Momentum (Français)

Momentum est une quantité vectorielle: elle a à la fois une magnitude et une direction. Puisque l’élan a une direction, il peut être utilisé pour prédire la direction et la vitesse de mouvement résultantes des objets après leur collision. Ci-dessous, les propriétés de base de l’élan sont décrites dans une dimension. Les équations vectorielles sont presque identiques aux équations scalaires (voir plusieurs dimensions).

particule unique

le moment d’une particule est classiquement représenté par la lettre P., C’est le produit de deux grandeurs, la masse de la particule (représentée par la lettre m) et sa vitesse (v):

p = m v. {\displaystyle p=mv.}

l’Unité de momentum est le produit des unités de masse et de vitesse. En unités SI, si la masse est en kilogrammes et la vitesse est en mètres par seconde, alors l’élan est en kilogrammes mètres par seconde (kg m m/s). En unités cgs, si la masse est en grammes et la vitesse en centimètres par seconde, alors l’élan est en grammes centimètres par seconde (g cm cm/s).

étant un vecteur, l’élan a une magnitude et une direction., Par exemple, un avion modèle de 1 kg, voyageant plein nord à 1 m/s en vol droit et en vol plat, a une impulsion de 1 kg⋅m/s Plein Nord mesurée par rapport au sol.

Nombre de particules

La dynamique d’un système de particules est la somme vectorielle de leur impulsion. Si deux particules ont des masses respectives m1 et m2, et des vitesses v1 et v2, l’impulsion totale est

p = p 1 + p 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle {\begin{aligné}p&=p_{1}+p_{2}\\&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\,.,\end {aligned}}}

le momenta de plus de deux particules peut être ajouté plus généralement avec ce qui suit:

p = i i m i v I. {\displaystyle p=\sum _{i}m_{i}v_{i}.}

Un système de particules a un centre de gravité, un point déterminé par la somme pondérée de leurs positions:

r cm = m 1 r 1 + m 2 r 2 + ⋯ m 1 + m 2 + ⋯ = ∑ m i i r i ∑ i m i . {\displaystyle r_{\text{cm}}={\frac {m_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}+\cdots }{m_{1}+m_{2}+\cdots }}={\frac {\sum \limites _{i}m_{i}r_{i}}{\sum \limites _{i}m_{i}}}.,}

Si une ou plusieurs des particules se déplacent, le centre de masse du système se déplace généralement également (à moins que le système ne soit en rotation pure autour de lui). Si la masse totale des particules est m {\displaystyle M } et que le centre de masse se déplace à la vitesse vcm, l’élan du système est:

p = m v cm . {\displaystyle p=mv_{\text{cm}}.}

c’est ce qu’on appelle la première loi d’Euler.

Relation à la force

Si la force nette F appliquée à une particule est constante, et est appliquée pendant un intervalle de temps Δt, l’impulsion de la particule change d’une quantité

Δ P = f Δ T., {\displaystyle \ Delta p=F \ Delta t\,.}

sous forme différentielle, c’est la deuxième loi de Newton; le taux de changement de l’impulsion d’une particule est égal à la force instantanée F agissant sur elle,

F = d p d T. {\displaystyle F={\frac {dp}{dt}}.}

Si la force nette ressentie par une particule change en fonction du temps, F (t), le changement d’impulsion (ou d’impulsion J ) entre les temps t1 et T2 est

Δ p = J = ∫ t 1 t 2 F ( t) D T. {\displaystyle \Delta p=J=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F(t)\,dt\,.,}

L’impulsion est mesurée dans les unités dérivées de la seconde newton (1 N s S = 1 kg m m/s) ou de la seconde dyne (1 dyne s s = 1 g cm cm/S)

sous l’hypothèse de masse constante m, cela équivaut à écrire

F = d ( m V ) d T = M d v d T = m A , {\displaystyle F={\frac {d(mv)}{DT}}=m{\frac {dv}{dt}}=ma,}

la force nette est donc égale à la masse de la particule multipliée par son accélération.

exemple: un avion modèle d’une masse de 1 kg accélère du repos à une vitesse de 6 m/s Plein Nord en 2 s. La force nette requise pour produire cette accélération est de 3 newtons plein nord. , Le changement d’élan est de 6 kg m m/s Plein Nord. Le taux de changement de moment est de 3 (kg m m/s)/S plein nord, ce qui équivaut numériquement à 3 newtons.

