Momentum (Suomi)

Momentum on vektorisuure: sillä on sekä magnitudi että suunta. Koska vauhti on suunta, se voidaan ennustaa, tuloksena suunta ja nopeus liikkeen esineitä, kun he törmäävät. Alla momentumin perusominaisuudet kuvataan yhdessä ulottuvuudessa. Vektoriyhtälöt ovat lähes identtisiä skalaariyhtälöiden kanssa (ks.useita mittoja).

Yksihiukkanen

hiukkasen liikemäärä esitetään perinteisesti kirjaimella p., Se on tuote kaksi määrät, hiukkasen massa (edustaa kirjain m) ja nopeuden (v):

p = m v . {\displaystyle p=mv.}

liikemäärän yksikkö on massan ja nopeuden yksikköjen tuote. SI-yksiköissä, jos massa on kilogrammoina ja nopeus metreinä sekunnissa, liikemäärä on kilogrammoina metreinä sekunnissa (kg⋅m/s). Jos cgs-yksiköissä massa on grammoina ja nopeus senttimetreinä sekunnissa, liikemäärä on grammoina senttimetreinä sekunnissa (g⋅cm/s).

koska momentum on vektori, momentumilla on magnitudi ja suunta., Esimerkiksi, 1 kg malli lentokone, matkustaminen pohjoiseen 1 m/s suoran ja tason lento, on vauhtia 1 kg⋅m/s pohjoiseen mitattuna suhteessa maahan.

monet hiukkaset

hiukkasjärjestelmän liikemäärä on niiden momentan vektorisumma. Jos kaksi hiukkaset ovat vastaavat massat m1 ja m2, ja nopeudet v1 ja v2, yhteensä vauhtia on

p = p 1 + p 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}p&=p_{1}+p_{2}\\&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\,.,\end{aligned}}}

momenta yli kaksi hiukkaset voidaan lisätä yleisemmin seuraavat:

s = ∑ i m i v i . {\displaystyle p = \sum _ {i}M_{i}v_{i}.}

järjestelmä hiukkasia on keskellä massa, kohta määräytyy painotettu summa niiden kannat:

r cm = m 1 u 1 + m 2 r 2 + ⋯ m 1 + m 2 + ⋯ = ∑ i m i r i ∑ i m i . {\displaystyle r_{\text{cm}}={\frac {m_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}+\cdots }{m_{1}+m_{2}+\cdots }}={\frac {\sum \rajat _{i}m_{en}r_{en}}{\sum \rajat _{i}m_{en}}}.,}

Jos yksi tai useampi hiukkasista liikkuu, myös systeemin massan keskipiste liikkuu yleensä (ellei systeemi ole puhtaassa pyörimisliikkeessä sen ympärillä). Jos kokonaismassa hiukkasia on m {\displaystyle m} , ja keskustassa massa liikkuu nopeudella vcm, vauhtia järjestelmä on:

p = m v cm . {\displaystyle p=mv_{\text{cm}}.}

Tämä tunnetaan Eulerin ensimmäisenä lakina.

Osalta voimaan

Jos voima F net soveltaa hiukkanen on vakio, ja on haettu aikaväli Δt, vauhtia hiukkasen muutoksia määrällä,

Δ p = F Δ t ., {\displaystyle \Delta p=F\Delta t\,.}

differentiaali-muodossa, tämä on Newtonin toinen laki; muutosnopeus vauhtia hiukkanen on yhtä suuri hetkellinen voima F toimii se,

F = d p d t . {\displaystyle F={\frac {dp}{dt}}.}

Jos net voima kokenut hiukkanen muuttuu ajan funktiona, F(t), muutos vauhtia (tai impulssi J ) välillä ajat t1 ja t2 on

Δ p = J = ∫ t 1 t 2 F ( t ) d t . {\displaystyle \Delta p=J=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F(t)\,dt\,.,}

Impulse on mitattu johdetut yksiköt newtonin toinen (1 N⋅s = 1 kg⋅m/s) tai dyne toinen (1 dyne⋅s = 1 g⋅cm/s)

olettaen, että sen massa on vakio m, se vastaa kirjoittaa

F = d ( m v ) d t = m d v d t = m a , {\displaystyle F={\frac {d(mv)}{dt}}=m{\frac {dv}{dt}}=ma,}

joten nettovoima on yhtä suuri kuin massa hiukkasen kertaa sen kiihtyvyys.

