Momentum es una cantidad vectorial: tiene magnitud y dirección. Dado que el momento tiene una dirección, se puede usar para predecir la dirección y la velocidad de movimiento resultantes de los objetos después de que chocan. A continuación, las propiedades básicas del momento se describen en una dimensión. Las ecuaciones vectoriales son casi idénticas a las ecuaciones escalares (ver dimensiones múltiples).
partícula única
el momento de una partícula se representa convencionalmente por la letra p., Es el producto de dos cantidades, la masa de la partícula (representada por la letra m) y su velocidad (v):
p = m v . {\displaystyle P=mv.}
la unidad de momento es el producto de las unidades de masa y velocidad. En unidades SI, si la masa está en kilogramos y la velocidad está en metros por segundo, entonces el momento está en kilogramos metros por segundo (kg⋅m/s). En unidades cgs, si la masa está en gramos y la velocidad en centímetros por segundo, entonces el momento está en gramos centímetros por segundo (g⋅cm/s).
siendo un vector, el momento tiene magnitud y dirección., Por ejemplo, un modelo de avión de 1 kg, que viaja hacia el norte a 1 m/s en vuelo recto y nivelado, tiene un impulso de 1 kg⋅m/s hacia el norte medido con referencia al suelo.
Muchas partículas
El impulso de un sistema de partículas es la suma vectorial de sus ímpetus. Si dos partículas tienen masas respectivas m1 y m2, y velocidades v1 y v2, el momento total es
p = p 1 + p 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}p&=p_{1}+p_{2}\\&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\,.,\end{aligned}}}
el momento de más de dos partículas se puede agregar de manera más general con lo siguiente:
p = ∑ I m i v i . {\displaystyle P= \ sum _ {i}m_{I}v_{i}.}
Un sistema de partículas tiene un centro de masa en un punto determinado por la suma ponderada de sus posiciones:
r cm = m 1 r 1 + m 2 r 2 + ⋯ m 1 + m 2 + ⋯ = ∑ i m i r i ∑ i m i . {\displaystyle r_{\text{cm}}={\frac {m_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}+\cdots }{m_{1}+m_{2}+\cdots }}={\frac {\sum \límites de _{i}m_{i}r_{i}}{\sum \límites de _{i}m_{i}}}.,}
si una o más de las partículas se está moviendo, el Centro de masa del sistema generalmente se moverá también (a menos que el sistema esté en rotación pura alrededor de él). Si la masa total de las partículas es m {\displaystyle M}, y el Centro de masa se mueve a velocidad vcm, el momento del sistema es:
p = m v cm. {\displaystyle P = mv_ {\text{cm}}.}
esto se conoce como la primera ley de Euler.
relación con la fuerza
si la fuerza neta F aplicada a una partícula es constante, y se aplica para un intervalo de tiempo Δt, el momento de la partícula cambia en una cantidad
Δ p = f Δ t ., {\displaystyle \Delta p=F\Delta t\,.}
en forma diferencial, esta es la segunda ley de Newton; La tasa de cambio del momento de una partícula es igual a la fuerza instantánea F que actúa sobre ella,
F = D p d t . {\displaystyle F = {\frac {dp}{dt}}.}
si la fuerza neta experimentada por una partícula cambia en función del tiempo, F (t), el cambio en el momento (o impulso J ) entre los tiempos t1 y t2 es
Δ P = J = ∫ t 1 t 2 F ( t) d t . {\displaystyle \ Delta p = J= \ int _ {t_{1}}^{t_{2}} F(t)\,dt\,.,}
el impulso se mide en las unidades derivadas del newton segundo (1 N⋅S = 1 kg⋅m/s) o dina segundo (1 Dina⋅s = 1 g⋅cm/S)
bajo el supuesto de masa constante m, es equivalente a escribir
F = d ( m v ) d t = m d v d t = m a , {\displaystyle F={\frac {d(MV)}{dt}}=m{\frac {dv}{dt}}=ma,}
por lo tanto, la fuerza neta es igual a la masa de la partícula por su aceleración.
ejemplo: un aeroplano modelo de masa 1 kg acelera desde reposo a una velocidad de 6 m / s hacia el norte en 2 s. La fuerza neta requerida para producir esta aceleración es de 3 newtons hacia el norte., El cambio en el momento es de 6 kg⋅m / s hacia el norte. La tasa de cambio del momento es de 3 (kg⋅m/s)/s hacia el norte, lo que equivale numéricamente a 3 newtons.