Conservation

Dans un système fermé (qui n’échange aucune matière avec son environnement et n’est pas acté par des forces extérieures), l’élan total est constant. Ce fait, connu sous le nom de loi de conservation de l’élan, est impliqué par les lois du mouvement de Newton. Supposons, par exemple, que deux particules interagissent. En raison de la troisième loi, les forces entre eux sont égales et opposées., Si les particules sont numérotées 1 et 2, la deuxième loi stipule que F1 = dp1/dt et F2 = dp2/dt. Par conséquent,

d p 1 d t = − d p 2 d t , {\displaystyle {\frac {dp_{1}}{dt}}=-{\frac {dp_{2}}{dt}},}

avec le signe négatif indiquant que les forces s’opposent. De manière équivalente,

d d t ( p 1 + p 2) = 0. {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(p_{1}+p_{2}\right)=0.}

Si les vitesses des particules sont u1 et u2 avant l’interaction, et après ils sont v1 et v2, puis

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.,}

cette loi est valable quelle que soit la complexité de la force entre les particules. De même, s’il y a plusieurs particules, la quantité de mouvement échangée entre chaque paire de particules s’additionne à zéro, de sorte que la variation totale de la quantité de mouvement est nulle. Cette loi de conservation s’applique à toutes les interactions, y compris les collisions et les séparations causées par des forces explosives. Il peut également être généralisé à des situations où les lois de Newton ne tiennent pas, par exemple dans la théorie de la relativité et en électrodynamique.,

dépendance au référentiel

la vitesse est une quantité mesurable, et la mesure dépend du mouvement de l’observateur., Par exemple: si une pomme est assise dans un ascenseur en verre qui descend, un observateur extérieur, regardant dans l’ascenseur, voit la pomme se déplacer, donc, vers cet observateur, la pomme a un élan non nul. Pour quelqu’un à l’intérieur de l’Ascenseur, la pomme ne bouge pas, donc, elle a zéro élan. Les deux observateurs ont chacun un cadre de référence, dans lequel, ils observent les mouvements, et, si l’ascenseur descend régulièrement, ils verront un comportement conforme à ces mêmes lois physiques.

supposons qu’une particule ait la position x dans un cadre de référence stationnaire., Du point de vue d’un autre cadre de référence, se déplaçant à une vitesse uniforme u, la position (représentée par une coordonnée amorcée) change avec le temps comme

x ‘ = x − u T. {\displaystyle x ‘ =x-ut\,.}

c’est ce qu’on appelle une transformation galiléenne. Si la particule se déplace à la vitesse dx/DT = v dans le premier cadre de référence, dans le second, elle se déplace à la vitesse

v ‘= d x ‘ d T = v − U. {\displaystyle v’={\frac {dx’}{dt}}=v-u\,.}

puisque u ne change pas, les accélérations sont les mêmes:

a ‘= d v ‘ d T = A. {\displaystyle a’={\frac {dv’}{dt}}=a\,.,}

ainsi, l’élan est conservé dans les deux cadres de référence. De plus, tant que la force a la même forme, dans les deux cadres, la deuxième loi de Newton est inchangée. Des Forces telles que la gravité Newtonienne, qui ne dépendent que de la distance scalaire entre les objets, satisfont à ce critère. Cette indépendance du référentiel est appelée relativité Newtonienne ou invariance galiléenne.

un changement de cadre de référence, peut, souvent, simplifier les calculs de mouvement. Par exemple, dans une collision de deux particules, un cadre de référence peut être choisi, où, une particule commence au repos., Un autre cadre de référence, couramment utilisé, est le cadre de Centre de masse – celui qui se déplace avec le centre de masse. Dans ce cadre, l’élan total est nul.

Application aux collisions

par elle-même, la loi de conservation de l’élan n’est pas suffisante pour déterminer le mouvement des particules après une collision. Une autre propriété du mouvement, l’énergie cinétique, doit être connue. Ce n’est pas nécessairement conservé. Si elle est conservée, la collision est appelée collision élastique; sinon, c’est une collision inélastique.,

Élastique collisions

Un choc élastique est celui dans lequel aucune énergie cinétique est absorbé dans la collision. Des « collisions » parfaitement élastiques peuvent se produire lorsque les objets ne se touchent pas, comme par exemple dans la diffusion atomique ou nucléaire où la répulsion électrique les maintient séparés., Une manœuvre de fronde d’un satellite autour d’une planète peut également être considérée comme une collision parfaitement élastique. Une collision entre deux balles de piscine est un bon exemple de collision presque totalement élastique, en raison de leur grande rigidité, mais lorsque les corps entrent en contact, il y a toujours une certaine dissipation.

