Voir la liste des deuxièmes moments de l’aire pour les autres formes.,\mathrm {d} A=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}y^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {D} x=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}{\frac {1}{3}}{\frac {h^{3}}{4}}\,\mathrm {d} x={\frac {bh^{3}}{12}}\\Si vous avez besoin D’une carte de crédit, vous pouvez utiliser la carte de crédit de votre choix pour obtenir une carte de crédit ou une carte de crédit de votre choix.\, \mathrm{D} x=\int _{- {\frac {b} {2}}}^{\frac {b} {2}} HX^{2}\,\mathrm {D} x={\frac {b^{3} h} {12}} \end{aligned}}}
en utilisant le théorème de l’axe perpendiculaire, nous obtenons la valeur de J Z{\displaystyle j_ {z}}.,
J z = I x + I y = b h 3 12 + h b 3 12 = b h 12 ( b 2 + h 2 ) {\displaystyle J_{z}=I_{x}+I_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}+{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {bh}{12}}\left(b^{2}+h^{2}\right)}
l’Anneau centré à originEdit
Anneau avec le rayon intérieur r1 et de rayon extérieur r2
Considérons un anneau dont le centre est à l’origine, en dehors de rayon r 2 {\displaystyle r_{2}} , et à l’intérieur de rayon r 1 {\displaystyle r_{1}} . En raison de la symétrie de l’anneau, le centroïde se trouve également à l’origine., On peut déterminer le moment polaire d’inertie, J z {\displaystyle J_{z}} , autour de l’axe z {\displaystyle z} par la méthode des formes composites. Ce moment d’inertie polaire est l’équivalent du moment d’inertie polaire d’un cercle de rayon r 2 {\displaystyle r_{2}} moins le moment d’inertie polaire d’un cercle de rayon r 1 {\displaystyle r_{1}} , à la fois centré à l’origine. Tout d’abord, dérivons le moment d’inertie polaire d’un cercle de rayon r {\displaystyle r} par rapport à l’origine., Dans ce cas , il est plus facile de calculer directement J z {\displaystyle J_{z}} car nous avons déjà r 2 {\displaystyle r^{2}}, qui a à la fois un composant x {\displaystyle x} et y {\displaystyle y}. Au lieu d’obtenir le deuxième moment de l’aire à partir des coordonnées cartésiennes comme cela a été fait dans la section précédente, nous calculerons I x {\displaystyle I_{x}} et J z {\displaystyle J_{z}} directement en utilisant les coordonnées polaires.,b3be53f037″>
=\iint \limites _{R}r^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{2}\left(r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}}{4}}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}r^{4}\end{aligné}}}
Maintenant, le moment d’inertie polaire z, {\displaystyle z} de l’axe de l’espace annulaire est tout simplement, comme indiqué ci-dessus, la différence de la seconde moments de la surface d’un cercle de rayon r 2 {\displaystyle r_{2}} et un cercle de rayon r 1 {\displaystyle r_{1}} .,
J z = J z , r 2 − J z , r 1 = π 2 r 2 4 − π 2 r 1 4 = π 2 ( r 2 4 − r 1 4 ) {\displaystyle J_{z}=J_{z,r_{2}}-J_{z,r_{1}}={\frac {\pi }{2}}r_{2}^{4}-{\frac {\pi }{2}}r_{1}^{4}={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)}
Sinon, nous pourrions changer les limites de la d de la r {\displaystyle \mathrm {d} r} intégral la première fois autour de afin de refléter le fait qu’il y a un trou. Ce serait fait comme cela.,r 2 r 2 ( r d r d θ ) = ∫ 0 2 π ∫ r 1 r 2 r 3 d r d θ = ∫ 0 2 π d θ = π 2 ( r 2 4 − r 1 4 ) {\displaystyle {\begin{aligné}J_{z}&=\iint \limites _{R}r^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{2}\left(r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{3}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }\left\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)\end{aligné}}}
Tout polygonEdit
Un simple polygone., Ici, n=6 {\displaystyle n = 6} , notez que le point « 7 » est identique au point 1.
le deuxième moment de l’Aire sur l’origine pour tout polygone simple sur le plan XY peut être calculé en général en additionnant les contributions de chaque segment du polygone après avoir divisé l’aire en un ensemble de triangles. Cette formule est liée à la formule du lacet et peut être considérée comme un cas particulier du théorème de Green.
un polygone est supposé avoir n {\displaystyle n} sommets, numérotés dans le sens antihoraire., Si les sommets des polygones sont numérotés dans le sens horaire, les valeurs renvoyées seront négatives, mais les valeurs absolues seront correctes.,y i + 1 − x i + 1 y i ) ( x i y i + 1 + 2 x i y i + 2 x i + 1 et i + 1 + x i + 1 y i ) {\displaystyle {\begin{aligné}I_{y}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2}\right)\\I_{x}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(y_{i}^{2}+y_{i}y_{i+1}+y_{i+1}^{2}\right)\\I_{xy}&={\frac {1}{24}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}y_{i+1}+2x_{i}y_{i}+2x_{i+1}y_{i+1}+x_{i+1}y_{i}\right)\end{aligned}}}