Esimerkki: malli lentokoneen massa 1 kg kiihdyttää levosta nopeudella 6 m/s pohjoiseen 2 s. Net voima, joka tarvitaan tuottamaan tämä kiihtyvyys on 3 newtonin pohjoiseen., Liikemäärän muutos on 6 kg⋅m/s pohjoisesta. Momentumin muutosnopeus on 3 (kg⋅m/s)/s pohjoiseen, mikä vastaa numeerisesti 3 newtonia.

Säilyttäminen

suljettu järjestelmä (yksi, joka ei ole vaihtanut mitään väliä ympäristönsä kanssa ja ei toiminut, joita ulkoiset voimat) yhteensä vauhti on vakio. Tätä liikemäärän säilymisen lakina tunnettua tosiasiaa vihjaavat Newtonin liikelait. Oletetaan esimerkiksi, että kaksi hiukkasta vuorovaikutuksessa. Kolmannen lain vuoksi niiden väliset voimat ovat tasa-arvoisia ja vastakkaisia., Jos hiukkaset on numeroitu 1 ja 2, toisen lain mukaan F1 = DP1/dt ja F2 = dp2/dt. Siksi,

d p 1 d t = − d-p 2 d t , {\displaystyle {\frac {dp_{1}}{dt}}=-{\frac {dp_{2}}{dt}},}

negatiivinen merkki osoittaa, että voimia vastustaa. Vastaavasti

D D t (p 1 + p 2) = 0. {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(p_{1}+p_{2}\right)=0.}

Jos nopeudet hiukkaset ovat u1 ja u2 ennen vuorovaikutusta, ja sen jälkeen he ovat v1 ja v2, niin

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.,}

Tämä laki pätee riippumatta siitä, kuinka monimutkainen voima on hiukkasten välillä. Vastaavasti jos hiukkasia on useita, jokaisen hiukkasparin välillä vaihdettu liikemäärä nousee nollaan, joten liikemäärän kokonaismuutos on nolla. Tätä suojelulakia sovelletaan kaikkiin vuorovaikutuksiin, mukaan lukien räjähdevoimien aiheuttamat törmäykset ja erotukset. Se voi myös olla yleistynyt tilanteita, joissa Newtonin lait eivät pidä, esimerkiksi suhteellisuusteoria ja elektrodynamiikka.,

Riippuvuus viitekehyksen

Vauhti on mitattavissa oleva määrä, ja mittaus riippuu kokijan tuntemuksista., Esimerkiksi: jos omena on istuu lasi hissi, joka on laskeva, ulkopuolinen tarkkailija, katse hissi, näkee applen liikkuvat, niin, että tarkkailija, apple on ei-nolla vauhtia. Jollekin hissin sisällä olevalle omena ei liiku, joten sillä on nolla momentumia. Kaksi tarkkailijaa jokainen on viitekehys, jossa he tarkkailla liikkeet, ja, jos hissi on tasaisesti laskeva, he näkevät käyttäytymistä, joka on yhdenmukainen sen kanssa, samat fysiikan lait.