une collision élastique frontale entre deux corps peut être représentée par des vitesses dans une dimension, le long d’une ligne passant à travers les corps., Si les vitesses sont u1 et u2 avant la collision et v1 et v2 après, les équations exprimant la conservation de l’impulsion et de l’énergie cinétique:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 1 2 m 1 u 1 2 + 1 2 m 2 u 2 2 = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 . {\displaystyle {\begin{aligné}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\\{\tfrac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}&={\tfrac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\,.\end{aligné}}}

Un changement de cadre de référence peut simplifier l’analyse d’une collision., Par exemple, supposons qu’il y ait deux corps de masse égale m, l’un stationnaire et l’autre s’approchant à une vitesse v (comme sur la figure). Le centre de masse se déplace à la vitesse v/2 et les deux corps se déplacent vers lui à la vitesse v / 2. En raison de la symétrie, après la collision, les deux doivent s’éloigner du centre de masse à la même vitesse. En ajoutant la vitesse du centre de masse aux deux, nous constatons que le corps qui se déplaçait est maintenant arrêté et que l’autre s’éloigne à la vitesse v. Les corps ont échangé leurs vitesses., Indépendamment des vitesses des corps, un passage au centre du cadre de masse nous amène à la même conclusion. Par conséquent, les vitesses finales sont données par

v 1 = u 2 v 2 = u 1 . {\displaystyle {\begin{aligné}v_{1}&=u_{2}\\v_{2}&=u_{1}\,.,\end{aligné}}}

En général, quand les vitesses initiales sont connues, la finale de la vitesse donnée par

v 1 = ( m 1 − m 2 m 1 + m 2 ) u 1 + ( 2 m 2 m 1 + m 2 ) u 2 {\displaystyle v_{1}=\left({\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}+\left({\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{2}\,} v 2 = ( m 2 − m 1 m 1 + m 2 ) u 2 + ( 2 m 1 m 1 + m 2 ) u 1 . {\displaystyle v_{2}=\left({\frac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{2}+\left({\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}\,.,}

Si un corps a une masse beaucoup plus grande que l’autre, sa vitesse sera peu affectée par une collision tandis que l’autre corps subira un changement important.

collisions inélastiques

dans une collision inélastique, une partie de l’énergie cinétique des corps en collision est convertie en d’autres formes comme la chaleur ou le son)., Les exemples incluent les collisions de circulation, dans lesquelles l’effet de la perte d’énergie cinétique peut être vu dans les dommages aux véhicules; les électrons perdent une partie de leur énergie en atomes (comme dans L’expérience Franck–Hertz); et les accélérateurs de particules dans lesquels l’énergie cinétique est convertie en masse sous forme de nouvelles particules.

dans une collision parfaitement inélastique (comme un insecte frappant un pare-brise), les deux corps ont le même mouvement par la suite. Une collision inélastique frontale entre deux corps peut être représentée par des vitesses dans une dimension, le long d’une ligne traversant les corps., Si les vitesses sont u1 et u2 avant la collision, alors dans une collision parfaitement inélastique, les deux corps voyageront avec la vitesse v après la collision. L’équation exprimant la conservation de l’élan est:

M 1 u 1 + m 2 u 2 = ( m 1 + m 2 ) v. {\displaystyle {\begin{aligné}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\,.\end{aligned}}}

Si un corps est immobile pour commencer (par exemple, u 2 = 0 {\displaystyle u_{2}=0} ), l’équation de conservation de l’impulsion est

m 1 u 1 = ( m 1 + m 2 ) v , {\displaystyle m_{1}u_{1}=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\,,}

donc

v = m 1 m 1 + m 2 u 1 . {\displaystyle v={\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1}\,.}

dans une situation différente, si le cadre de référence se déplace à la vitesse finale telle que v = 0 {\displaystyle v=0} , les objets seraient immobilisés par une collision parfaitement inélastique et 100% de l’énergie cinétique serait convertie en d’autres formes d’énergie., Dans ce cas, les vitesses initiales des corps seraient non nulles, ou les corps devraient être sans masse.

