même si les mathématiciens ont passé plus de 2000 ans à disséquer la structure des cinq solides platoniciens — le tétraèdre, le cube, l’octaèdre, l’icosaèdre et le dodécaèdre — il y a encore beaucoup de choses que nous ne savons pas à leur sujet.
maintenant, un trio de mathématiciens a résolu l’une des questions les plus fondamentales sur le dodécaèdre.
supposons que vous vous teniez à l’un des coins d’un solide platonique., Y a-t-il un chemin droit que vous pourriez prendre qui vous ramènerait éventuellement à votre point de départ sans passer par l’un des autres coins? Pour les quatre solides platoniciens construits à partir de carrés ou de triangles équilatéraux — le cube, le tétraèdre, l’octaèdre et l’icosaèdre — les mathématiciens ont récemment compris que la réponse était non. Tout chemin droit partant d’un coin frappera un autre coin ou tournera pour toujours sans rentrer à la maison. Mais avec le dodécaèdre, qui est formé de 12 pentagones, les mathématiciens ne savaient pas à quoi s’attendre.,
maintenant, Jayadev Athreya, David Aulicino et Patrick Hooper ont montré qu’un nombre infini de tels chemins existent en fait sur le dodécaèdre. Leur article, publié en mai dans Experimental Mathematics, montre que ces chemins peuvent être divisés en 31 familles naturelles.
la solution nécessitait des techniques modernes et des algorithmes informatiques., ” Il y a vingt ans, était absolument hors de portée; il y a 10 ans, il faudrait un énorme effort d’écriture de tous les logiciels nécessaires, alors seulement maintenant tous les facteurs se sont réunis », a écrit Anton Zorich, de L’Institut de mathématiques de Jussieu à Paris, dans un courriel.
le projet a commencé en 2016 Lorsque Athreya, de L’Université de Washington, et Aulicino, du Brooklyn College, ont commencé à jouer avec une collection de découpes de papier cartonné qui se replient dans les solides platoniques., Comme ils ont construit les différents solides, il est apparu à Aulicino qu’un corps de recherche récente sur la géométrie plate pourrait être exactement ce dont ils auraient besoin pour comprendre les chemins droits sur le dodécaèdre. ” Nous étions littéralement en train de mettre ces choses ensemble », a déclaré Athreya. « C’était donc une sorte d’exploration oisive qui rencontre une opportunité. »
avec Hooper, du City College de New York, les chercheurs ont compris comment classer tous les chemins droits d’un coin à lui-même qui évitent les autres coins.
Leur analyse est « une solution élégante”, a déclaré Howard Masur de l’Université de Chicago., « C’est une de ces choses où je peux dire, sans aucune hésitation, » mon Dieu, oh, j’aurais aimé faire ça!' »
symétries cachées
bien que les mathématiciens aient spéculé sur les chemins droits sur le dodécaèdre pendant plus d’un siècle, il y a eu un regain d’intérêt pour le sujet ces dernières années suite à des gains dans la compréhension des » surfaces de traduction., »Ce sont des surfaces formées par collage des côtés parallèles d’un polygone, et elles se sont révélées utiles pour étudier un large éventail de sujets impliquant des chemins droits sur des formes avec des coins, des trajectoires de billard à la question de savoir quand une seule lumière peut éclairer une pièce miroir entière.
dans tous ces problèmes, l’idée de base est de dérouler votre forme de manière à simplifier les chemins que vous étudiez. Donc, pour comprendre les chemins droits sur un solide platonique, vous pouvez commencer par couper suffisamment d’arêtes pour que le solide reste à plat, formant ce que les mathématiciens appellent un filet., Un filet pour le cube, par exemple, est une forme en T faite de six carrés.
Imaginez que nous avons aplati le dodécaèdre, et maintenant nous marchons le long de cette forme plate dans une direction choisie. Finalement, nous allons frapper le bord du filet, à quel point notre chemin sautera vers un pentagone différent (celui qui a été collé à notre Pentagone actuel avant de couper le dodécaèdre). Chaque fois que le chemin saute, il tourne également d’un multiple de 36 degrés.,
pour éviter tout ce saut et rotation, lorsque nous frappons un bord du filet, nous pourrions plutôt coller sur une nouvelle copie tournée du filet et continuer directement dans celui-ci. Nous avons ajouté une certaine redondance: nous avons maintenant deux pentagones différents représentant chaque Pentagone sur le dodécaèdre d’origine. Nous avons donc rendu notre monde plus compliqué-mais notre chemin est devenu plus simple. Nous pouvons continuer à ajouter un nouveau réseau chaque fois que nous devons nous étendre au-delà du bord de notre monde.,
au moment où notre chemin a parcouru 10 filets, nous avons fait pivoter notre filet d’origine à travers tous les multiples possibles de 36 degrés, et le prochain filet que nous ajouterons aura la même orientation que celui avec lequel nous avons commencé. Cela signifie que ce 11ème réseau est lié à l’original par un simple décalage — ce que les mathématiciens appellent une traduction. Au lieu de coller sur un 11ème filet, nous pourrions simplement coller le bord du 10ème filet sur le bord parallèle correspondant dans le filet d’origine., Notre forme ne reposera plus à plat sur la table, mais les mathématiciens pensent qu’elle « se souvient” encore de la géométrie plate de son incarnation précédente — ainsi, par exemple, les chemins sont considérés comme Droits s’ils étaient droits dans la forme non collée. Après avoir fait tous ces collages possibles des bords parallèles correspondants, nous nous retrouvons avec ce qu’on appelle une surface de translation.
La surface résultante est très redondant représentation du dodécaèdre, avec 10 exemplaires de chaque pentagone. Et c’est beaucoup plus compliqué: il colle dans une forme comme un beignet avec 81 trous., Néanmoins, cette forme compliquée a permis aux trois chercheurs d’accéder à la riche théorie des surfaces de traduction.
pour s’attaquer à cette surface géante, les mathématiciens ont retroussé leurs manches — au sens figuré et littéralement. Après avoir travaillé sur le problème pendant quelques mois, ils ont réalisé que la surface de beignet à 81 trous forme une représentation redondante non seulement du Dodécaèdre, mais aussi de l’une des surfaces de translation les plus étudiées., Appelé le double Pentagone, il est fabriqué en attachant deux pentagones le long d’un seul bord, puis en collant ensemble des côtés parallèles pour créer un beignet à deux trous avec une riche collection de symétries.
Cette forme était également tatouée sur le bras D’Athreya. ” Le double Pentagone était quelque chose que je connaissais et aimais Déjà », a déclaré Athreya, qui s’est fait tatouer un an avant que lui et Aulicino ne commencent à penser au dodécaèdre.
étant donné que le double Pentagone et le dodécaèdre sont des cousins géométriques, le haut degré de symétrie du premier peut élucider la structure du second., C’est une « symétrie cachée incroyable”, a déclaré Alex Eskin de L’Université de Chicago (qui était le conseiller doctoral D’Athreya il y a environ 15 ans). « Le fait que le dodécaèdre ait ce groupe de symétrie caché est, je pense, tout à fait remarquable.”