conservación
en un sistema cerrado (uno que no intercambia ninguna materia con su entorno y no es actuado por fuerzas externas) el momento total es constante. Este hecho, conocido como la Ley de conservación del momento, está implícito en las leyes del movimiento de Newton. Supongamos, por ejemplo, que dos partículas interactúan. Debido a la tercera ley, las fuerzas entre ellos son iguales y opuestas., Si las partículas están numeradas 1 y 2, la segunda ley establece que F1 = dp1 / dt y F2 = dp2 / dt. Por lo tanto,
d p 1 d t = d p 2 d t , {\displaystyle {\frac {dp_{1}}{dt}}=-{\frac {dp_{2}}{dt}},}
con el signo negativo indica que las fuerzas que se oponen. Equivalentemente,
d d t ( p 1 + p 2) = 0. {\displaystyle {\frac {d}{dt}} \ left (p_{1}+p_{2}\right)=0.}
Si las velocidades de las partículas son u1 y u2 antes de la interacción, y después son v1 y v2, a continuación,
m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.,}
esta ley se mantiene sin importar lo complicada que sea la fuerza entre partículas. Del mismo modo, si hay varias partículas, el momento intercambiado entre cada par de partículas se suma a cero, por lo que el cambio total en el momento es cero. Esta ley de conservación se aplica a todas las interacciones, incluidas las colisiones y separaciones causadas por fuerzas explosivas. También se puede generalizar a situaciones donde las leyes de Newton no se cumplen, por ejemplo en la teoría de la relatividad y en la electrodinámica.,
dependencia del marco de referencia
la manzana de Newton en el ascensor de Einstein. En el marco de referencia de la persona A, la manzana tiene una velocidad y un momento distintos de cero. En los marcos de referencia del ascensor y de la persona B, tiene velocidad y momento cero.
el momento es una cantidad medible, y la medición depende del movimiento del observador., Por ejemplo: si una manzana está sentada en un elevador de vidrio que está descendiendo, un observador externo, mirando dentro del elevador, ve la manzana moviéndose, entonces, para ese observador, la manzana tiene un momento distinto de cero. Para alguien dentro del ascensor, la manzana no se mueve, por lo tanto, tiene impulso cero. Los dos observadores tienen cada uno un marco de referencia, en el cual, observan movimientos, y, si el ascensor está descendiendo constantemente, verán un comportamiento que es consistente con esas mismas leyes físicas.
supongamos que una partícula tiene la posición x en un marco de referencia estacionario., Desde el punto de vista de otro marco de referencia, moviéndose a una velocidad uniforme u, la posición (representada por una coordenada imprimada) cambia con el tiempo como
x ‘ = x − u t . {\displaystyle x’=x-ut\,.}
esto se llama una transformación galileana. Si la partícula se mueve a velocidad dx / dt = v en el primer marco de referencia, en el segundo, se mueve a velocidad
v ‘= D x ‘ D t = v-u . {\displaystyle v’={\frac {dx’}{dt}}=v-u\,.}
dado que u no cambia, las aceleraciones son las mismas:
A ‘= D v ‘ d t = A . {\displaystyle A ‘={\frac {dv’} {dt}} = a\,.,}
Por lo tanto, el momento se conserva en ambos marcos de referencia. Además, mientras la fuerza tenga la misma forma, en ambos marcos, la segunda ley de Newton no cambia. Fuerzas como la gravedad newtoniana, que dependen solo de la distancia escalar entre los objetos, satisfacen este criterio. Esta independencia del marco de referencia se llama relatividad newtoniana o invariancia galileana.
un cambio de marco de referencia, puede, a menudo, simplificar los cálculos de movimiento. Por ejemplo, en una colisión de dos partículas, se puede elegir un marco de referencia, donde una partícula comienza en reposo., Otro marco de referencia comúnmente utilizado es el marco del centro de masa, uno que se mueve con el Centro de masa. En este marco, el momento total es cero.
aplicación a las colisiones
por sí misma, la Ley de conservación del momento no es suficiente para determinar el movimiento de las partículas después de una colisión. Otra propiedad del movimiento, la energía cinética, debe ser conocida. Esto no se conserva necesariamente. Si se conserva, la colisión se llama colisión elástica; si no, es una colisión inelástica.,
las colisiones Elásticas
colisión Elástica de masas iguales
colisión Elástica de la desigualdad de masas
Una colisión elástica es aquella en la que no la energía cinética es absorbida en la colisión. Las «colisiones» perfectamente elásticas pueden ocurrir cuando los objetos no se tocan entre sí, como por ejemplo en la dispersión atómica o nuclear donde la repulsión eléctrica los mantiene separados., Una maniobra de tirachinas de un satélite alrededor de un planeta también se puede ver como una colisión perfectamente elástica. Una colisión entre dos bolas de billar es un buen ejemplo de una colisión casi totalmente elástica, debido a su alta rigidez, pero cuando los cuerpos entran en contacto siempre hay algo de disipación.
