Es gibt eine Reihe von Quantenzahlen, die den Energiezuständen des Atoms zugeordnet sind. Die vier Quantenzahlen n, ℓ, m und s geben den vollständigen und einzigartigen Quantenzustand eines einzelnen Elektrons in einem Atom an, der als Wellenfunktion oder Orbital bezeichnet wird. Zwei Elektronen, die zum selben Atom gehören, können aufgrund des Pauli-Ausschlussprinzips nicht für alle vier Quantenzahlen die gleichen Werte haben. Die Schrödinger-Wellengleichung reduziert sich auf die drei Gleichungen, die, wenn sie gelöst werden, zu den ersten drei Quantenzahlen führen., Daher sind die Gleichungen für die ersten drei Quantenzahlen alle miteinander verbunden. Die Hauptquantenzahl entstand in der Lösung des radialen Teils der Wellengleichung wie unten gezeigt.
Die Schrödinger-Wellengleichung beschreibt Energie-Eigendaten mit entsprechenden reellen Zahlen En und einer bestimmten Gesamtenergie, dem Wert von En. Die gebundenen Zustand Energien des Elektrons im Wasserstoff-atom sind gegeben durch:
E n = E 1 n 2 = − 13.6 eV n 2 , n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle E_{n}={\frac {E_{1}}{n^{2}}}={\frac {-13.,6{\text{ eV}}}{n^{2}}},\quad n=1,2,3,\ldots }
Der parameter n kann nur positive ganzzahlige Werte. Das Konzept der Energieniveaus und der Notation wurde dem früheren Bohr-Modell des Atoms entnommen. Schrödingers Gleichung entwickelte die Idee von einem flachen zweidimensionalen Bohr-Atom zum dreidimensionalen Wellenfunktionsmodell.,
Im Bohr-Modell wurden die erlaubten Bahnen von quantisierten (diskreten) Werten des Orbitalwinkelimpulses abgeleitet, L gemäß der Gleichung
L = n ⋅ ℏ = n ⋅ h 2 π {\displaystyle \mathbf {L} =n\cdot \hbar =n\cdot {h \over 2\pi }}
wobei n = 1, 2, 3, … und die Hauptquantenzahl genannt wird und h Plancks Konstante ist. Diese Formel ist in der Quantenmechanik nicht korrekt, da die Drehimpulsgröße durch die azimutale Quantenzahl beschrieben wird, aber die Energieniveaus sind genau und klassisch entsprechen sie der Summe der potentiellen und kinetischen Energie des Elektrons.,
Die Hauptquantennummer n repräsentiert die relative Gesamtenergie jedes Orbitals. Das Energieniveau jedes Orbitals nimmt mit zunehmender Entfernung vom Kern zu. Die Sätze von Orbitalen mit dem gleichen n-Wert werden oft als Elektronenhülle bezeichnet.
Die minimale Energie, die während einer Wechselwirkung zwischen Wellen und Materie ausgetauscht wird, ist das Produkt der Wellenfrequenz multipliziert mit der Planckschen Konstante. Dies bewirkt, dass die Welle teilchenähnliche Energiepakete anzeigt, die Quanten genannt werden. Der Unterschied zwischen Energieniveaus, die unterschiedliche n haben, bestimmt das Emissionsspektrum des Elements.,
In der Notation des Periodensystems sind die Hauptschalen von Elektronen gekennzeichnet:
K (n = 1), L (n = 2), M (n = 3) usw.
basierend auf der Hauptquantenzahl.
Die Hauptquantenzahl bezieht sich auf die radiale Quantenzahl nr durch:
n = n r + ℓ + 1 {\displaystyle n=n_{r}+\ell +1\,}
wobei ℓ die azimutale Quantenzahl ist und nr gleich der Anzahl der Knoten in der radialen Wellenfunktion ist.,
Der eindeutige gesamte Energie für eine teilchenbewegung in einem gemeinsamen Coulomb-Feld und mit einem diskreten Spektrum ist gegeben durch:
E n = − Z 2 ℏ 2 2 m 0 a B 2 n 2 = − Z 2 e 4 m 0 2 ℏ 2 n 2 {\displaystyle E_{n}=-{\frac {Z^{2}\hbar ^{2}}{2m_{0}a_{B}^{2}n^{2}}}=-{\frac {Z^{2}e^{4}m_{0}}{2\hbar ^{2}n^{2}}}} ,
, wo a B {\displaystyle a_{B}} ist der Bohr-radius.,
Dieses diskrete Energiespektrum, das sich aus der Lösung des quantenmechanischen Problems auf die Elektronenbewegung im Coulomb-Feld ergibt, fällt mit dem Spektrum zusammen, das mit Hilfe der Anwendung der Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsregeln auf die klassischen Gleichungen erhalten wurde. Die radiale Quantenzahl bestimmt die Anzahl der Knoten der Radialwellenfunktion R(r ) {\displaystyle R (r)} .