katso muiden muotojen luettelo alueen toisista momenteista.,\mathrm {d} A=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}} – y^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}{\frac {1}{3}}{\frac {s^{3}}{4}}\,\mathrm {d} x={\frac {bh^{3}}{12}}\\I_{y}&=\iint \rajat _{R}x^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}x^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}hx^{2}\,\mathrm {d} x={\frac {b^{3}, h}{12}}\end{aligned}}}
Käyttämällä kohtisuorassa akselin lause, saamme arvon J z {\displaystyle J_{z}} .,
J z = I x + I y = b h 3 12 + h b 3 12 = b s 12 ( b 2 + h 2 ) {\displaystyle J_{z}=I_{x}+I_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}+{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {n}{12}}\left(b^{2}+h^{2}\right)}
Annulus keskitetty originEdit
Renkaan sisempi säde on r1 ja ulomman säde r2
Harkita renkaan, jonka keskellä on alkuperä, ulkopuolella säde on r 2 {\displaystyle r_{2}} , ja sisällä säde on r-1 {\displaystyle r_{1}} . Annulusten symmetriasta johtuen myös centroidi on peräisin., Voimme määrittää polaarinen hitausmomentti, J z {\displaystyle J_{z}} , noin z {\displaystyle z} akseli menetelmällä composite muotoja. Tämä polaarinen hitausmomentti vastaa polaarinen hitausmomentti on ympyrän säde r 2 {\displaystyle r_{2}} miinus polaarinen hitausmomentti on ympyrän säde r 1 {\displaystyle r_{1}} , sekä keskitetty alkuperä. Ensimmäinen, olkaamme johtaa polaarinen hitausmomentti on ympyrän säde r {\displaystyle r} suhteen alkuperää., Tässä tapauksessa, se on helpompi laskea suoraan J z {\displaystyle J_{z}} koska meillä on jo t 2 {\displaystyle r^{2}} , joka on sekä x – {\displaystyle x} ja y {\displaystyle y} komponentti. Sen sijaan, saada toinen hetki alue Suorakulmaiset koordinaatit tehnyt edellisessä jaksossa, meidän on laskettava I x {\displaystyle I_{x}} ja J z {\displaystyle J_{z}} suoraan käyttämällä polar koordinaatit.,b3be53f037″>
=\iint \rajat _{R}r^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{2}\left(r\,\mathrm {d}, r\,\mathrm {d} \theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\,\mathrm {d}, r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}}{4}}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}r^{4}\end{aligned}}}
Nyt, polaarinen hitausmomentti noin z {\displaystyle z} akseli varten rengas on yksinkertaisesti, kuten edellä on todettu, ero toisen hetkiä-alue on ympyrän säde r 2 {\displaystyle r_{2}} ja ympyrän säde on r-1 {\displaystyle r_{1}} .,
J z = J z , t 2 − J z , r 1 = π 2 r 2 4 − π 2 r 1 4 = π 2 ( r 2 4 − r 1 4 ) {\displaystyle J_{z}=J_{z,r_{2}}-J_{z,r_{1}}={\frac {\pi }{2}}r_{2}^{4}-{\frac {\pi }{2}}r_{1}^{4}={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)}
Vaihtoehtoisesti voisimme muuttaa rajoituksia d r {\displaystyle \mathrm {d} r} olennainen ensimmäistä kertaa pohtia sitä, että siellä on reikä. Tämä tehtäisiin näin.,r 2 r 2 ( r d r d θ ) = ∫ 0 2 π ∫ r 1 r 2 r 3 d r d θ = ∫ 0 2 π π θ = π 2 ( r 2 4 − r 1 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}&=\iint \rajat _{R}r^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{2}\left(r\,\mathrm {d}, r\,\mathrm {d} \theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{3}\,\mathrm {d}, r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }\left\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}
Kaikki polygonEdit
yksinkertainen monikulmio., Tässä N = 6 {\displaystyle n=6} , huomautuspiste ” 7 ” on sama kuin piste 1.
toinen hetki alueella alkuperästä tahansa yksinkertainen monikulmio on XY-tasossa voidaan laskea yleensä summaamalla maksuosuudet kunkin segmentin monikulmion jälkeen jakamalla alue on jaettu joukko kolmioita. Tämä kaava liittyy kengännauhakaavaan ja sitä voidaan pitää Greenin lauseen erikoistapauksena.
monikulmiossa oletetaan olevan n {\displaystyle N} vertices, joka on numeroitu vastapäivään., Jos monikulmio vertices on numeroitu myötäpäivään, palautetut arvot ovat negatiivisia, mutta absoluuttiset arvot ovat oikeita.,y i + 1 − x i + 1 y i ) ( x i y i + 1 + 2 x i y i + 2 x i + 1 y i + 1 + x i + 1 y i ) {\displaystyle {\begin{aligned}I_{y}&={\frac {1}{12}}\summa _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2}\right)\\I_{x}&={\frac {1}{12}}\summa _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(y_{i}^{2}+y_{i}y_{i+1}+y_{i+1}^{2}\right)\\I_{xy}&={\frac {1}{24}}\summa _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}y_{i+1}+2x_{i}y_{i}+2x_{i+1}y_{i+1}+x_{i+1}y_{i}\right)\end{aligned}}}