vea la lista de segundos momentos de área para otras formas.,\mathrm {d} A=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}y^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}{\frac {1}{3}}{\frac {h^{3}}{4}}\,\mathrm {d} x={\frac {bh^{3}}{12}}\\I_{y}&=\iint \límites de _{R}x^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}x^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}hx^{2}\,\mathrm {d} x={\frac {b^{3}h}{12}}\end{aligned}}}
Usando el eje perpendicular teorema obtenemos el valor de J z {\displaystyle J_{z}} .,
J z = I x + I y = b h 3 12 + h b 3 12 = b h 12 ( b 2 + h 2 ) {\displaystyle J_{z}=I_{x}+I_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}+{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {bh}{12}}\left(b^{2}+h^{2}\right)}
Anillo centrado en originEdit
Anillo con radio interior r1 y radio exterior r2
Considere la posibilidad de un anillo cuyo centro está en el origen, fuera del radio es r 2 {\displaystyle r_{2}} , y dentro del radio es r 1 {\displaystyle r_{1}} . Debido a la simetría del anillo, el centroide también se encuentra en el origen., Podemos determinar el momento polar de inercia, J z {\displaystyle J_{z}} , sobre el eje z {\displaystyle Z} por el método de formas compuestas. Este momento polar de inercia es equivalente al momento polar de inercia de un círculo con Radio R 2 {\displaystyle r_{2}} menos el momento polar de inercia de un círculo con Radio r 1 {\displaystyle R_{1}} , ambos centrados en el origen. Primero, derivemos el momento polar de inercia de un círculo con radio r {\displaystyle R} con respecto al origen., En este caso, es más fácil calcular directamente J z {\displaystyle j_{z}} ya que tenemos r 2 {\displaystyle R^{2}}, que tiene un componente x {\displaystyle x} y un componente y {\displaystyle Y}. En lugar de obtener el segundo momento de área de coordenadas cartesianas como se hizo en la sección anterior, calcularemos I x {\displaystyle i_{x}} Y J z {\displaystyle j_{z}} directamente usando coordenadas polares.,b3be53f037″>
=\iint \límites de _{R}r^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{2}\left(r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}}{4}}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}r^{4}\end{aligned}}}
Ahora, el momento polar de inercia alrededor del z {\displaystyle z} eje de un anillo es simplemente, como se indicó anteriormente, la diferencia de los segundos momentos de área de un círculo con radio r 2 {\displaystyle r_{2}} y un círculo con radio r 1 {\displaystyle r_{1}} .,
J z = J z , r − 2 J z , r 1 = π 2 r 2 4 − π 2 r 1 4 = π 2 ( r 2 4 − r 1 4 ) {\displaystyle J_{z}=J_{z,r_{2}}-J_{z,r_{1}}={\frac {\pi }{2}}r_{2}^{4}-{\frac {\pi }{2}}r_{1}^{4}={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)}
por otra parte, podríamos cambiar los límites en el d r {\displaystyle \mathrm {d} r} integral a la primera para reflejar el hecho de que hay un agujero. Esto se haría así.,r 2 r 2 ( r d r d θ ) = ∫ 0 2 π ∫ r 1 r 2 r 3 r d d θ = ∫ 0 2 π d θ = π 2 ( r 2 4 − r 1 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}&=\iint \límites de _{R}r^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{2}\left(r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{3}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }\left\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\derecho)\end{aligned}}}
Cualquier polygonEdit
Un simple polígono., Aquí, n = 6 {\displaystyle n = 6}, observe que el punto » 7 » es idéntico al punto 1.
el segundo momento de área sobre el origen de cualquier polígono simple en el plano XY se puede calcular en general sumando las contribuciones de cada segmento del polígono después de dividir el área en un conjunto de triángulos. Esta fórmula está relacionada con la fórmula de los cordones de los zapatos y puede considerarse un caso especial del teorema de Green.
se supone que un polígono tiene n {\displaystyle n} vértices, numerados en sentido contrario a las agujas del reloj., Si los vértices de los polígonos están numerados en el sentido de las agujas del reloj, los valores devueltos serán negativos, pero los valores absolutos serán correctos.,y i + 1 − x i + 1 y i ) ( x i y i + 1 + 2 x i y i + 2 x i + 1 i + 1 + x i + 1 y i ) {\displaystyle {\begin{aligned}I_{y}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2}\right)\\I_{x}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(y_{i}^{2}+y_{i}y_{i+1}+y_{i+1}^{2}\right)\\I_{xy}&={\frac {1}{24}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}y_{i+1}+2x_{i}y_{i}+2x_{i+1}y_{i+1}+x_{i+1}y_{i}\right)\end{aligned}}}