Une mesure de l’inélasticité de la collision est le coefficient de restitution CR, défini comme le rapport de la vitesse relative de séparation à la vitesse relative d’approche. En appliquant cette mesure à une balle rebondissant sur une surface solide, cela peut être facilement mesuré en utilisant la formule suivante:

C R = hauteur de rebond hauteur de chute . {\displaystyle C_{\text{R}}={\sqrt {\frac {\text{rebondir hauteur}}{\text{hauteur de chute}}}}\,.,}

Les équations de l’élan et de l’énergie s’appliquent également aux mouvements des objets qui commencent ensemble puis se séparent. Par exemple, une explosion est le résultat d’une réaction en chaîne qui transforme l’énergie potentielle stockée sous forme chimique, mécanique ou nucléaire en énergie cinétique, en énergie acoustique et en rayonnement électromagnétique. Les fusées utilisent également la conservation de l’élan: le propulseur est poussé vers l’extérieur, prenant de l’élan, et un élan égal et opposé est transmis à la fusée.,

Plusieurs dimensions

le mouvement Réel est à la fois la direction et la vitesse et doit être représenté par un vecteur. Dans un système de coordonnées x, y, z axes, vitesse a les composantes vx dans la direction x, vy dans la direction y, vz dans la direction z., Le vecteur est représenté par un symbole en gras:

v = (v x , v y , V z ) . {\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right).}

de même, l’élan est une quantité vectorielle et est représenté par un symbole en gras:

p = ( p x , p y , P z ) . {\displaystyle \mathbf {p} =\left(p_{x},p_{y},p_{z}\right).}

Les équations des sections précédentes fonctionnent sous forme vectorielle si les scalaires p et v sont remplacés par les vecteurs p et v. chaque équation vectorielle représente trois équations scalaires., Par exemple,

p = m v {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }

représente les trois équations:

p x = m v x p y = m v y p z = m v z . {\displaystyle {\begin{aligné}p_{x}&=mv_{x}\\p_{y}&=mv_{y}\\p_{z}&=mv_{z}.\end{aligned}}}

Les équations d’énergie cinétique sont des exceptions à la règle de remplacement ci-dessus. Les équations sont toujours unidimensionnelles, mais chaque scalaire représente la grandeur du vecteur, par exemple,

v 2 = v x 2 + v y 2 + v z 2 . {\displaystyle v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\,.,}

chaque équation vectorielle représente trois équations scalaires. Souvent, les coordonnées peuvent être choisies de sorte que seuls deux composants soient nécessaires, comme sur la figure. Chaque composant peut être obtenu séparément et les résultats combinés pour produire un vecteur résultat.

Une construction simple impliquant le cadre de Centre de masse peut être utilisée pour montrer que si une sphère élastique stationnaire est frappée par une sphère mobile, les deux se dirigeront à angle droit après la collision (comme sur la figure).,

objets de masse variable

Le concept de momentum joue un rôle fondamental dans l’explication du comportement d’objets de masse variable tels qu’une fusée éjectant du carburant ou un gaz d’accrétion d’étoiles. En analysant un tel objet, on traite la masse de l’objet comme une fonction qui varie avec le temps: m(t). La dynamique de l’objet au temps t est donc p(t) = m(t)v(t)., On pourrait alors essayer d’invoquer la deuxième loi du mouvement de Newton en disant que la force externe F sur l’objet est liée à son élan p(t) par F = dp/dt, mais cela est incorrect, tout comme l’expression connexe trouvée en appliquant la règle du produit à d(mv)/dt:

F = M ( T ) D v D T + v ( T ) D M d T . {\displaystyle F=m(t){\frac {dv}{dt}}+v(t){\frac {dm}{dt}}.} (incorrect)

cette équation ne décrit pas correctement le mouvement des objets à masse variable., L’équation correcte est

F = m(t ) D v D T − u D M d T , {\displaystyle F=M (t){\frac {dv}{dt}}-u{\frac {dm}{dt}},}

où u est la vitesse de la masse éjectée/accrétée telle que vue dans la trame de repos de l’objet. Ceci est distinct de v, qui est la vitesse de l’objet lui-même comme on le voit dans un cadre inertiel.

cette équation est dérivée en gardant une trace de l’élan de l’objet ainsi que de l’élan de la masse éjectée/accrétée (dm). Considérés ensemble, l’objet et la masse (dm) constituent un système fermé dans lequel l’impulsion totale est conservée.,

P ( t + d t ) = ( m − d m ) ( v + d v ) + d m ( v − u ) = m v + m d v − u d m = P ( t ) + m d v − u d m {\displaystyle P(t+dt)=(m-dm)(v+dv)+dm(v-u)=mv+mdv-udm=P(t)+mdv-udm}