relaciones de volumen para un cono, esfera y cilindro del mismo radio y altura edit
un cono, esfera y cilindro de radio r y altura h
Las fórmulas anteriores se pueden utilizar para mostrar que los volúmenes de un cono, esfera y cilindro de la el mismo radio y altura están en la relación 1 : 2 : 3, de la siguiente manera.,
Deje que el radio r y la altura h (que es 2r para la esfera), entonces el volumen del cono es
1 3 π r 2 h = 1 3 π r 2 ( 2 r ) = ( 2 3 π r 3 ) × 1 , {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}h={\frac {1}{3}}\pi r^{2}\left(2r\right)=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\derecho)\times 1,}
el volumen de la esfera es
4 3 π r 3 = ( 2 3 π r 3 ) × 2 , {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\derecho)\times 2,}
mientras que el volumen del cilindro es
π r 2 h = π r 2 ( 2 r ) = ( 2 3 π r 3 ) × 3., {\displaystyle \pi r^{2}h=\pi r^{2}(2r)=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\derecho)\times 3.}
El descubrimiento de la relación 2 : 3 de los volúmenes de la esfera y el cilindro se atribuye a Arquímedes.
Volume formula derivationsEdit
SphereEdit
el volumen de una esfera es la integral de un número infinito de discos circulares infinitesimalmente pequeños de espesor dx. El cálculo para el volumen de una esfera con centro 0 y radio r es el siguiente.
el área de superficie del disco circular es π r 2 {\displaystyle \ pi r^{2}} .,
El radio de los discos circulares, definido de tal forma que el eje de las x los recortes perpendicularmente a través de ellos, es
y = r 2 − x 2 {\displaystyle y={\sqrt {r^{2} x^{2}}}}
o
z = r 2 − x 2 {\displaystyle z={\sqrt {r^{2} x^{2}}}}
donde y o z se puede representar el radio de un disco de un determinado valor de x.
Usando y como radio del disco, el volumen de la esfera se puede calcular como
∫ − r R π y 2 D x = ∫ − r R π ( r 2 − x 2 ) d x . {\displaystyle \int _{r}^{r}\pi y^{2}\,dx=\int _{r}^{r}\pi \left(r^{2} x^{2}\right)\,dx.,}
Ahora
∫ − r r π r 2 d x − ∫ − r r ý x 2 d x = π ( r 3 + r 3 ) − π 3 ( r 3 + r 3 ) = 2 π r 3 − 2 π r 3 3 . {\displaystyle \int _{r}^{r}\pi r^{2}\,dx\int _{r}^{r}\pi x^{2}\,dx=\pi \left(r^{3}+r^{3}\derecho)-{\frac {\pi }{3}}\left(r^{3}+r^{3}\derecho)=2\pi r^{3}-{\frac {2\pi r^{3}}{3}}.}
combinando rendimientos V = 4 3 π r 3 . {\displaystyle V = {\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}
esta fórmula se puede derivar más rápidamente usando la fórmula para el área de superficie de la esfera, que es 4 π r 2 {\displaystyle 4 \ pi r^{2}} ., El volumen de la esfera consiste en capas de capas esféricas infinitesimalmente delgadas, y el volumen de la esfera es igual a
∫ 0 R 4 π r 2 d R = 4 3 π r 3 . {\displaystyle \int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,dr={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}
ConeEdit
El cono es un tipo de forma piramidal. La ecuación fundamental para las pirámides, un tercio por base por altitud, también se aplica a los conos.
sin embargo, usando cálculo, el volumen de un cono es la integral de un número infinito de discos circulares infinitesimalmente delgados de espesor dx., El cálculo para el volumen de un cono de altura h, cuya base está centrada en (0, 0, 0) con Radio r, es el siguiente.
el radio de cada disco circular es r Si x = 0 y 0 si x = h, y varía linealmente en el medio-es decir,
R h-x h . {\displaystyle R {\frac {h-x}{h}}.}
el área de superficie del disco circular es entonces
π (r h-x h ) 2 = π r 2 ( h − x) 2 h 2 . {\displaystyle \pi \left(r{\frac {h-x}{h}}\right)^{2}=\pi r^{2}{\frac {(h-x)^{2}}{h^{2}}}.,}
El volumen del cono puede ser calculada como
∫ h 0 π r 2 ( h − x ) 2 h 2 d x , {\displaystyle \int _{0}^{h}\pi r^{2}{\frac {(h-x)^{2}}{h^{2}}}dx,}
y después de la extracción de las constantes
π r 2 h 2 ∫ 0 h ( h − x ) 2 d x {\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{h^{2}}}\int _{0}^{h}(h-x)^{2}dx}
la Integración nos da
π r 2 h 2 h 3 3 ) = 1 3 π r 2 h . {\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{h^{2}}}\left({\frac {h^{3}}{3}}\derecho)={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.}