Laplacian matriisi

Laplacian matriisi voidaan tulkita matriisi edustus tietyssä tapauksessa, että diskreetti Laplace-operaattori. Tällainen tulkinta mahdollistaa yhden, esimerkiksi, yleistää Laplacian matriisin tapauksessa kuvaajat ääretön määrä kärkipisteet ja reunat, mikä Laplacian matriisi ääretön koko.

d ϕ i d t = − k ∑ j i j ( ϕ i − ϕ j ) = − k ( ϕ i ∑ j i j − ∑ j i j ϕ j ) = − k ( ϕ i deg ⁡ ( v i ) − ∑ j i j ϕ j ) = − k ∑ j ( δ i j astetta ⁡ ( v i ) − i j ) ϕ j = − k ∑ j ( ℓ i j ) ϕ j ., {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\phi _{en}}{dt}}&=-k\am _{j}A_{ij}\left(\phi _{i}-\phi _{j}\right)\\&=-k\left(\phi _{en}\am _{j}A_{ij}-\am _{j}A_{ij}\phi _{j}\right)\\&=-k\left(\phi _{i}\ \deg(v_{i})-\I _{j}A_{ij}\phi _{j}\right)\\&=-k\am _{j}\left(\delta _{ij}\ \deg(v_{i})-A_{ij}\right)\phi _{j}\\&=-k\am _{j}\left(\ell _{ij}\right)\phi _{j}.,\end{aligned}}}

matrix-vektorin notaatio,

d ϕ k t = − k ( K − A ) ϕ = − k L ϕ , {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\phi }{dt}}&=-k(K-A)\phi \\&=-kL\phi ,\end{aligned}}}

joka antaa

d ϕ k t + k L ϕ = 0. {\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}+kL\phi =0.}

Huomaa, että tämä yhtälö on samaa muotoa kuin lämmön yhtälö, jossa matriisi −L korvaa Laplacian operaattori ∇ 2 {\textstyle \nabla ^{2}} ; näin ollen ”kuvaaja Laplacian”.,

0 = d ( ∑ i c i ( t ) v i ) k t + k L ( ∑ i c i ( t ) v i ) = ∑ i = ∑ i ⇒ k c i ( t ) d t + k λ i c i ( t ) = 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\frac {k\left(\sum _{i}c_{i}(t)\mathbf {v} _{i}\right)}{dt}}+kL\left(\sum _{i}c_{i}(t)\mathbf {v} _{i}\right)\\=&\sum _{i}\left\\=&\sum _{i}\left\\\oikea nuoli: &{\frac {dc_{i}(t)}{dt}}+k\lambda _{i}c_{i}(t)=0,\\\end{aligned}}}

jonka ratkaisu on

c i ( t ) = c ( 0 ) e − k λ i t . {\displaystyle c_{i}(t)=c_{i}(0)e^{-k\lambda _{i}t}.,} c i ( 0 ) = ⟨ ϕ ( 0 ) , v ⟩ {\displaystyle c_{i}(0)=\left\langle \phi (0),\mathbf {v} _{i}\right\rangle } .

kun kyseessä suuntaamaton kaavioita, tämä toimii, koska L {\textstyle L} on symmetrinen, ja spectral lause, sen ominaisvektorit ovat ortogonaaliset. Joten projektio päälle ominaisvektorit L {\textstyle L} on yksinkertaisesti ortogonaalinen koordinoida muutosta alkuperäisen ehdon koordinaatit, jotka rappeutuminen eksponentiaalisesti ja toisistaan riippumatta.,

Tasapaino behaviorEdit

lim t → ∞ e − k λ i t = { 0, jos λ i > 0 1, jos λ i = 0 } {\displaystyle \lim _{t\to \infty }e^{-k\lambda _{i}t}=\left\{{\begin{array}{rlr}0&{\text{jos}}&\lambda _{i}>0\\1&{\text{jos}}&\lambda _{i}=0\end{array}}\right\}}

Toisin sanoen, tasapaino valtion järjestelmä määräytyy täysin ytimen L {\textstyle L} .,

seuraus tästä on, että tietyn alkuperäisen ehdon c ( 0 ) {\textstyle c(0)} for kuvaajan kanssa N {\textstyle N} vertices

lim t → ∞ ϕ ( t ) = ⟨ c ( 0 ) , v 1 ⟩ v 1 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\phi (t)=\left\langle c(0),\mathbf {v^{1}} \right\rangle \mathbf {v^{1}} }

, jossa

v 1 = 1 N {\displaystyle \mathbf {v^{1}} ={\frac {1}{\sqrt {N}}}} lim t → ∞ ϕ j ( t ) = 1 N ∑ i = 1 N c i ( 0 ) {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\phi _{j}(t)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}c_{i}(0)} .,

Toisin sanoen vakaassa tilassa, arvo ϕ {\textstyle \phi } suppenee sama arvo jokaisessa kärkipisteet kuvaaja, joka on keskimääräinen alkuperäisen arvot kaikki vertices. Koska tämä on ratkaisu lämmön diffuusioyhtälöön, tämä on täysin järkevää intuitiivisesti. Odotamme, että naapurimaiden elementtejä kaaviossa on vaihto energiaa, kunnes se energia on levittäytynyt tasaisesti koko kaikki elementit, jotka ovat yhteydessä toisiinsa.,

Esimerkki toimijan gridEdit

Tässä osiossa on esimerkki funktion ϕ {\textstyle \phi } hajottavaa ajan kautta kuvaaja. Kuvaaja tässä esimerkissä on rakennettu 2D-diskreetti ruudukko, jossa pisteitä verkkoon kytketty niiden kahdeksan naapureita. Kolmelle alkupisteelle on määritelty positiivinen arvo, kun taas muut ruudukon arvot ovat nolla. Ajan eksponentiaalisen vaimenemisen säädöksiä jakaa arvot näissä kohdissa tasaisesti koko verkkoon.

koko MATLABin lähdekoodi, jota käytettiin tämän animaation tuottamiseen, on alla., Se osoittaa prosessi, jossa täsmennetään edellytykset, ulkonevat nämä alkuehdot päälle ominaisarvot ja Laplacian Matriisi, ja simuloimalla eksponentiaalinen hajoaminen nämä ennustetaan alkuperäisiä ehtoja.