lásd a terület második pillanatainak listáját más formákhoz.,\mathrm {d} A=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}y^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}{\frac {1}{3}}{\frac {h^{3}}{4}}\,\mathrm {d} x={\frac {bh^{3}}{12}}\\I_{y}&=\iint utasítások \határértékek _{R}x^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}x^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}hx^{2}\,\mathrm {d} x={\frac {b^{3}h}{12}}\end{igazítva}}}
az egymásra merőleges tengely tétel azt, hogy az értéket a J z {\displaystyle J_{z}} ., J z = x + I y = b h 3 12 + h b 3 12 = b h 12 ( b 2 + h 2 ) {\displaystyle J_{z}=I_{x}+I_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}+{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {bh}{12}}\left(b^{2}+h^{2}\right)}
Körgyűrű középre a originEdit
Körgyűrű a belső sugara r1, mind a külső sugara r2
Fontolja meg egy körgyűrű, amelynek központja a származás, külső sugara r 2 {\displaystyle r_{2}} , belső sugara r 1 {\displaystyle r_{1}} . Az annulus szimmetriája miatt a centroid is a származásban rejlik., A Z {\displaystyle z} tengely körüli poláris tehetetlenségi nyomatékot kompozit alakzatok módszerével határozhatjuk meg. Ez a poláris tehetetlenségi nyomaték megegyezik az r 2 sugarú kör poláris tehetetlenségi nyomatékával {\displaystyle R_{2}} mínusz az R 1 sugarú kör poláris tehetetlenségi nyomatéka {\displaystyle R_{1}} , mindkettő az eredet középpontjába kerül. Először derítsük ki az R {\displaystyle R} sugarú kör poláris tehetetlenségi pillanatát az eredet tekintetében., Ebben az esetben könnyebb közvetlenül kiszámítani a J z {\displaystyle J_{z}} – t , mivel már van r 2 {\displaystyle R^{2}}, amelynek mind x {\displaystyle x}, mind y {\displaystyle y} összetevője van. Ahelyett, hogy a terület második pillanatát a derékszögű koordinátákból kapnánk meg az előző szakaszban leírtak szerint, i x {\displaystyle I_{x}} és J z {\displaystyle J_{z}} közvetlenül poláris koordináták segítségével számoljuk ki.,b3be53f037″>
=\iint utasítások \határértékek _{R}r^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{2}\left(r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \jobbra)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}}{4}}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}r^{4}\end{igazítva}}}
Most, a polar tehetetlenségi nyomaték a z {\displaystyle z} tengely egy körgyűrű egyszerűen, mint már említettük, a különbség, a második pillanatok terület sugarú kör r 2 {\displaystyle r_{2}} egy kör sugara r 1 {\displaystyle r_{1}} .,
J z = J z, r 2-J z, r 1 = π 2 r 2 4-π 2 r 1 4 = π 2 (r 2 4-r 1 4) {\displaystyle j_{z} = j_{z, R_{2}} – j_{z, R_{1}} = {\frac {\pi }{2} r_{2}^{4}-{\frac {\pi }{2}}r_{1}^{4}={\frac {\pi }{2}}\bal (r_{2}^{4} – R_{1}^{4} \ jobb)}
Alternatív megoldásként megváltoztathatjuk a D R {\displaystyle \mathrm {d} r} integrál korlátait az első alkalommal, hogy tükrözze azt a tényt, hogy van egy lyuk. Ez így lenne.,r 2 r 2 ( r d r d θ ) = ∫ 0 2 π ∫ r 1 r 2 r 3 d a r a d θ = ∫ 0 2 π d θ = π 2 ( r 2 4 − r 1 4 ) {\displaystyle {\begin{igazítva}J_{z}&=\iint utasítások \határértékek _{R}r^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{2}\left(r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \jobbra)=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{3}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }\maradt\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)\end{igazítva}}}
Minden polygonEdit
Egy egyszerű sokszög., Itt, n = 6 {\displaystyle n=6}, a “7” értesítési pont megegyezik az 1.ponttal.
A XY-sík bármely egyszerű sokszög eredetére vonatkozó terület második pillanatát általában úgy lehet kiszámítani, hogy a sokszög minden szegmenséből származó hozzájárulásokat összegezzük, miután a területet háromszögekre osztottuk. Ez a képlet a cipőfűző képlethez kapcsolódik, és Green tételének különleges esetének tekinthető.
a sokszögnek n {\displaystyle n} csúcsai vannak, az óramutató járásával ellentétes irányban számozva., Ha a sokszög csúcsai az óramutató járásával megegyező irányban vannak számozva, a visszaadott értékek negatívak lesznek, de az abszolút értékek helyesek lesznek.,y i + 1-x i + 1 y i) (x i y i + 1 + 2 x i i + 2 x i + 1 y i + 1 + x i + 1 y i) {\displaystyle {\begin {igazított}I_{y} & = {\frac {1}{12}} \ sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2}\right)\\I_{x}& = {\frac {1}{12}} \ sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(y_{i}^{2}+y_{i}y_{i+1}+y_{i+1}^{2}\right)\\I_{xy}& = {\frac {1}{24}} \ sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}y_{i+1}+2x_{i}y_{i}+2x_{i+1}y_{i+1}+x_{i+1}y_{i}\right)\end{aligned}}}