Az exponenciális ablakfüggvény használatát először a Poisson-nak tulajdonítják, mint a 17. századi numerikus elemzési technika kiterjesztését, majd később az 1940-es években a jelfeldolgozó Közösség elfogadta. itt az exponenciális simítás az exponenciális vagy Poisson ablakfüggvény alkalmazása. Az exponenciális simítást először a statisztikai irodalomban javasolták, idézés nélkül Robert Goodell Brown korábbi munkájához 1956-ban, majd Charles C. Holt 1957-ben kibővítette., Az alábbi összetételt, amely az egyik általánosan használt, a barnának tulajdonítják, és “Brown egyszerű exponenciális simításának”nevezik. A Holt, Winters és Brown módszereit a rekurzív szűrés egyszerű alkalmazásának lehet tekinteni, először az 1940-es években, hogy a véges impulzusválasz (FIR) szűrőket végtelen impulzusválasz szűrőkké alakítsák át.
Az exponenciális simítás legegyszerűbb formáját a következő képlet adja meg:
s t = α x t + (1 − α ) s t − 1 = s t − 1 + α (x T − s t-1 ) . {\displaystyle s_{t} = \ alpha x_{t} + (1 – \ alpha) s_{t-1}=s_{t-1}+\alpha (x_{t}-s_{t-1}).,}
ahol α {\displaystyle \ alpha } a simítási tényező, és 0 ≤ α ≤ 1 {\displaystyle 0 \ leq \ alpha \ leq 1}. Más szóval, a simított statisztika s t {\displaystyle s_{t}} az aktuális megfigyelés X t {\displaystyle x_{t}} egyszerű súlyozott átlaga, az előző simított statisztika S t-1 {\displaystyle s_{t-1}} . Az egyszerű exponenciális simítás könnyen alkalmazható, és simított statisztikát eredményez, amint két megfigyelés rendelkezésre áll.,Az α {\displaystyle \alpha} – ra alkalmazott simítási tényező itt valami helytelen elnevezés, mivel az α {\displaystyle \alpha } nagyobb értékei valójában csökkentik a simítás szintjét, az α {\displaystyle \alpha } = 1 esetében pedig a kimeneti sorozat csak az aktuális megfigyelés. Az egyhez közeli α {\displaystyle \alpha } értékei kisebb simító hatást fejtenek ki, és nagyobb súlyt adnak az adatok legutóbbi változásainak, míg az α {\displaystyle \ alpha } értékei a nullához közelebb nagyobb simító hatást fejtenek ki, és kevésbé reagálnak a legutóbbi változásokra.,
ellentétben más simítási módszerekkel, például az egyszerű mozgóátlaggal, ez a technika nem igényel minimális számú megfigyelést, mielőtt eredményeket hozna. A gyakorlatban azonban a” jó átlag ” nem érhető el, amíg több mintát nem átlagolnak együtt; például egy állandó jel körülbelül 3 / α {\displaystyle 3 / \alpha } szakaszba kerül, hogy elérje a tényleges érték 95% – át., Az eredeti jel pontos rekonstruálásához információvesztés nélkül az exponenciális mozgóátlag minden szakaszának rendelkezésre kell állnia,mivel a régebbi minták exponenciálisan bomlanak. Ez ellentétben áll egy egyszerű mozgóátlaggal, amelyben néhány mintát át lehet hagyni anélkül, hogy annyi információveszteséget okozna az átlagon belüli minták állandó súlyozása miatt. Ha egy ismert számú minta kimarad, akkor ehhez egy súlyozott átlagot is beállíthatunk úgy, hogy egyenlő súlyt adunk az új mintának és mindazoknak, amelyeket ki kell hagyni.,
Az exponenciális simítás ezen egyszerű formáját exponenciálisan súlyozott mozgóátlagnak (EWMA) is nevezik. Technikailag is lehet besorolni, mint egy autoregressive integrált mozgóátlag (ARIMA) (0,1,1) modell nem állandó kifejezés.
Időállandószerkesztés
α = 1-e-Δ t / τ {\displaystyle \ alpha =1-e^{- \Delta T/\tau }}
ahol Δ t {\displaystyle \Delta t} a diszkrét idővégrehajtás mintavételi időintervalluma., Ha a mintavételi idő gyors az időállandóhoz képest ( Δ t τ τ {\displaystyle \Delta T\ll \tau}), akkor
α ≈ Δ t τ {\displaystyle \alpha \approx {\Frac {\Delta T}{\tau}}}}
A kezdeti simított érték kiválasztása
vegye figyelembe, hogy a fenti meghatározásban az S 0 {\displaystyle s_{0}} x 0 {\displaystyle x_{0}}}}. Mivel az exponenciális simítás megköveteli, hogy minden szakaszban megkapjuk az előző előrejelzést, nem nyilvánvaló, hogyan lehet elindítani a módszert., Feltételezhetjük, hogy a kezdeti előrejelzés megegyezik a kereslet kezdeti értékével; ennek a megközelítésnek azonban komoly hátránya van. Az exponenciális simítás jelentős súlyt helyez a múltbeli megfigyelésekre, így a kereslet kezdeti értéke indokolatlanul nagy hatással lesz a korai előrejelzésekre. Ezt a problémát úgy lehet megoldani, hogy a folyamat ésszerű számú időszakra (10 vagy több) fejlődik, és az adott időszakokban a kereslet átlagát használja fel az első előrejelzésként., A kezdeti érték beállításának számos más módja is van ,de fontos megjegyezni, hogy minél kisebb az α {\displaystyle \alpha} értéke, annál érzékenyebb lesz az előrejelzés ennek a kezdeti simább értéknek a kiválasztásánál s 0 {\displaystyle s_{0}}}.
