vaikka matemaatikot on käytetty yli 2000 vuotta dissecting rakenteen viisi Platoninen kiintoaineita — tetraedri, kuutio, octahedron, ikosaedri ja dodekaedri — siellä on vielä paljon, mitä emme tiedä niistä.
nyt matemaatikkojen kolmikko on ratkaissut yhden dodekaedrin peruskysymyksistä.
Oletetaan, että seisot platonisen Solidin kulmissa., Onko olemassa jokin suora polku, joka lopulta palauttaisi sinut lähtöpisteeseesi kulkematta minkään muun mutkan läpi? Neljä Platoninen kiintoaineita rakennettu neliö tai tasasivuinen kolmioita — kuutio, tetraedri, octahedron, ja icosahedron — matemaatikot viime aikoina tajunnut, että vastaus on ei. Mikä tahansa mutkasta alkava suora polku osuu joko toiseen kulmaan tai tuulee ympäriinsä ikuisesti palaamatta kotiin. Mutta dodekaedrin kanssa, joka muodostuu 12 Pentagonista, matemaatikot eivät tienneet, mitä odottaa.,
Nyt Jayadev Athreya, David Aulicino ja Patrick Hooper ovat osoittaneet, että ääretön määrä tällaisia polkuja on itse asiassa olemassa dodekaedri. Heidän paperinsa, joka julkaistiin toukokuussa kokeellisessa matematiikassa, osoittaa, että nämä polut voidaan jakaa 31 luonnolliseen perheeseen.
ratkaisu vaati nykyaikaisia tekniikoita ja tietokonealgoritmeja., ”Kaksikymmentä vuotta sitten, oli täysin ulottumattomissa; 10 vuotta sitten, se vaatisi valtavasti vaivaa kirjoittaa kaikki tarvittavat ohjelmat, joten nyt vain kaikki tekijät tulivat yhdessä”, kirjoitti Anton Zorich, Institute of Mathematics, Jussieu Pariisissa, sähköpostia.
projekti alkoi vuonna 2016, kun Athreya, University of Washington, ja Aulicino, Brooklyn College, alkoi leikkii kokoelma kartonki, rei ’ ityksiä, että taittaa ylös Platoninen kiintoaineita., Niin he rakensivat erilaisia kiintoaineita, se tapahtui Aulicino, että viimeaikaisen tutkimuksen tasainen geometria voi olla vain mitä he tarvitsevat ymmärtää, suora polkuja, joiden. ”Me kirjaimellisesti kokosimme nämä asiat yhteen”, Athreya sanoi. ”Joten se oli eräänlainen joutilas etsintä täyttää mahdollisuuden.”
Yhdessä Hooper, City College of New Yorkissa, tutkijat tajunnut, miten luokitella kaikki suorat polut yhdestä nurkasta takaisin itse, että välttää muut kulmat.
heidän analyysinsä on ”elegantti ratkaisu”, sanoi Howard Masur Chicagon yliopistosta., ”Se on yksi näistä asioista, jossa voin sanoa epäröimättä:’ hyvänen aika, Olisinpa tehnyt niin!'”
Piilotettu Symmetries
Vaikka matemaatikot ovat arvelleet, suora polkuja, joiden yli vuosisadan, on ollut elpymistä kiinnostus aihe viime vuosina seuraavat voitot ymmärrys ”käännös pinnat.,”Nämä ovat pinnoille muodostunut liimaamalla yhteen rinnakkain puolin monikulmio, ja ne ovat osoittautuneet hyödyllistä opiskella monenlaisia aiheita, joihin liittyy suora polut muotoja kulmat, alkaen biljardipöytä liikeradat kysymykseen, kun yksi valo voi valaista koko peilattu huone.
kaikissa näissä ongelmissa perusajatuksena on purkaa muotoaan tavalla, joka tekee opiskelemistasi poluista yksinkertaisempia. Niin ymmärtää, suora polkuja Platoninen kiinteä, voit aloittaa leikkaamalla auki tarpeeksi reunat tehdä vankka olla tasainen, muodostaen mitä matemaatikot kutsuvat net., Esimerkiksi kuution yksi verkko on kuudesta ruudusta tehty T-muoto.
