Écarts au carré par rapport à la moyenne

dans la situation où des données sont disponibles pour k différents groupes de traitement ayant une taille ni où i varie de 1 à k, alors on suppose que la moyenne attendue de chaque groupe est

E ⁡ ( μ i ) = μ + T i {\displaystyle \operatorname {E} (\mu _{i})=\Mu +T_{i}}

et le groupe est inchangé par rapport à la variance de population σ 2 {\displaystyle \Sigma ^{2}} .,

sous L’hypothèse nulle que les traitements n’ont aucun effet, alors chacun des T i {\displaystyle t_{i}} sera nul.,i ) {\displaystyle T=\sum _{i=1}^{k}\left(\left(\sum x\right)^{2}/n_{i}\right)} E ⁡ ( T ) = k σ 2 + ∑ i = 1 k n i ( μ + T i ) 2 {\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+\sum _{i=1}^{k}n_{i}(\mu +T_{i})^{2}} E ⁡ ( T ) = k σ 2 + n μ 2 + 2 µ ∑ i = 1 k ( n i T i ) + ∑ i = 1 k n i ( T i ) 2 {\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}+2\mu \sum _{i=1}^{k}(n_{i}T_{i})+\sum _{i=1}^{k}n_{i}(T_{i})^{2}}

Sous l’hypothèse nulle que les traitements provoquent pas de différences et de toutes les T i {\displaystyle T_{i}} est égale à zéro, l’attente se simplifie à

E ⁡ ( T ) = k σ 2 + n μ 2 ., {\displaystyle \ operatorname {E} (T)=K\sigma ^{2}+n\mu ^{2}.,C)=\sigma ^{2}+n\mu ^{2}}

Sommes des carrés des deviationsEdit

E ⁡ ( I − C ) = ( n − 1 ) σ 2 {\displaystyle \operatorname {E} (I-C)=(n-1)\sigma ^{2}} totale des carrés des écarts aka total somme des carrés E ⁡ ( T − C ) = ( k − 1 ) σ 2 {\displaystyle \operatorname {E} (T-C)=(k-1)\sigma ^{2}} traitement des carrés des écarts aka expliqué somme des carrés E ⁡ ( I − T ) = ( n − k ) σ 2 {\displaystyle \operatorname {E} (it)=(n-k)\sigma ^{2}} résiduelle des carrés des écarts aka somme résiduelle des carrés

Les constantes (n − 1), (k − 1) et (n − k) normalement le nombre de degrés de liberté.,

ExampleEdit

Dans un exemple très simple, 5 observations proviennent de deux traitements. Le premier traitement donne trois valeurs 1, 2, et 3, et le traitement de deuxième donne deux valeurs 4 et 6.

je = 1 2 1 + 2 2 1 + 3 2 1 + 4 2 1 + 6 2 1 = 66 {\displaystyle I={\frac {1^{2}}{1}}+{\frac {2^{2}}{1}}+{\frac {3^{2}}{1}}+{\frac {4^{2}}{1}}+{\frac {6^{2}}{1}}=66} T = ( 1 + 2 + 3 ) 2 3 + ( 4 + 6 ) 2 2 = 12 + 50 = 62 {\displaystyle T={\frac {(1+2+3)^{2}}{3}}+{\frac {(4+6)^{2}}{2}}=12+50=62} C = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 6 ) 2 5 = 256 / 5 = 51.2 {\displaystyle C={\frac {(1+2+3+4+6)^{2}}{5}}=256/5=51.,2}

donnant

écarts carrés totaux = 66 − 51.2 = 14.8 avec 4 degrés de liberté. Traitement déviations au carré = 62 – 51.2 = 10.8 avec 1 degré de liberté. Écarts carrés résiduels = 66 – 62 = 4 avec 3 degrés de liberté.

analyse bidirectionnelle de la variancemodifier

L’exemple hypothétique suivant donne les rendements de 15 plantes soumises à deux variations environnementales différentes et à trois engrais différents.,

Cinq somme des carrés sont calculés:

Enfin, les sommes des carrés des écarts requis pour l’analyse de la variance peut être calculée.,