OptimizationEdit
minden exponenciális simítási módszerhez ki kell választanunk a simítási paraméterek értékét is. Az egyszerű exponenciális simításhoz csak egy simítási paraméter (α) van, de a következő módszereknél általában egynél több simítási paraméter van.,
vannak olyan esetek, amikor a simítási paraméterek szubjektív módon választhatók ki – az előrejelző a simítási paraméterek értékét a korábbi tapasztalatok alapján határozza meg. Az exponenciális simítási módszerben szereplő ismeretlen paraméterek értékeinek robusztusabb és objektívebb módja azonban a megfigyelt adatokból történő becslés.,
SSE = ∑ t = 1 T (y t-y ^ t ∣ t-1) 2 = ∑ t = 1 T E t 2 {\displaystyle {\text{SSE}}} = \ sum _ {t=1}^{t}(y_{t}-{\hat {y}} _ {t \ mid t-1})^{2}=\sum _{t=1}^{t}e_{T}^{2}}
a regressziós esettől eltérően (ahol képleteink vannak az SSE-t minimalizáló regressziós együtthatók közvetlen kiszámításához) ez nem lineáris minimalizációs problémát jelent, és ehhez optimalizálási eszközt kell használnunk.
“exponenciális” namingEdit
Az “exponenciális simítás” név az exponenciális ablakfüggvény konvolúció során történő használatának tulajdonítható., Ez már nem tulajdonítható Holt, Winters & Brown.
a közvetlen helyettesítése a meghatározó egyenlet egyszerű exponenciális simítás vissza magát, azt találjuk, hogy
s, t = α x t + ( 1 − α ) s t − 1 = α x t + α ( 1 − α ) x t − 1 + ( 1 − α ) 2 s t − 2 = α + ( 1 − α ) t x 0 . {\displaystyle {\begin{igazított}s_{t}&=\alpha x_{t}+(1-\alpha )s_{t-1}\\&=\alpha x_{t}+\alpha (1-\alpha )x_{t-1}+(1-\alpha )^{2}s_{T-2}\\&=\Alpha \left+(1-\Alpha )^{t}x_{0}.,t {\displaystyle s_{t}} a korábbi megfigyelések S T − 1 , … , s t − {\displaystyle s_{t-1},\ldots ,s_{t -}} nagyobb számának súlyozott átlaga , és a korábbi megfigyelésekhez rendelt súlyok arányosak a 1 , ( 1 − α ) , ( 1 − α ) 2 , … , ( 1 − α ) n , … {\displaystyle 1,(1-\alpha ),(1-\alpha )^{2},\ldots ,(1-\Alpha )^{n},\ldots }
a geometriai progresszió egy exponenciális függvény diszkrét változata, tehát itt származik ennek a simítási módszernek a neve a statisztikák szerint Lore.,
a mozgó átlaggal való összehasonlítás
Az exponenciális simítás és a mozgóátlag hasonló hibákkal jár, mint a bemeneti adatokhoz viszonyított lag bevezetése. Bár ezt úgy lehet korrigálni, hogy az eredményt a szimmetrikus kernel ablakhosszának felével, például mozgó átlaggal vagy gaussiannal eltoljuk, nem világos, hogy ez mennyire megfelelő lenne az exponenciális simításhoz. Mindkettő nagyjából megegyezik az előrejelzési hiba eloszlásával, ha α = 2 / (k + 1)., Ezek abban különböznek, hogy az exponenciális simítás figyelembe veszi az összes múltbeli adatot, míg a mozgóátlag csak a K múltbeli adatpontokat veszi figyelembe. Számítási szempontból abban is különböznek, hogy a mozgóátlag megköveteli, hogy a múltbeli k adatpontokat, vagy a lag K + 1 adatpontját, valamint a legfrissebb előrejelzési értéket tartsuk meg, míg az exponenciális simításnak csak a legfrissebb előrejelzési értéket kell megőriznie.,
a jelfeldolgozó irodalom, a nem-okozati (szimmetrikus) szűrők közhely, valamint az exponenciális ablak funkció széles körben használják, ez a divat, de egy más terminológiát használnak: exponenciális simítás egyenértékű egy elsőrendű végtelen-impulzusválaszú (IIR) szűrés mozgóátlag egyenértékű egy véges impulzusválaszú szűrő egyenlő súlyozási tényezők.