Kuvittele, että meillä on litistetty ulos dodekaedri, ja nyt olemme kävely pitkin litteä muoto joissakin valittuun suuntaan. Lopulta osumme verkon reunaan, jolloin polkumme hyppää eri Pentagoniin (kumpi tahansa oli liimattu nykyiseen Pentagoniin ennen kuin leikkaamme dodekaedrin auki). Aina kun polku hyppää, se myös pyörii noin useita 36 astetta.,
vältä kaikki tämä hyppii ja pyörii, kun me osuma reunan net voisimme sen sijaan liimaa uusi, kääntää kopion net ja jatkaa suoraan siihen. Nyt meillä on kaksi Pentagonia, jotka edustavat Pentagonia alkuperäisessä dodekaedronissa. Olemme tehneet maailmastamme monimutkaisemman-mutta tiemme on muuttunut yksinkertaisemmaksi. Voimme jatkaa uuden verkon lisäämistä aina, kun meidän on laajennettava maailmamme ulkopuolelle.,
kun tiemme on kulkenut 10 verkot, meillä pyöritetään meidän alkuperäinen net läpi kaikki mahdolliset useita 36 astetta, ja seuraavana net lisäämme on sama suunta kuin aloitimme. Tämä tarkoittaa, että tämä 11. Verkko liittyy alkuperäiseen yksinkertaisella siirrolla-mitä matemaatikot kutsuvat käännökseksi. Sen sijaan, että liimaus on 11 liikevaihto, me voisimme yksinkertaisesti liimaa reunan 10 net vastaavaan parallel edge-alkuperäinen net., Meidän muoto ei enää valhe pöydälle, mutta matemaatikot ajatella sitä vielä ”muistaa” tasainen geometria sen edellinen inkarnaatio — niin, esimerkiksi, polut pidetään suoraan, jos he olivat suoraan pilalla muoto. Kun teemme kaikki tällaiset mahdolliset liitokset vastaavista yhdensuuntaisista reunoista, päädymme niin sanottuun käännöspintaan.
tuloksena pinta on erittäin tarpeeton edustus dodekaedri, 10 kappaletta kutakin pentagon. Ja se on massiivisesti monimutkaisempi: se liimautuu muotoon kuin donitsi, jossa on 81 reikää., Kuitenkin, tämä monimutkainen muoto saa kolme tutkijaa käyttää rikas teoria käännös pinnat.
tämän jättimäisen pinnan taklaamiseksi matemaatikot käärivät hihansa — kuvaannollisesti ja kirjaimellisesti. Kun ongelman parissa muutaman kuukauden, he tajusivat, että 81-rei ’ itetty donitsin pinta muodostaa tarpeeton edustus ei vain dodekaedri, mutta myös yksi eniten tutkittu käännös pinnat., Kutsutaan kaksinkertainen pentagon, se tehdään kiinnittämällä kaksi Pentagonia pitkin yhtä reunaa ja sitten liimaamalla yhteen yhdensuuntaiset sivut luoda kaksi-holed donitsi rikas kokoelma symmetries.
tämäkin muoto sattui olemaan tatuoitu Athreyan käsivarteen. ”Double pentagon oli jotain, että olen jo tiesi ja rakasti,” sanoi Athreya, joka sai tatuointi vuosi, ennen kuin hän ja Aulicino alkoi miettiä dodekaedri.
Koska kaksinkertainen pentagon ja dodekaedri ovat geometrinen cousins, entinen on korkea symmetria voi valaista rakenne jälkimmäinen., Se on ”hämmästyttävä piilotettu symmetria,” sanoi Alex Eskin, University of Chicago (joka oli Athreya on jatko-neuvonantaja noin 15 vuotta sitten). ”Se, että dodekaedrilla on tämä piilotettu symmetriaryhmä, on mielestäni varsin huomattava.”