Oletetaan, että hiukkasella on Asema x paikallaan olevassa viitekehyksessä., Vuodesta näkökulmasta toinen viitekehys, liikkuvat tasaisella nopeudella u, asema (edustaa pohjamaalattu-koordinaatti) muuttuu ajan kuin

x ’ = x − u t . {\displaystyle x ’ =x-ut\,.}

tätä kutsutaan Galilealaiseksi transformaatioksi. Jos hiukkanen liikkuu nopeudella dx/dt = v ensimmäinen viitekehys, toisessa, se liikkuu nopeudella

v ’= d x ’ d t = v − u . {\displaystyle v’={\frac {dx’}{dt}}=v-u\,.}

Koska u ei muutu, kiihtyvyydet ovat samat:

’ = d v d t = a . {\displaystyle a’={\frac {dv’}{dt}}=a\,.,}

siten momentum säilyy molemmissa viitekehyksissä. Lisäksi Newtonin toinen laki on muuttumaton niin kauan kuin voima on molemmissa kehyksissä samassa muodossa. Newtonilaisen painovoiman kaltaiset voimat, jotka riippuvat vain kappaleiden skalaarisesta etäisyydestä, täyttävät tämän kriteerin. Tätä viitekehyksen riippumattomuutta kutsutaan Newtonilaiseksi suhteellisuusteoriaksi tai Galilealaiseksi invarianssiksi.

viitekehyksen muutos, voi usein yksinkertaistaa liikkeen laskelmia. Esimerkiksi kahden hiukkasen törmäyksessä voidaan valita viitekehys, jossa yksi hiukkanen alkaa levossa., Toinen, yleisesti käytetty viitekehys, on massakehyksen keskipiste-sellainen, joka liikkuu massakeskiön kanssa. Tässä kehyksessä kokonaismomentti on nolla.

Sovellus törmäykset

kun itse laki liikemäärän säilyminen ei riitä määrittää liikkeen hiukkasten törmäyksen jälkeen. Liikkeen toinen ominaisuus, kineettinen energia, on tunnettava. Tämä ei välttämättä säily. Jos törmäys on väistämätön, sitä kutsutaan elastiseksi törmäykseksi; jos näin ei ole, kyseessä on inelastinen törmäys.,

Elastinen törmäykset

Elastinen törmäys on yksi, joka ei ole liike-energiaa imeytyy törmäyksessä. Täysin elastinen ”törmäyksiä” voi esiintyä, kun esineet eivät kosketa toisiaan, kuten esimerkiksi atomi-tai ydinvoima-sironta, jossa sähköinen repulsio pitää heidät erossa toisistaan., Planeetan ympäri kulkevaa satelliittia voidaan pitää myös täysin kimmoisana törmäyksenä. Törmäys kahden allas pallot on hyvä esimerkki lähes täysin kimmoinen törmäys, koska niiden korkea jäykkyys, mutta kun ruumiit kosketuksiin on aina jonkin verran hajoamista.

head-elastinen törmäys kahden elimen välillä voi edustaa nopeudet yksi ulottuvuus, pitkin linjaa, joka kulkee ruumiit., Jos nopeudet ovat u1 ja u2 ennen törmäystä, ja v1 ja v2: n jälkeen, yhtälöt ilmaista liikemäärän säilyminen ja liike-energia ovat:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 1 2 m 1 u 1 2 + 1 2 m 2 u 2 2 = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\\{\tfrac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}&={\tfrac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\,.\end{aligned}}

viitekehyksen muutos voi yksinkertaistaa törmäyksen analysointia., Oletetaan esimerkiksi, että on kaksi kappaletta yhtä suuri massa m, yksi paikallaan ja toinen lähestyy toista nopeudella v (kuten kuvassa). Massan keskipiste liikkuu nopeudella v/2 ja molemmat kappaleet liikkuvat sitä kohti nopeudella v/2. Symmetrian vuoksi törmäyksen jälkeen molempien on liikuttava pois massan keskipisteestä samalla nopeudella. Lisäämällä massan keskipisteen nopeuden molempiin huomaamme, että liikkunut ruumis on nyt pysäytetty ja toinen liikkuu pois nopeudella v. ruumiit ovat vaihtaneet nopeutensa., Riippumatta kappaleiden nopeuksista, massakehyksen keskipisteeseen siirtyminen johtaa samaan johtopäätökseen. Näin ollen lopulliset nopeudet annetaan

v 1 = u 2 v 2 = u 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}&=u_{2}\\v_{2}&=u_{1}\,.,\end{aligned}}}

yleensä, kun alkuperäisen nopeudet ovat tiedossa, lopullinen nopeudet ovat antaneet

v 1 = ( m 1 − m 2 m 1 + m 2 ) u 1 + ( 2 m 2 m 1 + m 2 ) u 2 {\displaystyle v_{1}=\left({\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}+\left({\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{2}\,} v 2 = ( m 2 − m 1 m 1 + m 2 ) u 2 + ( 2 m 1 m 1 + m 2 ) u 1 . {\displaystyle v_{2}=\left({\frac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{2}+\left({\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}\,.,}

