Äänenvoimakkuutta tunnusluvut kartio, pallo ja sylinteri on sama säde ja heightEdit
kartio, pallo ja sylinteri, jonka säde on r ja korkeus h
edellä mainittuja kaavoja voidaan käyttää osoittamaan, että määriä kartio, pallo ja sylinteri on sama säde ja korkeus ovat suhteessa 1 : 2 : 3, seuraava.,
Anna säde on r ja korkeus on h (joka on 2r alalla), sitten tilavuus kartio on
1 3 π r 2 h = 1 3 π r 2 ( 2 r ) = ( 2 3 π r 3 ) x 1 , {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}h={\frac {1}{3}}\pi r^{2}\left(2r\right)=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\times 1,}
määrä alalla on
4 3 π r 3 = ( 2 3 π r 3 ) x 2 , {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\times 2,}
kun sylinterin tilavuus on
π r 2 h = π r 2 ( 2 r ) = ( 2 3 π r 3 ) x 3., {\displaystyle \pi r^{2}h=\pi r^{2}(2r)=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\times 3.}
pallon ja sylinterin tilavuuksien 2 : 3-suhteen löytyminen hyvitetään Arkhimedeelle.
Tilavuus kaava derivationsEdit
SphereEdit
– tilavuus pallo on kiinteä ääretön määrä äärettömän pieni pyöreä levyt paksuus on dx. Laskenta tilavuuden keskellä 0 ja säde r on seuraava.
pinta-ala pyöreä levy on π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}} .,
säde pyöreä levyt, jotka on määritelty siten, että x-akseli leikkaa kohtisuoraan läpi, on
y = r 2 − x 2 {\displaystyle y={\sqrt {r^{2} x^{2}}}}
tai
z = r 2 − x 2 {\displaystyle z={\sqrt {r^{2} x^{2}}}}
jos y tai z voidaan ottaa edustavat säde levyn tietyn x-arvon.
Käyttämällä y levyn säde, tilavuus pallo voidaan laskea
∫ − r r g y 2 d x = ∫ − t r π ( r 2 − x 2 ) d x . {\displaystyle \int _{r}^{r}\pi y^{2}\,dx=\int _{r}^{r}\pi \left(r^{2} x^{2}\right)\,dx.,}
Nyt
∫ − r r-d r 2 d x − ∫ − r r g x 2 d x = π ( r 3 + r 3 ) − π 3 ( t 3 + t 3 ) = 2 π r 3 − 2 π r 3 3 . {\displaystyle \int _{r}^{r}\pi r^{2}\,dx-\int _{r}^{r}\pi-x^{2}\,dx=\pi \left(r^{3}+r^{3}\right)-{\frac {\pi }{3}}\left(r^{3}+r^{3}\right)=2\pi r^{3}-{\frac {2\pi r^{3}}{3}}.}
yhdistämällä saadaan V = 4 3 π R 3 . {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}
Tämä kaava voidaan määrittää nopeasti käyttämällä kaavaa varten pallon pinta-alasta, joka on 4 π r 2 {\displaystyle 4\pi r^{2}} ., Tilavuus pallo koostuu kerroksista äärettömän ohut pyöreät kuoret, ja pallon tilavuus on yhtä suuri kuin
∫ 0 r 4 π r 2 d r = 4 3 π r 3 . {\displaystyle \int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,dr={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}
ConeEdit
kartio on eräänlainen pyramidin muotoinen. Pyramidien Perusyhtälö, joka on kolmannes perusajan korkeudesta, koskee myös kartioita.
Kuitenkin, käyttämällä calculus, tilavuus cone on olennainen ääretön määrä äärettömän ohut pyöreä levyt paksuus on dx., Laskenta tilavuus kartion korkeus h, jonka pohja on keskitetty (0, 0, 0) ja säde r, on seuraava.
säde jokainen pyöreä levy on r, jos x = 0, ja 0, jos x = s, ja vaihtelee lineaarisesti välillä—se on,
r h − x h . {\displaystyle r {\frac {h-x} {h}}.}
pinta-ala pyöreä levy ei sitten
π ( r-h − x h ) 2 = π r 2 ( h − x ) 2 s 2 . {\displaystyle \pi \left(r{\frac {s-x}{s}}\right)^{2}=\pi r^{2}{\frac {(h-x)^{2}}{s^{2}}}.,}
tilavuus kartio voi sitten lasketaan
∫ 0 h g r 2 ( h − x ) 2 s 2 d x , {\displaystyle \int _{0}^{h}\pi r^{2}{\frac {(h-x)^{2}}{s^{2}}}dx}
ja kun louhinta vakiot
π r 2 h 2 ∫ 0 h ( h − x ) 2 d x {\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{s^{2}}}\int _{0}^{s}(s-x)^{2}dx}
Integrointi antaa meille
π r 2 s 2 ( s 3 3 ) = 1 3 π r 2 h . {\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{s^{2}}}\left({\frac {s^{3}}{3}}\oikeassa)={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.}