⇒ d c i ( t ) d t + k λ i c i ( t ) = 0 , {\displaystyle {\begin{igazítva}0=&{\frac {d\left(\sum _{i}c_{i}(t)\mathbf {v} _{i}\right)}{dt}}+kL\left(\sum _{i}c_{i}(t)\mathbf {v} _{i}\right)\\=&\összeg _{i}\maradt\\=&\összeg _{i}\maradt\\\működik a legjobban, &{\frac {dc_{i}(t)}{dt}}+k\lambda _{i}c_{i}(t)=0,\\\end{igazítva}}}

kinek a megoldás

c i ( t ) = c ( 0 ) e − k λ i t . {\displaystyle c_{i}(t)=c_{i}(0)e^{k\lambda _{i}t}.,} c i ( 0) = ⟨ ϕ ( 0 ) , v i ⟩ {\displaystyle C_{i}(0)=\left\langle \Phi (0),\mathbf {v} _{i}\right\rangle } .

nem irányított gráfok esetében ez azért működik, mert L {\textstyle L} szimmetrikus, és a spektrális tétel szerint eigenvektorai mind ortogonálisak. Tehát az L {\textstyle L} eigenvektoraira történő vetítés egyszerűen a kezdeti állapot ortogonális koordináta-transzformációja olyan koordináták halmazává,amelyek exponenciálisan és egymástól függetlenül bomlanak.,

Egyensúlyi behaviorEdit

lim t → ∞ e − k λ i t = { 0, ha λ i > 0 1 ha λ i = 0 } {\displaystyle \lim _{t\a \infty }e^{k\lambda _{i}t}=\maradt\{{\begin{array}{rlr}0&{\text{e}}&\lambda _{i}>0\\1&{\text{e}}&\lambda _{i}=0\end{array}}\igaz\}}

más szóval, az egyensúlyi állapotban a rendszer határozza meg teljesen a kernel által a L {\textstyle L} .,

ennek következménye, hogy egy adott kezdeti feltétel c ( 0 ) {\textstyle c(0)} a grafikon a N {\textstyle N} csúcsot

lim t → ∞ ϕ ( t) = próza c ( 0 ) , v 1 hosszúságát v 1 {\displaystyle \lim _{t\a \infty }\phi (t)=\maradt\langle c(0),\mathbf {v^{1}} \rendben\rangle \mathbf {v^{1}} }

, ahol a

v 1 = 1 N {\displaystyle \mathbf {v^{1}} ={\frac {1}{\sqrt {N}}}} lim t → ∞ ϕ j ( t ) = 1 N ∑ i = 1 N c i ( 0 ) {\displaystyle \lim _{t\a \infty }\phi _{j}(t)={\frac {1}{N}}\összeg _{i=1}^{N}c_{i}(0)} .,

más szóval, állandósult állapotban a ϕ {\textstyle \ phi } értéke ugyanarra az értékre konvergál a gráf minden csúcsánál, ami a kezdeti értékek átlaga az összes csúcsnál. Mivel ez a megoldás a hő diffúziós egyenletre, ez intuitív módon tökéletes értelme. Arra számítunk, hogy a grafikon szomszédos elemei energiát cserélnek mindaddig, amíg az energia egyenletesen el nem oszlik az egymáshoz kapcsolódó összes elemen.,

példa az operátor egy gridEdit

Ez a szakasz egy példa egy függvény ϕ {\textstyle \phi } diffundáló idővel egy grafikon. Ebben a példában a grafikon egy 2D diszkrét rácsra épül, ahol a rács pontjai nyolc szomszédjukhoz kapcsolódnak. Három kezdeti pont van megadva pozitív értékkel, míg a rács többi értéke nulla. Idővel az exponenciális bomlás úgy működik, hogy az értékeket ezeken a pontokon egyenletesen osztja el az egész rácsban.

Az animáció létrehozásához használt teljes Matlab forráskód az alábbiakban található., Megmutatja a kezdeti feltételek meghatározásának folyamatát, ezeket a kezdeti feltételeket kivetítve a Laplacian mátrix sajátértékeire, valamint szimulálva ezeknek a tervezett kezdeti feltételeknek az exponenciális bomlását.