Jos yksi elin on paljon suurempi massa kuin muut, sen nopeus tulee olemaan vähän vaikuttaa törmäyksen yhteydessä, kun muu keho kokee suuria muutoksia.

Joustamatonta törmäykset

joustamatonta törmäys, osa liike-energia törmäyksen elinten on muuntaa muihin energiamuotoihin (kuten lämpöä tai ääntä)., Esimerkkejä ovat liikenne törmäykset, jossa vaikutus menetys kineettinen energia voidaan nähdä vahinkoa ajoneuvot; elektronit menettää joitakin niiden energiaa atomien (kuten Franck–Hertz kokeilu), ja hiukkaskiihdyttimet, jossa kineettinen energia muunnetaan massa muodossa uusia hiukkasia.

täysin joustamatonta törmäys (kuten bug lyömällä tuulilasiin), molemmat elimet ovat saman liikkeen jälkeen. Kahden kappaleen välinen nokkakolari voidaan esittää nopeuksilla yhdessä ulottuvuudessa, pitkin runkojen läpi kulkevaa linjaa., Jos nopeudet ovat u1 ja u2 ennen törmäystä sitten täysin joustamatonta sekä törmäys elinten matkustaa nopeudella v törmäyksen jälkeen. Yhtälö ilmaista liikemäärän säilyminen on:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = ( m 1 + m 2 ) v . {\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\,.\end{aligned}}

Jos yksi kappale on liikkumaton aluksi (esim., u 2 = 0 {\displaystyle u_{2}=0} ), yhtälö liikemäärän säilyminen on

m 1 u 1 = ( m 1 + m 2 ) v , {\displaystyle m_{1}u_{1}=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\,,}

v = m 1 m 1 + m 2 u 1 . {\displaystyle v={\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1}\,.}

eri tilanteessa, jos viitekehys on siirtymässä lopullinen nopeus siten, että v = 0 {\displaystyle v=0} , esineet olisi tuonut loput täysin joustamatonta törmäys ja 100% kineettinen energia muunnetaan muihin energiamuotoihin., Tällöin kappaleiden alkuperäinen nopeus olisi ei-nolla, tai ruumiiden täytyisi olla massattomia.

Yksi mitta joustamattomuus ja törmäys on kerroin palauttamista CR, määritellään suhde suhteellinen nopeus erottaminen suhteellisen nopeuden lähestymistapaa. Kun tätä mittaa sovelletaan kiinteästä pinnasta pomppivaan palloon, tämä voidaan mitata helposti seuraavalla kaavalla:

C R = pomppukorkeuden pudotuskorkeus . {\displaystyle C_{\text{T}}={\sqrt {\frac {\text{pomppia korkeus}}{\text{pudota korkeus}}}}\,.,}

momentum – ja energiayhtälöt pätevät myös kappaleiden liikkeisiin, jotka alkavat yhdessä ja liikkuvat sitten toisistaan. Esimerkiksi, räjähdys on seurausta ketjureaktion, joka muuttaa potentiaalienergia tallennettu kemiallinen, mekaaninen tai ydinvoiman muodossa osaksi kineettinen energia, akustisen energian ja sähkömagneettisen säteilyn. Rockets myös käyttää liikemäärän säilyminen: ponneaine on työntövoima ulospäin, saamassa vauhtia, ja yhtäläinen ja vastakkainen vauhti on välittänyt raketti.,

