rapports volumiques pour un cône, une sphère et un cylindre de même rayon et de même height=
un cône, une sphère et un cylindre de rayon r et de hauteur h
Les formules ci-dessus peuvent être utilisées pour montrer que les volumes le rayon et la hauteur sont dans le rapport 1 : 2 : 3, comme suit.,
Laissez-le rayon r et la hauteur h (qui est 2r pour la sphère), le volume du cône est
le 1 3 π r 2 h = 1 3 π r 2 ( 2 r ) = ( 2 3 π r 3 ) × 1 , {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}h={\frac {1}{3}}\pi r^{2}\left(2r\right)=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\times 1,}
le volume de la sphère est
4 3 π r 3 = ( 2 3 π r 3 ) × 2 , {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\times 2,}
tandis que le volume du cylindre est
π r 2 h = π r 2 ( 2 r ) = ( 2 3 π r 3 ) × 3., {\displaystyle \pi r^{2}h=\pi r^{2}(2r)=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\times 3.}
la découverte du rapport 2 : 3 des volumes de la sphère et du cylindre est attribuée à Archimède.
dérivation de la formule Volumiquemodifier
Sphèremodifier
Le volume d’une sphère est l’intégrale d’un nombre infini de disques circulaires infinitésimalement petits d’épaisseur dx. Le calcul du volume d’une sphère de centre 0 et de rayon r est comme suit.
La surface du disque circulaire est π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}} .,
Le rayon de la circulaire disques, défini de telle manière que l’axe des x coupes perpendiculairement à travers eux,
y = r 2 − x 2 {\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}
ou
z = r 2 − x 2 {\displaystyle z={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}
où y ou z peuvent être prises pour représenter le rayon d’un disque à un particulier x valeur.
en utilisant y comme rayon du disque, le volume de la sphère peut être calculé comme
∫ − r r π y 2 d x = ∫ − r r π ( r 2 − x 2 ) d X. {\displaystyle \int _{-r}^{r}\pi y^{2}\,dx=\int _{-r}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)\,dx.,}
Maintenant
∫ r r π r 2 d x − ∫ − r r π x 2 d x = π ( r 3 + r 3 ) − π 3 ( r 3 + r 3 ) = 2 π r 3 − 2 π r 3 3 . {\displaystyle \int _{-r}^{r}\pi r^{2}\,dx-\int _{-r}^{r}\pi x^{2}\,dx=\pi \left(r^{3}+r^{3}\right)-{\frac {\pi }{3}}\left(r^{3}+r^{3}\right)=2\pi r^{3}-{\frac {2\pi r^{3}}{3}}.}
la combinaison donne V = 4 3 π r 3 . {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}
Cette formule peut être dérivée plus rapidement en utilisant la formule de la surface de la sphère, qui est 4 π r 2 {\displaystyle 4\pi r^{2}} ., Le volume de la sphère est constitué de couches de coquilles sphériques infinitésimalement minces, et le volume de la sphère est égal à
∫ 0 R 4 π R 2 d R = 4 3 π R 3 . {\displaystyle \int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,dr={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}
ConeEdit
Le cône est un type de forme pyramidale. L’équation fondamentale pour les pyramides, un tiers fois la base fois l’altitude, s’applique également aux cônes.
Cependant, à l’aide du calcul, le volume d’un cône est l’intégrale d’un nombre infini d’infiniment mince circulaire disques d’épaisseur dx., Le calcul du volume d’un cône de hauteur h, dont la base est centrée à (0, 0, 0) de rayon r, est le suivant.
Le rayon de chaque disque circulaire est r si x = 0 et 0 si x = h, et en variant linéairement entre les deux—c’est-à –
r h − x h . {\displaystyle r{\frac {h-x}{h}}.}
La surface du disque circulaire est ensuite
π ( r − h x h ) 2 = π r 2 ( h − x ) 2 h 2 . {\displaystyle \pi \left(r{\frac {h-x}{h}}\right)^{2}=\pi r^{2}{\frac {(h-x)^{2}}{h^{2}}}.,}
Le volume du cône peut être calculé comme
∫ 0 h π r 2 ( h − x ) 2 h 2 d x , {\displaystyle \int _{0}^{h}\pi r^{2}{\frac {(h-x)^{2}}{h^{2}}}dx,}
et après l’extraction des constantes
π r 2 h 2 ∫ 0 h ( h − x ) 2 d x {\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{h^{2}}}\int _{0}^{h}(h-x)^{2}dx}
l’Intégration nous donne
π r 2 h 2 h 3 3 ) = 1 3 π r 2 h . j’ai besoin d’un peu de temps pour le faire.^{3}}{3}}\ à droite)={\frac {1} {3}} \ pi r^{2} H.}