una colisión elástica frontal entre dos cuerpos puede ser representada por velocidades en una dimensión, a lo largo de una línea que pasa a través de los cuerpos., Si las velocidades u1 y u2 antes de la colisión, y v1 y v2 después, las ecuaciones que expresan la conservación de momento y energía cinética son:
m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 1 2 m 1 u 1 2 + 1 2 m 2 u 2 2 = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\\{\tfrac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}&={\tfrac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\,.\end{aligned}}}
un cambio del marco de referencia puede simplificar el análisis de una colisión., Por ejemplo, supongamos que hay dos cuerpos de igual masa m, uno estacionario y uno acercándose al otro a una velocidad v (como en la figura). El Centro de masa se mueve a la velocidad v/2 y ambos cuerpos se mueven hacia él a la velocidad v/2. Debido a la simetría, después de la colisión, ambos deben alejarse del centro de masa a la misma velocidad. Sumando la velocidad del centro de masa a ambos, encontramos que el cuerpo que se estaba moviendo ahora está detenido y el otro se está alejando a velocidad v. Los cuerpos han intercambiado sus velocidades., Independientemente de las velocidades de los cuerpos, un cambio al marco del centro de masa nos lleva a la misma conclusión. Por lo tanto, las velocidades finales están dadas por
v 1 = U 2 v 2 = u 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}&=u_{2}\\v_{2}&=u_{1}\,.,\end{aligned}}}
En general, cuando la velocidad inicial, la final de velocidades dada por
v 1 = ( m 1 − m 2 m 1 + m 2 ) u 1 + ( 2 m 2 m 1 + m 2 ) u 2 {\displaystyle v_{1}=\left({\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\derecho)u_{1}+\left({\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{2}\,} v 2 = ( m 2 − m 1 m 1 + m 2 ) u 2 + ( 2 m 1 m 1 + m 2 ) u 1 . {\displaystyle v_{2}=\left({\frac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{2}+\left({\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}\,.,}
si un cuerpo tiene una masa mucho mayor que el otro, su velocidad se verá poco afectada por una colisión, mientras que el otro cuerpo experimentará un gran cambio.
Inelástica colisiones
perfectamente inelástica colisión entre masas iguales
En una colisión inelástica, la energía cinética de la colisión de los cuerpos se convierte en otras formas de energía (como calor o sonido)., Los ejemplos incluyen colisiones de tráfico, en las que el efecto de la pérdida de energía cinética se puede ver en el daño a los vehículos; electrones perdiendo parte de su energía a los átomos (como en el experimento Franck–Hertz); y aceleradores de partículas en los que la energía cinética se convierte en masa en forma de nuevas partículas.
en una colisión perfectamente inelástica (como un error que golpea un parabrisas), ambos cuerpos tienen el mismo movimiento después. Una colisión inelástica frontal entre dos cuerpos puede ser representada por velocidades en una dimensión, a lo largo de una línea que pasa a través de los cuerpos., Si las velocidades son u1 y u2 antes de la colisión, entonces en una colisión perfectamente inelástica ambos cuerpos viajarán con la velocidad v después de la colisión. La ecuación que expresan la conservación del momento es:
m 1 u 1 + m 2 u 2 = ( m 1 + m 2 ) v . {\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\,.\end{aligned}}}
Si un cuerpo está inmóvil, para empezar (por ejemplo,, u 2 = 0 {\displaystyle u_{2}=0} ), la ecuación de conservación de momento es
m 1 u 1 = ( m 1 + m 2 ) v , {\displaystyle m_{1}u_{1}=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\,,}
así
v = m 1 m 1 + m 2 u 1 . {\displaystyle v={\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1}\,.}
en una situación diferente, si el marco de referencia se mueve a la velocidad final tal que v=0 {\displaystyle V = 0}, los objetos serían llevados a reposo por una colisión perfectamente inelástica y el 100% de la energía cinética se convierte en otras formas de energía., En este caso, las velocidades iniciales de los cuerpos serían distintas de cero, o los cuerpos tendrían que ser sin masa.