Useita ulottuvuuksia

Reaaliliikkeellä on sekä suunta että nopeus, ja sitä on edustettava vektorilla. Koordinaatistossa x -, y -, z-akselien suhteen, nopeus on komponentit vx x-suuntaan, vy y-suuntaan, vz z-suuntaan., Vektori edustaa tunnettu symboli:

v = ( v x , v y , v z ) . {\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right).}

Samoin, vauhti on vektorisuure ja edustaa tunnettu symboli:

p = ( p x , p y , p z ) . {\displaystyle \mathbf {s} =\left(p_{x},p_{y},p_{z}\right).}

yhtälöt edellisissä osissa, työ vektori muodossa, jos skalaarit, p ja v korvataan vektorit p ja v. Jokainen vektori yhtälö edustaa kolme skalaari yhtälöt., Esimerkiksi,

p = m v {\displaystyle \mathbf {s} =m\mathbf {v} }

on kolme yhtälöt:

p x = m v x p y = m v y p z = m v z . {\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}&=mv_{x}\\p_{y}&=mv_{y}\\p_{z}&=mv_{z}.\end{aligned}}

kineettiset energiayhtälöt ovat poikkeuksia edellä mainittuun korvaussääntöön. Yhtälöt ovat edelleen yksi-ulotteinen, mutta jokainen skalaari edustaa suuruus vector, esimerkiksi,

v 2 = v x 2 + v y 2 + v z 2 . {\displaystyle v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\,.,}

jokainen vektoriyhtälö edustaa kolmea skalaariyhtälöä. Usein koordinaatit voidaan valita niin, että tarvitaan vain kaksi komponenttia, kuten kuvassa. Jokainen komponentti saadaan erikseen ja tulokset yhdistetään vektorituloksen tuottamiseksi.

yksinkertainen rakenne, johon center of massa runko voidaan osoittaa, että jos paikallaan elastinen pallo on iski liikkuva pallo, kaksi pään kulmassa törmäyksen jälkeen (kuten kuvassa).,

Objektit muuttujan massa

käsite vauhtia on keskeinen rooli selittää käyttäytymistä muuttuja-massa esineitä, kuten raketti irrottaminen polttoaineen tai tähti accreting kaasua. Analysoidessaan tällaista objektia ihminen käsittelee kappaleen massaa funktiona, joka vaihtelee ajan mukaan: m(t). Vauhtia kohde hetkellä t on siis p(t) = m(t)v(t)., Voisi sitten yrittää vedota Newtonin toinen laki liikkeen sanomalla, että ulkoinen voima F kohde liittyy sen liikemäärä p(t) F = dp/dt, mutta tämä on virheellinen, koska on liittyvä ilmaus löytynyt soveltamalla tuotteen sääntö d(mv)/dt:

F = m ( t ) d v d t + v ( t ) d m d t . {\displaystyle F=m(t){\frac {dv}{dt}}+v(t){\frac {dm}{dt}}.} (virheellinen)

tämä yhtälö ei kuvaa oikein muuttuvamassaisten kappaleiden liikettä., Oikea yhtälö on

F = m ( t ) d v d-t − u-k-m k-t , {\displaystyle F=m(t){\frac {dv}{dt}} u{\frac {dm}{dt}},}

missä u on virtausnopeus ulos/accreted massa nähty objektin muu runko. Tämä eroaa v: stä, joka on itse kappaleen nopeus inertiaalikehyksessä nähtynä.

Tämä yhtälö on johdettu pitää kirjaa sekä vauhtia kohde sekä vauhtia ulos/accreted massa (dm). Yhdessä tarkasteltuna objekti ja massa (DM) muodostavat suljetun järjestelmän, jossa kokonaismomentti säilytetään.,

P ( t + k t) = (m – D-m) (v + D v) + D m (V-u) = m v + m K v-u D M = P(t ) + m D v − U D M {\displaystyle P (t+dt) = (m-dm) (V+dv) + dm(v-U) = mv + mdv-udm=P (t) + mdv-udm}