L’Exponentiation est une opération mathématique impliquant deux nombres, la base x x $et l’exposant a a a. Lorsque $a a est un entier positif, l’exponentiation correspond à une multiplication répétée de la base.
Par définition, chaque numéro a 0 comme son exposant est égal à 1. Cela signifie que, peu importe comment grand est la base, si leur exposant est égal à 0, ce nombre est toujours égal à 1.,
Chaque nombre qui n’a pas un exposant attaché à elle, a fait le numéro 1 à l’exposant. Le nombre 1 est l’exposant par défaut de chaque nombre, il n’est donc pas nécessaire de l’écrire, mais dans certaines tâches, il peut être utile de le faire.
Une multiplié par un est toujours un, n’importe comment beaucoup de fois que vous répétez la multiplication, donc 1 pour tout pouvoir est toujours égale à 1.,
les exposants Négatifs
Si l’exposant est un entier positif, l’exponentiation correspond à une répétition de multiplication de la base, donc ce qui signifie-t-il si l’exposant est un entier négatif? La valeur réciproque de la base est utilisé pour mettre l’exposant négatif en positif.
$a^{-n}=a^{-1})^n=\left(\frac{1}{a}\right)^n=\frac{1}{a^n}$
il en va de même dans l’autre sens. Si un inconnu dans le dénominateur, le dénominateur peut devenir un numérateur en changeant le signe de l’exposant., Dans certains cas, cela s’avérera être une fonctionnalité très utile, en particulier lorsque vous travaillez avec des nombres et des fonctions inverses.
Exemple 1: Écrire ces expressions à l’aide seulement des exposants positifs:
a) $a^{-7}$
b) $\frac{-6x^{-1}}{y^5}$
c) $\frac{-12x^{-6}y^{-9}}{z^3}$
la Solution:
a) $a^{-7}=\frac{1}{a^7}$
b) $\frac{-6x^{-1}}{y^5}=\frac{-6}{x^1 \cdot y^5}=\frac{-6}{xy^5}$
c) $\frac{-12x^{-6}y^{-9}}{z^3} = \frac{-12}{x^6 \cdot y^9 \cdot z^3}$
Plus
Comment fait-on ajouter ou de soustraire des exposants?,
la plupart des tâches intéressantes impliquent des négligences, mais les mêmes règles s’appliquent à elles.
regardons une équation simple:
Puisque $\ x = x^1$ et $\ 1 = x^0$, nous pouvons écrire notre équation comme ceci:
Comment feriez-vous normalement le résoudre? Les variables avec $x$ sont ajoutées séparément, et séparément les variables Sans x x$.,
The same will apply to larger exponents:
$\ x^{12} + 3 \cdot {x^{12}} + 2 \cdot {x^2} = 4 \cdot {x^{12}} + 2 \cdot {x^2}$
Example 2: Add exponents
la Soustraction
Les mêmes règles qui s’appliquent à l’ajout d’exposants, s’appliquent à soustrayant ainsi.
Vous ne pouvez soustraire que les nombres qui ont des inconnues avec le même exposant.
Exemple 3: Soustraire les exposants:
$ 4x^{12} – 0,25 x^4 + 2x^2 – 3x^2 – 3x^{12} = ?$
la Solution:
$ (4x^{12} – 3x^{12}) – 0.25\cdot {x^4} + (2x^2 – 3x^2) = x^{12} – 0.25\cdot {x^4} – x^2$
Multiplication
Il y a deux règles de base pour la multiplication des exposants.,
La première règle – si les bases sont les mêmes, leurs représentants sont additionnés.
Par exemple: $\ 2^{-2} \cdot {2^{-3}} = 2^{- 2 – 3} = 2^{-5} = \left(\frac{1}{2}\right)^5$.
La deuxième règle – si les bases sont différentes, mais les exposants sont les mêmes, les bases sont multipliés et les exposants restent les mêmes.
Par exemple: $\ 2^2 \cdot {3^2} = (2 \cdot {3})^2 = 6^2$.