una medida de la inelasticidad de la colisión es el coeficiente de restitución CR, definido como la relación entre la velocidad relativa de separación y la velocidad relativa de aproximación. Al aplicar esta medida a una pelota que rebota desde una superficie sólida, esto se puede medir fácilmente usando la siguiente fórmula:
C R = altura de rebote altura de caída . {\displaystyle C_ {\text{R}}={\sqrt {\frac {\text{bounce height}} {\text{drop height}}}}\,.,}
Las ecuaciones de momento y energía también se aplican a los movimientos de objetos que comienzan juntos y luego se separan. Por ejemplo, una explosión es el resultado de una reacción en cadena que transforma la energía potencial almacenada en forma química, mecánica o nuclear en energía cinética, energía acústica y radiación electromagnética. Los cohetes también hacen uso de la conservación del impulso: el propulsor es empujado hacia afuera, ganando impulso, y se imparte un impulso igual y opuesto al cohete.,
Múltiples dimensiones
Dos dimensiones de la colisión elástica. No hay movimiento perpendicular a la imagen, por lo que solo se necesitan dos componentes para representar las velocidades y los momentos. Los dos vectores azules representan velocidades después de la colisión y se suman vectorialmente para obtener la velocidad inicial (roja).
el movimiento Real tiene dirección y velocidad y debe ser representado por un vector. En un sistema de coordenadas con ejes x, Y, z, La velocidad tiene componentes vx en la dirección x, vy en la dirección y, vz en la dirección z., El vector está representado por un símbolo en negrita:
v = (v x, v y, v z). {\displaystyle \mathbf {v} =\left (v_{x}, v_{y}, v_{z} \ right).}
del mismo modo , el momento es una cantidad vectorial y está representado por un símbolo en negrita:
p = ( p x , p y, P z ) . {\displaystyle \mathbf {p} =\left (p_{x}, p_{y}, p_{z} \ right).}
Las ecuaciones en las secciones anteriores, trabajan en forma vectorial si los escalares p y v son reemplazados por vectores p y v. cada ecuación vectorial representa tres ecuaciones escalares., Por ejemplo,
p = m v {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }
representa tres ecuaciones:
p x = m v x p y = m v y p z = m v z . {\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}&=mv_{x}\\p_{y}&=mv_{y}\\p_{z}&=mv_{z}.\end{aligned}}}
Las ecuaciones de energía cinética son excepciones a la regla de reemplazo anterior. Las ecuaciones siguen siendo unidimensionales, pero cada escalar representa la magnitud del vector, por ejemplo,
v 2 = v x 2 + v y 2 + V z 2 . {\displaystyle v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\,.,}
cada ecuación vectorial representa tres ecuaciones escalares. A menudo se pueden elegir las coordenadas para que solo se necesiten dos componentes, como en la figura. Cada componente se puede obtener por separado y los resultados se combinan para producir un resultado vectorial.
una construcción simple que involucra el marco del centro de masa se puede usar para mostrar que si una esfera elástica estacionaria es golpeada por una esfera en movimiento, las dos se dirigirán en ángulo recto después de la colisión (como en la figura).,
objetos de masa variable
el concepto de momento juega un papel fundamental en la explicación del comportamiento de objetos de masa variable como un combustible de expulsión de cohete o un gas de acreción estelar. Al analizar tal objeto, uno trata la masa del objeto como una función que varía con el tiempo: m(t). El momento del objeto en el tiempo t es por lo tanto p(t) = m(t)v(t)., Uno podría entonces tratar de invocar la segunda ley del movimiento de Newton diciendo que la fuerza externa F sobre el objeto está relacionada con su momento p(t) por F = dp/dt, pero esto es incorrecto, al igual que la expresión relacionada encontrada al aplicar la regla del producto A d(mv)/dt:
F = m ( t ) d v d t + v ( T ) D m d t . {\displaystyle F=m(t){\frac {dv}{dt}}+v(t){\frac {dm}{dt}}.} (incorrecto)
esta ecuación no describe correctamente el movimiento de los objetos de masa variable., La ecuación es correcta
F = m ( t ) d v d t u d m d t , {\displaystyle F=m(t){\frac {dv}{dt}}-u{\frac {dm}{dt}},}
en donde u es la velocidad de expulsión/acrecentada masa como se ve en el objeto del marco del resto. Esto es distinto de v, que es la velocidad del objeto en sí como se ve en un marco inercial.
esta ecuación se deriva manteniendo un registro tanto del momento del objeto como del momento de la masa expulsada/acumulada (dm). Cuando se consideran juntos, el objeto y la masa (dm) constituyen un sistema cerrado en el que se conserva el momento total.,
P ( t + d t) = (m – D, m) (v + D v) + D m (V-u) = m v + m D v u D M = P(t ) + m D v U D M {\displaystyle P (t+dt) = (m-dm) (V+dv) + dm(v-U) = mv + mdv-udm=P (t) + mdv-udm}