Exemple 4:
$ 2^2 \cdot {4^2} = ?,Solution
Solution:
pour multiplier deux exposants, leur base ou leurs exposants doivent être les mêmes. Dans cet exemple, ce n’est pas le cas. Donc, la première étape consiste, dans la mesure du possible, à tourner chaque nombre vers la base la plus basse. Dans cet exemple, le nombre $4$ peut être écrit $2^2$.
$ 2^2 \cdot {(2^2)^2} = ?$
Le carré représente le nombre multiplié par lui-même afin de $\ (2^2)^2$ peut être écrit $\ 2^2 \cdot {2^2} = 2^{2 + 2} = 2^4$.,
From Example 4, this generalisation can be made:
Final solution: $\ 2^2 \cdot {4^2}= 2^2 \cdot {(2^2)^2} = 2^2 \cdot {2^4} = 2^{2+4} = 2^6$.
Example 5:
$ \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot {0.2^2} = ?,$
la Solution:
$$=\left (\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left (\frac{2}{10}\right)^2$$
$$=\left (\frac{2}{3}\right)^2 \cdot\left (\frac{1}{5}\right)^2$$
$$= \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5}\right)^2 $$
$$= \left(\frac{2}{15}\right)^2$$
Exemple 6:
$\ (x^2 y^3)(x^5 y^4 )$
la Solution:
la Multiplication est associative si la commande de supports de ne pas faire une différence. Les facteurs ayant les mêmes bases sont multipliés comme expliqué précédemment, de sorte que leurs exposants sont ajoutés.,
$ (x^2 \cdot y^3)(x^5 \cdot y^4) = x^2 \cdot x^5 \cdot y^3 \cdot y^4 = x^7 \cdot y^7 = (xy)^7$
Division
Comme pour la multiplication, il y a deux règles de base pour la répartition des exposants.
la première règle-lorsque les bases sont les mêmes, leurs exposants sont soustraits.
Par exemple: $\ 2^2 : 2 = \frac{2^2}{2} = 2^{2 – 1} = 2^1 = 2$, qui peut facilement être vérifié depuis $4 : 2 = 2$.
Par exemple: $\ 2^{-2} : 2^{-1} =\frac{2^{-2}}{2^{-1} }= 2^{-2-(-1)} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.,
La deuxième règle – si les bases sont différentes, mais les exposants sont les mêmes, les bases sont divisés et les exposants restent les mêmes.
Par exemple: $\ 2^2 : 3^2 = \frac{2^2}{3^2 } = (2 : 3)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2$.
Exemple 7:
$\frac{4^2}{4^3} + \frac{1}{2} = ?$
la Solution:
$\frac{4^2}{4^3} + \frac{1}{2} = 4^{2 – 3} + \frac{1}{2} = 4^{-1} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1 + 2}{4} = \frac{3}{4}$
Exemple 8:
$\frac{4^5}{4^{-2}} – 0.2 \cdot {4} + \frac{1}{2} \cdot {2^8} = ?,$
la Solution:
$\frac{4^5}{4^{-2}} – 0.2 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 2^8 = 4^{5 – (-2)} – \frac{2}{10} \cdot 4 + \frac{2^8}{2^1} = 4^{5 + 2} – \frac{1}{5} \cdot 4 + 2^{8 – 1} = 4^7 – \frac{4}{5} + 2^7$
Exemple 9:
$\frac{18x^5y^6a^2}{6xy^2a^5} = ?Solution
Solution:
\\frac{18x^5y^6a^2}{6xy^2a^5} = 3x^{5 – 1}y^{6 – 2}a^{2 – 5} = 3x^4y^4a^{-3} = \ frac{3x^4Y^4}{a^3}
Si, comme dans cet exemple, une tâche n’implique que division et multiplication, la fraction peut être divisée en deux fractions plus petites.,
$\frac{x^2y^3 + x^5y}{xy} = \frac{x^2y^3}{xy} + \frac{x^5y}{xy} = xy^2 + x^4$
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